《高等代數(shù)》第五章矩陣課件

1、主要內(nèi)容問題的提出第一節(jié) 二次型及其矩陣表示二次型的定義及矩陣表示線性替換合同矩陣第1頁，共122頁。 在解析幾何中, 為了便于研究二次曲線把方程化為標準形的幾何性質(zhì), 我們可以選擇適當?shù)慕嵌?，作轉(zhuǎn)軸 ax2 + 2bxy + cy2 = f (1)(反時針方向轉(zhuǎn)軸)一、問題的提出第2頁，共122頁。變量的二次齊次多項式的化簡問題.(1) 式的左邊是一個二次多項式, 從代數(shù)學的觀點看, 化標準的過程就是通過變量的線性替換(2) 化簡一個二次齊次多項式, 使它只含有平方項. 這樣一個問題, 在許多理論問題或?qū)嶋H問題中常會遇到. 現(xiàn)在我們把這類問題一般化, 討論 n 個第3頁，共122頁。二、二次

2、型的定義及矩陣表示f(x1 , x2 , , xn ) = a11x12 + a22x22 +annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2an-1,nxn-1xn (3)稱為數(shù)域 P 上的一個 n 元二次型，簡稱二次1. 定義定義1 設 P 是一數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域 P 中的 x1 , x2 , , xn 二次齊次多項式型.第4頁，共122頁。2. 二次型的矩陣表示設有二次型f(x1 , x2 , , xn ) = a11x12 + a22x22 +annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2an-1,nxn-1xn .令aij = aji ,

3、i 1 )不失一般性，設 a12 0 .令它是非退化的線性替換，且使第31頁，共122頁。f ( x1 , x2 , , xn ) = 2a12x1x2 + .= 2a12(z1 + z2)(z1 - z2) + .= 2a12z12 -2a12z22 + ,這時上式右端是 z1 , z2 , , zn 的二次型，且 z12 的系數(shù)不為零，屬于第一種情況，定理成立.3) a11 = a12 = = a1n = 0 .由對稱性，有a21 = a31 = = an1 = 0 .第32頁，共122頁。這時是 n - 1 元二次型，根據(jù)歸納法假設，它能用非退化線性替換變成標準形.這樣我們就完成了定理的

4、證明.證畢第33頁，共122頁。不難看出，標準形的矩陣是對角矩陣，d1x12 + d2x22 + + dnxn2反過來，矩陣為對角形的二次型就只含平方項.按上一節(jié)的討論，經(jīng)過非退化的線性替換，二次型的矩陣變到一個合同的矩陣，因此，用矩陣的語言，第34頁，共122頁。定理 1 可以敘述為：定理 2 在數(shù)域 P 上，任意一個對稱矩陣都合同于一對角矩陣.定理 2 也就是說，對于任意一個對稱矩陣 A都可以找到一個可逆矩陣 C 使CTAC成為對角矩陣.第35頁，共122頁。例 1 用配方法化二次型為標準形.解由于二次型的平方項的系數(shù)全為零，故屬于定理 1 的證明過程中的第二種情形，作非退化線性替換第36

5、頁，共122頁。則再令即第37頁，共122頁。則最后令即第38頁，共122頁。則這即為標準形，而這幾次線性替換的結(jié)果相當于作一個總的線性替換，第39頁，共122頁。例 2 用配方法把三元二次型化為標準形，并求所用的線性替換及變換矩陣.第40頁，共122頁。三、配方法的矩陣形式前面所講的配方法的過程，可以用矩陣寫出來.我們按前面的每一種情況寫出相應的矩陣.情形一 a11 0這時的變數(shù)替換為第41頁，共122頁。該變數(shù)替換的矩陣為則上述變數(shù)替換相應于合同變換A C1TAC1 .為了計算 C1TAC1 ，可令第42頁，共122頁。于是 A 和 C1 可寫成分塊矩陣其中 T 為 的轉(zhuǎn)置，En - 1

