2020-2021學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 【含答案】

1、2020-2021學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知復(fù)數(shù)，則（）ABCDB根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則及模的計(jì)算公式，即可得到選項(xiàng).【詳解】由題，得，所以.故選：B.2密位制是度量角的一種方法.將周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作為角的度量單位，這種度量角的單位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，單位名稱密位二字可以省去不寫.密位的寫法是在百位數(shù)字與十位數(shù)字之間畫一條短線，如：478密位寫成“4-78”，1周角等于6000密位，記作1周角.如果一個(gè)扇形的半徑為2，面積為，則其圓心角可以用密位制表示為（）A25-00B35-

2、00C42-00D70-00B【分析】利用扇形面積公式先求出圓心角，再根據(jù)密位制的定義換算即可.【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，則，則，由題意可知，其密位大小為密位，用密位制表示為35-00.故選：B.3已知角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到角的終邊，角的終邊過(guò)點(diǎn)，且，則的值為（）ABCDD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得m，繼而求得得選項(xiàng).【詳解】由，得，化簡(jiǎn)可得，解得，所以故選：D4某大學(xué)的大門蔚為壯觀，有個(gè)學(xué)生想搞清楚門洞拱頂?shù)狡湔戏近c(diǎn)的距離，他站在地面處，利用皮尺測(cè)得，利用測(cè)角儀器測(cè)得仰角，測(cè)得仰角后通過(guò)計(jì)算得到，則的長(zhǎng)度為（）ABCDC設(shè)，從而用表示出；在中利用正弦定理可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【

3、詳解】設(shè)，則，在中，由正弦定理得得：，即，解得：故選：本題考查解三角形實(shí)際應(yīng)用中的高度問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是能夠在三角形中利用正弦定理構(gòu)造方程.5如圖，矩形是圓柱的軸截面，且，其中在平面同側(cè)，則異面直線與所成的角為（）ABCDA【分析】作，連接，可得為與所成的角，再由已知求解三角形得答案【詳解】解：如圖，作，連接，為與所成的角，又，在中，即故選：6在直三棱柱中，是上的點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)、作截面，當(dāng)截面周長(zhǎng)最小時(shí)，截面將三棱柱分成的兩部分的體積比為（）ABCDD【分析】將平面與平面放在一個(gè)平面內(nèi)，連接，與的交點(diǎn)即為，此時(shí)截面周長(zhǎng)最小，由此得到，根據(jù)棱錐的體積公式和棱柱的體積公式可得結(jié)果.【詳解】如圖：因?yàn)闉?/p>

4、定值，所以最小時(shí)，截面周長(zhǎng)最小，將平面與平面放在一個(gè)平面內(nèi)，如圖：連接，與的交點(diǎn)即為，則此時(shí)最小，此時(shí)，因?yàn)椋?，所以，又三棱柱為直三棱柱，所以平面，所以，因?yàn)?，所以平面，的體積，三棱柱的體積，截面將三棱柱分成的兩部分的體積比為故選：D.本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖，考查了棱錐和棱柱的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.7將函數(shù)和直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為，若P點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）A0B4C12D20D【分析】由函數(shù)與直線的圖像可知，它們都關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，再由向量的加法運(yùn)算得，最后求得向量的模.【詳解】由函數(shù)與直線的圖像可知，它們都關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以.故選：D.8蹴鞠(如圖所示)，

5、又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴踢蹋的含義，鞠最早系外包皮革內(nèi)實(shí)米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹲蹋踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠(球)的表面上有四個(gè)點(diǎn)，且球心在上，則該鞠(球)的表面積為（）ABCDC【分析】根據(jù)題意作出圖形，取的中點(diǎn)，求得，由求出，連接并延長(zhǎng)交球于點(diǎn)，連接，可證，再求出，結(jié)合勾股定理求出，再由球體表面積公式即可求解【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，由，得.由，得，連接并延長(zhǎng)交球于點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榍虻闹睆剑O(shè)球的半徑為，所以，則，所以.可得球的表面積為.故選：C.二、多選題9下列

