大學教學課件量子力學態(tài)和力學量表象

1、第四章 態(tài)和力學量表象 1 態(tài)的表象 2 算符的矩陣表示 3 量子力學公式的矩陣表述 4 Dirac 符號 5 Hellmann Feynman 定理及應用 6 占有數(shù)表象 7 么正變換矩陣第1頁，共66頁。（1）動量表象 （2）力學量表象 （3）討論1.態(tài)的表象 到目前為止，體系的狀態(tài)都用坐標(x,y,z)的函數(shù)表示，也就是說描寫狀態(tài)的波函數(shù)是坐標的函數(shù)。力學量則用作用于坐標函數(shù)的算符表示。但是這種描述方式在量子力學中并不是唯一的，正如幾何學中選用坐標系不是唯一的一樣。坐標系有直角坐標系、球坐標系、柱坐標系等，但它們對空間的描寫是完全是等價的。波函數(shù)也可以選用其它變量的函數(shù)， 力學量則相應的

2、表示為作用于這種函數(shù)上的算符。表象：量子力學中態(tài)和力學量的具體表示方式稱為表象。以前采用的是坐標表象，下面我們要介紹其他表象。第2頁，共66頁。在坐標表象中，體系的狀態(tài)用波函數(shù)(x,t)描寫，這樣一個態(tài)如何用動量為變量的波函數(shù)描寫在前面幾章中已經(jīng)有所介紹。動量本征函數(shù)：組成完備系，任一狀態(tài)可按其展開展開系數(shù)假設 (x,t) 是歸一化波函數(shù)，則 C(p,t) 也是歸一。命題證（1）動量表象第3頁，共66頁。|C(p,t)| 2 d p 是在(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的動量所得結(jié)果在 p p + d p 范圍內(nèi)的幾率。|(x,t)| 2d x 是在(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的位置所

3、得結(jié)果在 x x + d x 范圍內(nèi)的幾率。(x,t) 與 C(p,t) 一 一 對應，描述同一狀態(tài)。 (x,t) 是該狀態(tài)在坐標表象中的波函數(shù)； 而 C(p,t) 就是該狀態(tài)在動量表象中的波函數(shù)。C(p,t) 物理意義第4頁，共66頁。若(x,t) 描寫的態(tài)是具有確定動量 p的自由粒子態(tài)，即：則相應動量表象中的波函數(shù)：所以，在動量表象中， 具有確定動量p的粒 子的波函數(shù)是以動量 p為變量的- 函數(shù)。 換言之，動量本征函 數(shù)在自身表象中是一 個函數(shù)。x 在自身表象即坐標表象中對應 有確定值 x本征函數(shù)是 (x-x)。同樣這可由本征 值方程看出：第5頁，共66頁。在任一力學量Q表象中， (x,t

4、) 所描寫的態(tài)又如何表示呢？推廣上述討論：x, p都是力學量，分別對應有坐標表象和動量表象，因此可以對任何力學量Q都建立一種表象，稱為力學量 Q 表象。問題是：1）具有分立本征值的情況 2）含有連續(xù)本征值情況（2）力學量表象第6頁，共66頁。1）具有分立本征值的情況設 算符Q的本征值為： Q1, Q2, ., Qn, .， 相應本征函數(shù)為：u1(x), u2(x), ., un(x), .。將(x,t) 按 Q 的 本征函數(shù)展開：若, un都是歸一化的， 則 an(t) 也是歸一化的。證：由此可知，| an| 2 表示 在(x,t)所描述的狀態(tài) 中測量Q得Qn的幾率。a1(t), a2(t),

5、 ., an(t), .就是(x,t)所描寫狀態(tài)在Q表象中的表示。寫成 矩陣形式第7頁，共66頁。共軛矩陣歸一化可寫為第8頁，共66頁。2）含有連續(xù)本征值情況例如氫原子能量就是這樣一種力學量， 即有分立也有連續(xù)本征值。設力學量 Q 的本征值和本征函數(shù)分別為：Q1, Q2, ., Qn, ., qu1(x), u2(x), ., un(x), ., uq(x)則歸一化則變?yōu)椋簗an(t)|2 是在 (x,t) 態(tài)中測量力學量 Q 所得結(jié)果為 Qn 的幾率；|aq(t)|2dq 是在(x,t) 態(tài)中 測量力學量 Q 所得結(jié)果在 q q + d q之間的幾率。在這樣的表象中， 仍可以用一個列矩陣表示