6、為 n - 1 級單位矩陣，于是第43頁，共122頁。第44頁，共122頁。矩陣 A1 - a11-1 T 是一個 ( n - 1 ) ( n - 1 ) 對稱矩陣，由歸納法假設，有 ( n - 1 ) ( n - 1 ) 可逆矩陣 G 使GT( A1 - a11-1 T )G = D為對角形.令于是第45頁，共122頁。這是一個對角矩陣.我們所要的可逆矩陣為C = C1C2 .第46頁，共122頁。情形二 a11 = 0 但有一個 aii 0這時，只要把 A 的第一行與第 i 行互換，再把第一列與第 i 列互換，就歸結(jié)成情形一，根據(jù)初等矩陣與初等變換的關系，取第47頁，共122頁。i行i 列

7、第48頁，共122頁。顯然P( 1 , i )T = P( 1, i ) .矩陣C1TAC1 = P( 1 , i ) A P( 1 , i )就是把 A 的第一行與第 i 行互換，再把第一列與第i 列互換的結(jié)果.因此， C1TAC1 左上角第一個元素就是 aii ，這樣就歸結(jié)到第一種情形.第49頁，共122頁。情形三 aii = 0, i = 1, , n, 但有一 a1j 0, j 0與上一種情形類似，作合同變換P( 2 , j )TAP( 2 , j )可以把 a1j 搬到第一行第二列的位置，這樣就變成了配方法中的第二種情況.與那里的變數(shù)替換相對應，取第50頁，共122頁。于是 C1TA

8、C1 的左上角就是也就歸結(jié)到第一種情形.第51頁，共122頁。情形四 a1j = 0, j = 1, , n由對稱性，aj1 , j = 1, 2, , n , 也全為零，于是A1 是 n - 1 級對稱矩陣.由歸納法假設，有n - 1 級可逆矩陣 G 使GTA1G = D成對角形.取CTAC 就成為對角形.第52頁，共122頁。例 3 用配方法化二次型為標準形.解該二次型對應的矩陣為第53頁，共122頁。因為 a11 = a22 = a33 = 0, 但 a12 0, 故屬于情形三取第54頁，共122頁。再取第55頁，共122頁。再取第56頁，共122頁。A3 已是對角矩陣，因此令就有第57

9、頁，共122頁。作非退化線性替換X = CY ,即得第58頁，共122頁。四、初等變換法在本節(jié)的最后，再來討論化二次型為標準形的初等變換法.由本節(jié)知，對任意一個對稱矩陣 A都可以找到一個可逆矩陣 C 使CTAC成為對角矩陣.由于 C 可逆，由第四章知，存在初等矩陣 P1, P2 , , Pk , 有C = P1P2 Pk .第59頁，共122頁。 PkT P2TP1T A P1P2 Pk 于是為對角矩陣.這說明，任意一個實對稱矩陣 A，可以經(jīng)過一系列相同類型的初等行、列變換化為對角形矩陣.這里所謂的相同類型的初等行、列變換指的是：每對 A 進行一次行變換，緊接著對 A 進行一次相同類型的列變換

10、.又因為C = P1P2 Pk =EP1P2 Pk ，所以，對 A 作的列變換同樣施加于 E，即得變換矩陣 C .于是就有第60頁，共122頁。用初等變換法化二次型為標準形的方法是：將二次型的矩陣 A 與單位矩陣 E 構(gòu)造矩陣 B對 B 作相同類型的初等行、列變換，直到 B 中的即為標準形的系數(shù).子塊 A 成為對角矩陣, 則 B 中原來對應于 E 的部分即為線性變換矩陣.對角矩陣的主對角線上的元素第61頁，共122頁。例 4 用初等變換法化二次型為標準形.解該二次型對應的矩陣為第62頁，共122頁。構(gòu)造矩陣 B初等變換第63頁，共122頁。 所以二次型的標準形為 所用線性替換為第64頁，共12

11、2頁。例 5 用初等變換法化二次型為標準形.第65頁，共122頁。主要內(nèi)容引例第 三 節(jié) 唯 一 性復數(shù)域的情形實數(shù)域的情形第66頁，共122頁。一、引例引例 二次型 2x1x2 + 2x1x3 -6x2x3 的標準形.這個二次型是上一節(jié)中的例1，由此可知，二次型 2x1x2 + 2x1x3 -6x2x3 經(jīng)過線性替換第67頁，共122頁。變成的標準形為可以驗證，該二次型經(jīng)過線性替換第68頁，共122頁。就得到另一個標準形這就說明，在一般的數(shù)域內(nèi)，二次型的標準形不是唯一的，而與所作的非退化線性替換有關.但有一點是肯定的，即在一個二次型的標準形中，系數(shù)不為零的平方項的個數(shù)是唯一確定的，與所作的線