6、各式一定正確的有（）ABCDBD【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律進(jìn)行判斷【詳解】解：對(duì)于A，表示一個(gè)向量，而表示一個(gè)數(shù)，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，故B正確；對(duì)于C，故只有當(dāng)共線時(shí)才有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可知正確，故選：BD10設(shè)，表示平面，m，n，l表示直線，則的充分條件（）A，B，C，D，AD【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行分析判斷即可【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，則，故選項(xiàng)正確；當(dāng)，時(shí)，由面面垂直的性質(zhì)得出，可能在內(nèi)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，由線面垂直的判定定理得出，當(dāng)時(shí)，得不到，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，則可以在，內(nèi)分別找到異于的直線，使得，根

7、據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出，則，由線面平行的性質(zhì)得出，則，故選項(xiàng)正確故選：AD11已知a，b，c分別為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且邊與角滿足關(guān)系式，若有唯一解，則a可以?。ǎ〢B8C7DABD【分析】先由正弦定理進(jìn)行邊角互化，然后由三角恒等變形，由輔助角公式可得，結(jié)合角的范圍得出角,再當(dāng)此時(shí)或，滿足條件的三角形唯一，得出答案.【詳解】由，根據(jù)正弦定理可得右邊： 左邊：所以即，由 則所以，即所以，由則所以，則由，有唯一解.如圖以點(diǎn)為圓心，邊為半徑作圓弧，若圓弧與邊相切，則滿足條件的三角形唯一,此時(shí) 若，則以點(diǎn)為圓心，邊為半徑作圓弧，如圖，滿足條件的三角形唯一,故或故滿足條件的有A，B，D故選:：AB

8、D關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，考查三角恒等變換化簡(jiǎn)，以及根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求邊長(zhǎng)范圍，解答本題的關(guān)鍵是先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得到，再由輔助角公式得到，從而得出角，屬于中檔題.12設(shè)函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，已知在上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B在上，方程的根有3個(gè)，方程的根有2個(gè)C在上單調(diào)遞增D的取值范圍是CD【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求出參數(shù)的范圍，再判斷函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性和方程根的個(gè)數(shù).【詳解】由題意，由題意，不一定是函數(shù)的對(duì)稱軸，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，得，故；，所以D正確.因?yàn)椋瑒t的根分別可由或或求出，共有3個(gè)根；當(dāng)時(shí)，的根分別可由

9、或求出，共2個(gè)根；當(dāng)時(shí)，的根分別可由或或求出，共3個(gè)根；所以B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，得，由，得，所以，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以C正確.故選：CD.本題重點(diǎn)考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度較大，做題時(shí)注意利用整體法判斷：即通過(guò)將作為整體，借助的圖象和性質(zhì)來(lái)進(jìn)行判斷.三、填空題13函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)是_（答案不唯一）【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的對(duì)稱中心可直接求出答案.【詳解】令，解得,則圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是當(dāng)時(shí)，則是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心故（答案不唯一）.14在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知的面積為，則b的值為_(kāi).【分析】由和平方關(guān)系求出，結(jié)合的面積為，求出，再用余弦定理可求b的值【詳解

10、】解：由，且角B為鈍角把代入到,得，所以，由余弦定理得，所以故答案為.本題考查平方關(guān)系、余弦定理以及三角形的面積公式的應(yīng)用，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題15設(shè)（）為關(guān)于x的方程的一個(gè)虛根，若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值是_.6【分析】根據(jù)為方程的根，代入可求得a的值，即可得，設(shè)，根據(jù)求模公式，可得，可得點(diǎn)的軌跡，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可得答案.【詳解】因?yàn)闉榉匠痰囊粋€(gè)虛根，所以，整理得，所以，所以，解得，所以，設(shè)，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，所以表示點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，所以的最大值為.故616在中，角所對(duì)的邊分別為，如果對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，則的取值范圍是_【分析】設(shè)為直線上任

