合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算精編版

1、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算公司標(biāo)準(zhǔn)化編碼QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N第七講合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算s減小字體滔人字體作老:李慎安?來源:發(fā)布時(shí)間：2007-05-08 10:19:04汁址培訓(xùn)：測雖不確定度表述講座國家質(zhì)雖技術(shù)監(jiān)督局李慎安合成標(biāo)準(zhǔn)不確定匕的定義如何理解合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度無例外地用標(biāo)準(zhǔn)偏差給出，其符號口以小寫正體c作為下角標(biāo)：如給出的為相對標(biāo) 準(zhǔn)不確定度,則應(yīng)另加正體小寫下角標(biāo)rel,成為 j 按JJF1001定義為：當(dāng)測量結(jié)果是由若干個(gè)其 他雖的值求得時(shí)，按其他備雖的方差和協(xié)方差算得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度如各量彼此獨(dú)立，則協(xié)方差為寥：如 不為零（相關(guān)情況下），則

2、必須加進(jìn)去。上述定義可以理解為：半測雖結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度由若干標(biāo)準(zhǔn)不確定度分雖構(gòu)成時(shí).按方和根（必要時(shí) 加協(xié)方差）得到的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。有時(shí)它可以抬某一臺測雖儀湍，也可以抬一套測雖系統(tǒng)或測雖設(shè)備所復(fù) 現(xiàn)的量值。在某個(gè)址的不確定度只以一個(gè)分量為主.其他分雖可忽略不計(jì)的情況下，顯然就無所謂合成標(biāo) 準(zhǔn)不確定度了。什么是輸入址、輸出址在間接測雖中，被測雖F不能直接測址.而是通過若干個(gè)別的可以直接測雖的址或是可以通過資料査 出其值的量，按一定的函數(shù)關(guān)系得出：方f（X，匕.X）其中兀為輸入址，而把F稱之為輸出雖。例如：被測量為一個(gè)立方體的休積匕通過其長人寬b和商力三個(gè)雖的測雖結(jié)果，按函數(shù)關(guān)系 燉bh計(jì)算,則

3、厶b,力為輸入址，卩為輸出雖：。什么叫作線性合成例如在測雖誤差的合成訃算中.其各個(gè)誤差分雖，不論是隨機(jī)誤差分雖還是系統(tǒng)i吳差分雖:，、“I合成為 測址誤差時(shí)，所有這些分量按代數(shù)和相加。這種合成的方法稱為線性合成。不確定度的族個(gè)分雖如彼此獨(dú)立.則恒用方和根的方式合成。但如果其中某兩個(gè)分雖彼此強(qiáng)相關(guān).且 相關(guān)系數(shù)尸+1，則合成時(shí)是代數(shù)相加，即線性合成而非方和根合成。什么叫靈敬系數(shù)為輸出址y的估計(jì)值y與輸入量足的估計(jì)值心 忌 払之間有產(chǎn)fg工，e的函數(shù)關(guān)系時(shí).在不確定度的傳播中,把：af伽二曲、為靈救系數(shù).它雖地給出r輸入aa與輸出量卩之間的相互變化關(guān)系之比值它木身也是個(gè)雖值.有數(shù)值和雖綱.往往 其

4、雖綱并非1,而是有測雖單位的.這種情況下不能將它按純數(shù)對待偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是在代入輸入址的估il值時(shí)作出評定.即在尤小時(shí)評定的。它描述了輸入估計(jì)值工的微小變化引甩y的變化3幾 =(林仙J爍 如果這個(gè)變化是山估 il fiV A7的標(biāo)準(zhǔn)不確定度所引起，則y相應(yīng)的變化為(刃滋兒&)。因此.合成方筮必(刃可以看 作補(bǔ)項(xiàng)方差之和，而每一項(xiàng)代表了由每個(gè)輸入估汁值工相關(guān)聯(lián)之估訃方差產(chǎn)生的輸出估計(jì)值y的估汁方 差。也就是：U?(y) = c. u ( x J 2 = . uy)C菊, Ui (y) = Ci Ui(A7)以下給出幾種比較簡訊而又較常見的函數(shù)關(guān)系的靈敬系數(shù)：yAxBxzci-A： cz-B產(chǎn) 1/x

5、c=-(i/y)產(chǎn)及/ (片c產(chǎn)衛(wèi)/(應(yīng)CzXi/ (.Yi+.Yh)v/(l+r)c=1/(1y)2ycxixzCi=v c：=.r：(ffc=2.yc=l/2(2.v 2)y =“二從疋iUo以上乩b R可以是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)或等于F用實(shí)驗(yàn)方法求靈敬系數(shù)時(shí)，特別是在y與工之間不存在簡單函數(shù)關(guān)系時(shí)，可以通過將其余輸入址保 持不變.僅變化第f個(gè)閃設(shè)變化址為“由此而導(dǎo)致的y的變化設(shè)為4戶則cMWH但也可通 過函數(shù)關(guān)系計(jì)算出輸入量尤的不確定度川幻只有在乘相應(yīng)的靈敏系數(shù)C,之后，才是輸出雖F的不確定度u(刃的一個(gè) 分雖uAy) o它們也才會有相同的雖綱。在線性函數(shù)關(guān)系中輸入雖的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度毗是否可以也