6、：歸一化仍可表為：+= 1第9頁，共66頁。這類似于一個矢量可以在不同坐標系描寫一樣。矢量 A在直角坐標系由三分量Ax Ay Az 描述；在球坐標系用三分量Ar A A 描述。 Ax Ay Az 和 Ar, A, A 形式不同，但描寫同一矢量A。態(tài)矢量基本矢量同一狀態(tài)可以在不同表象用波函數(shù)描寫，表象不同， 波函數(shù)的形式也不同，但是它們描寫同一狀態(tài)。3）討論第10頁，共66頁。波函數(shù)是態(tài)矢量在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有無限多個，所以態(tài)矢量所在的空間是一個無限維的抽象的函數(shù)空間，稱為Hilbert空間。所以我們可以把狀態(tài)看成是一個矢量態(tài)矢量。 選取一個特定力學量 Q 表象，相

7、當于選取特定的坐標系，u1(x), u2(x), ., un(x), . 是 Q 表象 的基本矢量簡稱基矢。第11頁，共66頁。（1）力學量算符的矩陣表示 （2）Q 表象中力學量算符F的性質(zhì) （3）Q 有連續(xù)本征值的情況 算符的矩陣表示第12頁，共66頁。坐標表象：Q表象：假設只有分立本征值，將, 按un(x)展開：兩邊左乘 u*n(x) 并對 x 積分Q表象的 表達方式代入（1）力學量算符的矩陣表示第13頁，共66頁。Q表象的表達方式F 在 Q 表象中是一個矩陣， Fnm 是其矩陣元=F簡寫成寫成矩陣形式第14頁，共66頁。寫 成 矩 陣例 1：求 Lx 在 L2, Lz 共同表象，=1子空

8、間中的矩陣表示。令：u1 = Y11 , u2 = Y10 , u3 = Y1-1 Lx矩陣是33矩陣計算中 使用了 公式由此得Lx矩陣元(Lx)11 = (Lx)22 = (Lx)33 = 0 (Lx)13 = (Lx)31 = 0 (Lx)12 = (Lx)21 = (Lx)23 = (Lx)32 = /21/2Lz在自身表象中具有最簡 單形式，是一個對角矩陣， 對角元素就是 Lz的本征值。 同理可得Ly Lz則 Lx 的矩陣元可如下計算：第15頁，共66頁。1）力學量算符用厄密矩陣表示所以厄密算符的矩陣 表示是一厄密矩陣。例2：在例1中給出了 Lx, Ly在 L2,Lz表象中的矩陣形式，

9、下面我們驗證一下這兩個矩陣是厄密矩陣。厄密矩陣（2）Q表象中力學量算符 F 的性質(zhì)第16頁，共66頁。2）力學量算符在自身表象中的形式Q的矩陣形式結(jié)論： 算符在自身表象中是一對角矩陣，對角元素就是算符的本征值。第17頁，共66頁。1）只有連續(xù)本征值如果 Q只有連續(xù)本征值q ,上面的討論仍然適用，只需將u, a, b的角標從可數(shù)的 n, m 換成連續(xù)變化的q，求和換成積分，見下表。分立譜連續(xù)譜算符F在Q表象仍是一個矩陣，矩陣元由下式確定：只是該矩陣的行列是不可數(shù)的，而是用連續(xù)下標表示（3） Q 有連續(xù)本征值的情況第18頁，共66頁。例3：求坐標表象中 F的矩陣元例4： 求動量表象中 F的矩陣元要

10、計算此積分，需要 知道 F的具體形式.第19頁，共66頁。（1）平均值公式 （2）本征方程 （3）Schrodinger方程的矩陣形式3 量子力學公式的矩陣表述第20頁，共66頁。坐標表象平均值公式在Q表象中式右寫成矩陣相乘形式簡寫成（1）平均值公式第21頁，共66頁。寫成矩陣形式表成顯式整 理 改 寫上式是一個齊次線性方程組方程組有不完全為零解的條件是系數(shù)行列式等于零久 期 方 程求解此久期方程得到一組值：1, 2, ., n, .就是F的本征值。將其分別代入原齊次線性方程組就能得到相應于各i的本征矢于是求解微分方程的問題就化成了求解代數(shù)方程根的問題。（2）本征方程第22頁，共66頁。例1：