11、意一點(diǎn)，且，可知恒成立，可知為邊的高，利用三角形面積公式可得：；結(jié)合余弦定理整理可得，從而可得最大值，利用基本不等式可求得最小值，從而得到取值范圍.【詳解】設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，且則恒成立又為邊的高恒成立由余弦定理可得：，其中，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）本題正確結(jié)果：本題考查解三角形中的取值范圍的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)恒成立的不等關(guān)系得到邊長(zhǎng)與三角形高的長(zhǎng)度關(guān)系，利用三角形面積公式和余弦定理可構(gòu)造出不等式，從而可求得最值.四、解答題17已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求函數(shù)的最值，并求出取最值時(shí)相應(yīng)x的值.(1)(2)當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值【分析】（1）根據(jù)

12、函數(shù)的圖像，分別求出，即可求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1），求得范圍，由正弦函數(shù)圖像性質(zhì)即可求解【詳解】(1)由圖形知，,則，又圖像過(guò)，所以，得，解得,又，所以，因此所求函數(shù)的解析式為(2)由，可得，又當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值18的內(nèi)角的對(duì)邊分別是.設(shè).（1）判斷的形狀；（2）若，的平分線交于，求的面積.（1）等腰三角形；（2）.（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)得，即得解；（2）求出，再分析得到，即得解.【詳解】（1）由及正弦定理得，即，所以，即 所以，所以為等腰三角形. （2）因?yàn)榍遥?由余弦定理得，所以 ，所以.方法點(diǎn)睛：判斷三角形的形狀，常用的有兩種方法：（1）

13、正弦定理余弦定理邊化角；（2）正弦定理余弦定理角化邊.19在正六棱柱中，M為側(cè)棱的中點(diǎn)，O為下底面ABCDEF的中心.(1)若平面交棱于點(diǎn)P，交棱于點(diǎn)Q，在圖中補(bǔ)全出平面截該正六棱柱所得的截面，并指出P與Q的位置（無(wú)需證明）；(2)求證：平面；(3)證明：平面.(1)P為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，圖象見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)平面的性質(zhì)，作出圖象，可得P為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)； （2）連接AD、，可得OM為的中位線，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得證；（3）連接AD、BD、，根據(jù)余弦定理，求得BD的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，可證，根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)定理，可證，根據(jù)正方形的性

14、質(zhì)，可證，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可得證.【詳解】(1)P為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，圖象如下(2)連接AD、，由題意得O為AD中點(diǎn)，如圖所示因?yàn)镺、M分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?(3)連接AD、BD、，如圖所示因?yàn)锳BCDEF為正六邊形，且AB=1，所以，所以，即，又，所以，即，又正六棱柱，所以底面ABCDEF，底面ABCDEF，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋运倪呅螢榫匦?，又，所以矩形為正方形，所以?duì)角線，因?yàn)椋云矫?0（1）如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE于點(diǎn)G.求的余弦值；（2）利用本學(xué)期所學(xué)知識(shí)（向

15、量或解三角形）證明：平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方之和等于四條邊長(zhǎng)的平方之和.（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法進(jìn)行求解即可；（2）先畫出平行四邊形，設(shè)、，利用余弦定理求出和，再由平行四邊形的性質(zhì)和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)后，再化簡(jiǎn)即可【詳解】解：（1）建立坐標(biāo)系如圖：，為的中點(diǎn)，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則，則，由得，即，則，則，則，則即（2）如圖：平行四邊形，設(shè)、，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，即，故平行四邊形兩條對(duì)角線平方的和等于四條邊平方的和21如圖，四棱錐中，平面平面PBC，且平面平面，.(1)證明

16、：；(2)若，求直線BD與平面PBC所成角的正弦值.(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明平面，根據(jù)線面平行得性質(zhì)證得，則可得，再根據(jù)面面垂直得性質(zhì)可證得平面，再根據(jù)線面垂直得性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)線面垂直得性質(zhì)可得，再利用勾股定理可得，則平面，故即為直線BD與平面PBC所成角的平面角，解即可得解.【詳解】(1)證明：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因平面平面，平面，所以，又因，即，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍼BC，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，即；(2)解：連接，在中，則，由（1）得平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，在中，則，所以，因?yàn)?，所以平面，所以即為直線BD與平面PBC所成角的平面角，在中，所以直線BD