6、按方和根合成為輸岀雖F的相對標(biāo) 準(zhǔn)不確定度i(y)在輸入雖圧，.乂彼此獨(dú)立的情況下,如果它們與輸出址卩的函數(shù)關(guān)系是線性的,例如最簡的一種 情況：范仆 ;門根応石石而計(jì)算Y的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度鳥心)的。例如：由兩個(gè)500g的磁碼相加.組成為輸出ft 1000go每個(gè)500g磁碼的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 u(Q=u(Q=05g貝ij這輸岀雖lOOOg的不確定度實(shí)際上u(y) V(0.5g)2 (O.5g)2二丿63孑二o.7ig。對lOOOg來說，其相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為i4d(y) =0. 71g/1000g X 10 但如果用相對不確定度來合成，i4d(jo)=rd(x2) =0. 5g/500g=lX 1

7、0 它們 未合成前已大于顯然是不合理的。有些情況下，例如在化學(xué)分析中.在給定濃度下的臬些不確定度的分雖，這些分址的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度均 是除以某個(gè)相同的分僚.而輸出雖的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度也是這同一個(gè)分俅，這時(shí)是可以采用方和根來合成 相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度的必須注意.盡管相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度：(衛(wèi))都無例外地是無量綱雖，它們都用純數(shù)給出.但是這些純數(shù)并 不都是無條件地可以相對減或是進(jìn)行方和根運(yùn)算的。因?yàn)檫@些數(shù)都是址值.而且往往是不同定義的雖值。 也往往在這種相互獨(dú)立的線性函數(shù)中，輸入量北與按3類方法評定時(shí).一開始就是給出的相對標(biāo)準(zhǔn)不 確定度和毗(衛(wèi))，例如通過測雖儀器引用誤差評定的結(jié)果。那么，由于分母不同(輸

8、出址與輸入 雖：)，也是不能采用方和根得出輸出雖的相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度ei(y)的。在這種情況下，必須先把與3(尼)算成標(biāo)準(zhǔn)不確定度口(兒)與ug)后再合成為a(y)：如這時(shí)要求給出 g(y)即可將s(y) 除以八這是當(dāng)前極易被忽賂的問題之一。5乂與輸出firz間的函J -r(A：,，川二CX1 F1 X M 2而*是否也應(yīng)WN按先算出靈敏系數(shù)G通過()=茁2山(=茁3(刃合成可以這樣合成.但不一定要如此復(fù)朵。采用這種方法需要麻煩的備導(dǎo)數(shù)。更為簡單的辦法是采用輸入址的 相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度毗5)*(閃)/球乘以其相應(yīng)的閃的指數(shù)皿 即陽(/恥 進(jìn)行簡也的平方和得到輸出，y的相對合成方差即w2crei

9、(y) = u(y)/y2u( Xi)/Xi2i = I如果我們婆求得到s(y)而不是則可將得到的a“(y)乘以y即可。這是一種完全等效的汁算方 法。例如通過物體質(zhì)雖也與其運(yùn)動(dòng)速度卩的測址.求該物休的動(dòng)能$。它們之間的函數(shù)關(guān)系式(稱測雖模型)是:亦(1/2)砂:設(shè)輸入雖m的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u(m)=lg，而勿的最佳估il為lkg,速度A的雖佳估汁為lOOnt/s,其標(biāo)準(zhǔn)不 確定度u(v)=0. Ws,求輸出量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(&)o這時(shí),不必去求倫導(dǎo)數(shù)得出靈敏系數(shù),而是求 輸入址的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度 Urei(a) =u(m)/ztf=lg/lkg= 1 x 10 ii(0=n(0/F=(O. l

10、m/s)/(100m/s)=lX10* e 的抬數(shù)為a 的IK數(shù)為 2.貝lw 2 wl(= (i x IO5):+ (2X 1 X 103)：=5X 10-4.故 i4ei()X105而 u() = X10X (1/2) X lkgX (100m/s):= X103XX10，kg*m7s2 =llkg m7s2=llj如果P只是正1或負(fù)1則在這一情況下:uc(y)/y2= u2crcj(y)=SlufxJ/x,2I B 1Nl 1這就是說:在這種悄況下估訃值y的相對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度.等于輸入估汁值工的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度的方 和根。舉例如下：設(shè)以鹽酸作為標(biāo)準(zhǔn)滴定溶液，用以測雖某樣品中所含氫氧化鉀