11、 本征函數(shù) um(x) 在自身表象中的矩陣表示。同樣將 um(x) 按 的本征函數(shù)展開：顯 然 有所以 um(x) 在自身表象中的矩陣表示如下：例如： L2, Lz的共同本征函數(shù) Y11, Y10, Y1-1.在 L2, Lz 的共 同表象中的矩陣形式就特別簡單。例2：求 Lx本征態(tài)在 Lz表象中的矩陣表示，只討論(=1)情況。Lx的本征方程為：解欲得a1, a2, a3 不全為零的解，必須要求系數(shù)行列式等于零(-2 + 2) = 0 解得本征值= 0, .第23頁，共66頁。取= 代入本征方程得：解得：a1=(1/21/2) a2 a3=(1/21/2) a2 由歸 一化 條件 定 a2為簡

12、單計 取實數(shù)同理得另外兩個本征值相應本征函數(shù)則 =1, Lx = 的本征態(tài) 可記為：第24頁，共66頁。寫 到 Q 表 象按力學量算符 Q的本征函數(shù)展開左乘 um*(t) 對 x 整個空間積分 H 都是矩陣簡寫（3）Schrodinger方程的矩陣形式第25頁，共66頁。作業(yè)4.1、 4.3、 4.4第26頁，共66頁。4 Dirac 符號 (1）引言 (2) 態(tài)矢量 （3）算符 （4）總結(jié)第27頁，共66頁。 前三章給出的都是 X - 表象中的形式， 本章中給出了任一力學量 Q-表象中的形式，它們都是取定了某一具體的力學量空間,即某一具體的力學量表象。量子描述除了使用具體表象外，也可以不取定

13、表象，正如幾何學和經(jīng)典力學中也可用矢量形式 A 來表示一個矢量， 而不用具體坐標系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一樣。 量子力學可以不涉及具體表象來討論粒子的狀態(tài)和運動規(guī)律。這種抽象的描述方法是由 Dirac 首先引用的，所以該方法所使用的符號稱為 Dirac 符號。(1）引言第28頁，共66頁。（1）右矢空間前面已經(jīng)講過，一個狀態(tài)通過一組力學量完全集的測量（完全測量）來確定，通常用所測得的力學量的量子數(shù)來確定。例如：一維線性諧振子其狀態(tài)由量子數(shù) n 確定，記為n(x)；氫原子的狀態(tài)由量子數(shù) n, l, m 確定，記為 n l m( r, )， 如此等等。在抽象表象中 Dirac 用右矢

14、空間的一個矢量 | 與量子狀態(tài)相對應，該矢量稱為右矢。|n n(x)； |n, l, m n l m狀態(tài) |n 和 n(x) 亦可分別記成 |n 和 |n l m 。對力學量的本征態(tài)可表示為 |x, |p, |Qn . 等。 因為力學量本征態(tài)構(gòu)成完備系，所以本征函數(shù)所對應的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢（或基組），即右矢空間中的完備的基本矢量（簡稱基矢）。右矢空間的任一矢量 | 可按該空間的某一完備基矢展開。例如：(2)態(tài)矢量第29頁，共66頁。（2）左矢空間右矢空間中的每一個右矢量在左矢空間都有一個相對應的左矢量，記為 |。例如：Dirac 符號右矢空間和左矢空間稱為伴空間或?qū)ε伎臻g

15、， 稱為伴矢量。 p |, x |, 和 按 Q 的左基矢 |Qn 展開 | = a1 |Q1 + a2 |Q2 + . + an |Qn + . 展開系數(shù)即相當于 Q 表象中的表示：| 按 Q 的左基矢 Qn | 展開： | = a*1 Q1 | + a*2 Q2 | + . + a*n Qn | + . 展開系數(shù)即相當于 Q 表象中的表示： + = (a*1, a*2, ., a*n, . )同理 某一左矢量 | 亦可按 Q 的左基矢展開： | = b*1 Q1 | + b*2 Q2 | +. + b*n 和 | 的標積為：顯然 * = 這就是用Dirac 表示的波函數(shù) 歸一化條件。由標積

16、定義得:第31頁，共66頁。本征態(tài)的正交歸 一化條件可寫為：由此可以看出 | 和 |的關系：1）在同一確定表象中，各分量互為復共軛； 2）由于二者屬于不同空間所以它們不能相加，只有同一空間的矢量才能相加； 3）右矢空間任一右矢可以和左矢空間中任一左矢進行標積運算，其結(jié)果為一復數(shù)。（4）本征函數(shù)的封閉性展開式兩邊左乘 是任意態(tài)矢量，所以成立。本征矢 |Qn 的封閉性I 分 立 譜第32頁，共66頁。對于連續(xù)譜 |q ，q 取連續(xù)值，任一狀態(tài) | 展開式為：II 連 續(xù) 譜左乘 是任意態(tài)矢，所以有 同理，對于 |x 和 |p 分 別 有這就是連續(xù)本征值的本征矢的封閉性。由于所以 它們也稱為單位算符

17、，在運算中可插入（乘到）公式任何地方而不改變原公式的正確性。例如：在 | 左側(cè)插入算符 同理即得態(tài)矢按各種力學量本征矢的展開式第33頁，共66頁。投影算符|Qn上，相當于把 | 投影到左基矢 |Qn 或 |q 上，即作用的結(jié)果只是留下了該態(tài)矢在 |Qn 上的分量 或 。故稱 |Qn 在 X 表象的表示是(x, t)，所以顯然有：封閉性在 X 表象中的表示左乘 正交歸一性的表示式是對坐標的積分：封閉性表示式是對本征值求和或積分：所以，我們也可以把封閉性解釋為本征函數(shù)對于本征值的求和或積分是正交歸一的。它來自于本征函數(shù)的完備性，也是本征函數(shù)完備性的表示。分立譜連續(xù)譜封閉性與正交歸一性比較在形式上

18、二者相似區(qū)別第34頁，共66頁。1) 右矢空間在抽象的Dirac表象Dirac 符號的特點是簡單靈活。如果欲把上式寫至 Q 表象，則只需在適當位置插入單位算符。左乘 Qm |把公式 變到 Q 表象算符 F 在Q 表象 中的矩陣表示的 矩陣元 Fm n寫成矩陣形式 = F Q 表象X表象（3）算符第35頁，共66頁。平均值公式插入 單位算符 2）共軛式（左矢空間）表明量子力學中的力學量 既可以向右作用到右矢量上， 也可以向左作用到左矢量上。若 F是 厄密算符第36頁，共66頁。例：力學量算符 x 在動量中的形式左乘 p |代回原式故坐標算符 x 在動量表象中取如下形式:第37頁，共66頁。（1）

19、X 表象描述與 Dirac 符號Dirac 符號 項目X 表象（4）總結(jié)第38頁，共66頁。（2）左右矢空間的對應關系左矢空間 右矢空間（3） 厄密共軛規(guī)則由常量 C、左矢、右矢和算符組成的表示式，求其厄密共軛式的表示規(guī)則1）把全部次序整個顛倒2）作如下代換：常量 C C* | | 例如第39頁，共66頁。（1）引言 （2）H - F 定理 （3）實例5. Hellmann - Feynman定理及應用第40頁，共66頁。關于量子力學體系能量本征值問題，有不少定理，其中應用最廣泛的要數(shù) Hellmann - Feynman 定理（簡稱 H-F定理）該定理的內(nèi)容涉及能量本征值及各種力學量平均值隨

20、參數(shù)變化的規(guī)律。 1）當體系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出關于各種力學量平均值的許多信息，而不必利用波函數(shù)去進行煩瑣的計算； 2）利用 H-F 定理可以很巧妙地推出維里定理。（1）引言第41頁，共66頁。設體系的 Hamilton 量 H 中含有某參量 ，En 是 H的本征值，n 是歸一化的束縛態(tài)本征函數(shù)（n 為一組量子數(shù)），則證據(jù)題設，n 滿足本征值方程：其共軛方程為：對 求導數(shù)并左乘 n | 得： = 1 證畢由共軛方程 知，上式等 號左邊第二 項為0，H - F 定理很有實用價值， H 中的 , 等都可以選為參數(shù) 。（2）H - F 定理第42頁，共66頁。（1）證明一維諧