11、的質(zhì)址分?jǐn)?shù)/F(KOH)標(biāo)準(zhǔn)溶液的濃度 c(HCl) = (l10-3)mol/L(A=2),則其標(biāo)準(zhǔn)不確定度 c(HCl) = (1/2) X1X 10a=X 10 滴定終點(diǎn)消耗 50mL按所用的B級滴定管4=土弔(4為最大允許誤差)由于通過兩次讀數(shù)之差得出.按正態(tài)分布考慮.収包含因子歸3,得消耗體積卩的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度(F0 = (1/3)X%x72 =X10-：o氫氧化鉀的相對摩爾質(zhì)量來自國際1995年公布的相對原子質(zhì)址表，其不確定度大大小于10巴可忽略不訃，其值X(KOH) = 在木例計(jì)算中可取近似為，其修約導(dǎo)致的不確定度即可忽略。樣品質(zhì)雖滬10g按所用天平和 磁碼的相對擴(kuò)展不確定度i

12、；dU)=3X10H,包含因子Q3,得其相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為g(m)=lX10二 訃算 方程(測雖模型)為：mOH)=r(r(HCl). c(HCl), (KOH), m)= (K(HC1) Xc(HCl) XMKOH)/jzt代入輸岀址的估計(jì)值得：F(KOH) = X1O3其相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度饌KOH),可按s(嘰4理(c), s%)按方和根得出為：x&ciF(KOH)= X10-：如要求給出uO(KOH) 則再乘以F(KOH)的估計(jì)值:XIOXXIOMTXIO-s木例所討論的il算方法.提供了不需求靈嗽系數(shù)對合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計(jì)算。、勺輸入雖兀之間出現(xiàn)J兩個(gè)或兩個(gè)以上的雖工明顯相關(guān)時(shí)，是否可以

13、不去訃算協(xié)方差或是相關(guān)系數(shù)進(jìn)行 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的il算在0JF1O59中只提到協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的A類評定方法.將它與其他分址的方差相加進(jìn)行合成。實(shí)際 工作中.特別是在il址學(xué)領(lǐng)域.采用A類評定是十分復(fù)雜的。我們可以按經(jīng)驗(yàn).把輸入雖工中強(qiáng)相關(guān)的那 些分雖（炙）等也是由若干分量合成的，其中既有與其他輸入冕:強(qiáng)相關(guān)的分雖，也有相互獨(dú)立的分雖：）， 按強(qiáng)相關(guān)（K十1）先行單獨(dú)合成作為輸出雖不確定度u（y）的一個(gè)分雖.然后把不相關(guān)的那些分雖按彼此獨(dú) 立合成為u（y）的第二個(gè)分雖:，最后將此兩分雖按彼此獨(dú)立來進(jìn)行合成（參閱木講座。例如:在JJF1059合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度a（刃的評定中,給過一個(gè)例子，當(dāng)標(biāo)稱

14、值為lkQ的10個(gè)電阻 器，用1個(gè)值為尼的標(biāo)準(zhǔn)電阻器校準(zhǔn).設(shè)校準(zhǔn)過程中的不確定度遠(yuǎn)小于朮的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（Q而忽略不 計(jì)校準(zhǔn)證書給出u（朮） = Q?，F(xiàn)將此10個(gè)電限器用電阻可忽略的導(dǎo)線串聯(lián)構(gòu)成一個(gè)10kQ的參考電阻，其屆尸f（兄）二令吭&汕 川加）。CJJF1059中給出的電*器的相彳系數(shù)為心 RE 并不可能是按A 類評定的因?yàn)椴淮嬖谂畟€(gè)標(biāo)準(zhǔn)器分別對這10個(gè)電阻器進(jìn)行校準(zhǔn)。這里的r（兄，幾）是按經(jīng)驗(yàn)得出的。通 過經(jīng)驗(yàn)，X兩個(gè)（或多個(gè)）輸入雖使用門司一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)湍或同一臺測雖儀湍時(shí)，或使用r相同的參考數(shù)據(jù).則 它們之間存在極大的正相關(guān)。10個(gè)電陰器的校準(zhǔn)正是這種情況。在尸+1的情況下.6I即線性相加因而,所構(gòu)成的10k Q的尼討的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度10工U- 1屁 J =: i u (Ri)=10X Q二Q但是.如果校準(zhǔn)過程中帶來的不確定度并非可忽略不計(jì).例如在對這10個(gè)中每個(gè)電阻器校準(zhǔn)過程中的標(biāo) 準(zhǔn)不確定度為Q，10個(gè)這樣的分雖彼此獨(dú)立.大小也-樣.合成起來就是0 x710 = 0.它應(yīng)按方利根與前而松關(guān)部分合成的Q介成的=7Tjsyi2 + J .O3 = Q o合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uAy）的自由度計(jì)算中應(yīng)注意什么問題合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度稱為有效自由度.符號為s輸出雖估計(jì)值