21、振子 = 。證一維諧振子 Hamilton 量：方法 I：取作為參數(shù)由HF 定理簡記為（3）實例第43頁，共66頁。方法 II令 = 方法 III取 = 由HF 定理由 HF 定理第44頁，共66頁。（2）對類氫離子任何一個束縛態(tài)nlm ，求 1/r , 1/r2 的平均值。解1）求1/r取 Z 為變分參數(shù)由HF定理2）求：類氫離子徑向波函數(shù)unl滿足的徑向方程為：改寫成該方程可看成是一維定態(tài)方程，其等效 Hamilton 量和本征值為：第45頁，共66頁。取 為變分參數(shù)由HF定理第46頁，共66頁。（3）證明維里定理即證I.在坐標表象將 視為參數(shù)由 HF 定理II.在動量表象 由HF定理第4

22、7頁，共66頁。（4）對類氫原子定態(tài)，證明：證對類氫原子,由HF定理由例（2）知： 取作為參數(shù)第48頁，共66頁。（1）算符a, a+,N. （2）占有數(shù)表象6. 占有數(shù)表象第49頁，共66頁。本節(jié)我們從新的角度討論這一問題，引進占有數(shù)表象。（2）定義新算符 a, a+, N.令 證明二者滿足如下對易關系（1）算符 a, a+, N.（1）坐標表象下的線性諧振子第50頁，共66頁。證證畢第51頁，共66頁。（3）用算符a, a+ 表示振子Hamilton量由 a, a+ 定義式 將算符 x, p 用新算符 a, a+ 表示出來代入振子 Hamilton 量2=/ 第52頁，共66頁。（4） a

23、, a+, N 的物理意義I. a, a+ 的物理意義將 a 作用在能量本征態(tài) n(x) 上由n 的遞推公式用 Dirac 符號表示其中 |n, |n-1, |n+1 等都是 H 的本征基矢， En, En-1, En+1。是相應本征值。因為 振子能量只能以 為單位變化，所以 能量單位可以看成是一個粒子，稱為“聲子”。狀態(tài) |n 表示體系在此態(tài)中有 n 個粒子（聲子）稱為 n 個聲子態(tài)。粒子 湮滅算符粒子 產(chǎn)生算符顯然有振子基態(tài)的基矢第53頁，共66頁。用產(chǎn)生算符 a+ 表示的振子基矢II. N 的意義上式表明， n 是N 算符的本征值，描寫粒子的數(shù)目，故N 稱為粒子數(shù)算符。第54頁，共66頁

24、。以 |n 為基矢的表象稱為占有數(shù)表象湮滅算符 a 的矩陣元 矩陣形式為：產(chǎn)生算符 a+ 的矩陣元 （2）占有數(shù)表象第55頁，共66頁。（1）不同表象之間的變換和么正變換矩陣 （2）波函數(shù)和算符的變換關系 （3）么正變換的性質(zhì)7 . 么正變換矩陣第56頁，共66頁。(1）么正變換矩陣力學量 A, B 其本征方程分別為: 由于本征基矢 的封閉性 B 基矢可 按 A 的基矢展開：展開系數(shù)：（1）不同表象之間的變換和么正變換矩陣第57頁，共66頁。寫成矩陣形式（2）S 矩陣的么正性1）S+ S = I2）S S+ = IS+ S = S S+ S+ = S-1所以第58頁，共66頁。（3）如何求么正

25、變換矩陣方法 I：由 S 矩陣元的定義式：計算出全部矩陣元即可得到 S 矩陣。方法 II ：由表達式可知，S 矩陣元S k, n = 1, 2, 3, . 即是 基矢 | 在A表象中的表示，即反之，如果我們已經(jīng)知道了某一力學量基矢在另一力學量表象中的表示，那末我們就可以直接把 S 變換矩陣寫出來。為清楚簡單起見，假設：A 和B的本征矢各只有3個，分別為:|1, |2, |3 和 |1, |2, |3 。|1 = S1 1|1 + S2 1|2 + S3 1|3 |2 = S1 2|1 + S2 2|2 + S3 2|3 |3 = S1 3|1 + S2 3|2 + S3 3|3如果 | , ( = 1, 2, 3) 在A表象中的表示 已