12、性替換無關.這是因為，經(jīng)過非退化線性替換第69頁，共122頁。四章第四節(jié)合同的矩陣有相同的秩，這就是說，經(jīng)過非退化線性替換之后，二次型矩陣的秩是不變的.標準形的矩陣是對角矩陣，而對角矩陣的秩就等于它對角線上不為零的元素的個數(shù).這就證明了標準形中，系數(shù)不為零的平方項的個數(shù)是唯一確定的.于是，我們引入二次型秩的概念：二次型的矩陣變成了一個與之合同的矩陣.由第第70頁，共122頁。定義5 稱二次型矩陣的秩為二次型的秩.在本節(jié)中，我們要討論的問題是：在復數(shù)域和實數(shù)域中，進一步研究唯一性的問題.第71頁，共122頁。二、復數(shù)域的情形設 f ( x1 , x2 , , xn ) 是一個復系數(shù)的二次型.由本

13、章經(jīng)過一適當?shù)姆峭嘶€性替換后f ( x1 , x2 , , xn ) 變成標準形.不妨假設它的標準形是d1y12 + d2y22 + + dryr2 , di 0, i = 1, 2, , r ,其中 r 是 f ( x1 , x2 , , xn ) 的矩陣的秩.因為復數(shù)總可以開平方，所以我們再作一非退化線性替換第72頁，共122頁。第73頁，共122頁。d1y12 + d2y22 + + dryr2 , di 0, i = 1, 2, , r ,就變成z12 + z22 + + zr2 .上式稱為復二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的規(guī)范形.顯然規(guī)范形完全被原二次型矩陣的秩

14、所決定，因此有定理 3 任意一個復系數(shù)的二次型，經(jīng)過一適當?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的.第74頁，共122頁。定理 3 換個說法就是定理 3 任一復數(shù)的對稱矩陣合同于一個形式為的對角矩陣.從而有，兩個復數(shù)對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等.第75頁，共122頁。三、實數(shù)域的情形設 f ( x1 , x2 , , xn ) 是一個實系數(shù)的二次型.由本章經(jīng)過一適當?shù)姆峭嘶€性替換，再適當排列文字的次序，可使 f ( x1 , x2 , , xn ) 變成標準形d1y12 + + dpyp2 - dp+1y2p+1 - - dryr2 ,其中 di 0 , i = 1, ,

15、 r ; r 是 f ( x1 , x2 , , xn )的秩. 因為在實數(shù)域中，正實數(shù)總可以開平方，所以再作一非退化線性替換第76頁，共122頁。第77頁，共122頁。二次型 d1y12 + + dpyp2 - dp+1y2p+1 - - dryr2 就變成z12 + + zp2 - z2p+1 - - zr2 .稱之為實二次型 f ( x1 , x2 , , xn )的規(guī)范形.顯然規(guī)范形完全被 r, p 這兩個數(shù)所決定.對于實系數(shù)二次型的規(guī)范形，我們有以下定理：定理 4 (慣性定理) 任意一個實數(shù)域上的二次型，經(jīng)過一適當?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的.第78頁，共122頁

16、。證明定理的前一半在上面已經(jīng)證明，下面就來證唯一性.設實二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 經(jīng)過非退化線性替換 X = BY 化成規(guī)范形f ( x1 , x2 , , xn ) = y12 + + yp2 - y2p+1 - - yr2 ,而經(jīng)過非退化線性替換 X = CZ 也化成規(guī)范形f ( x1 , x2 , , xn ) = z12 + + zq2 - z2q+1 - - zr2 .現(xiàn)在來證明 p = q .用反證法. 設 p q .第79頁，共122頁。由以上假設，我們有y12+yp2-y2p+1-yr2 = z12+zq2-z2q+1-zr2 ,其中Z = C -1BY

17、 .令第80頁，共122頁。則有于是可得關于y1,yp ,yp+1, yn的齊次線性方程組為了從等式y(tǒng)12+yp2-y2p+1-yr2 = z12+zq2-z2q+1-zr2中找到矛盾，令 yp+1 = = yn = 0 , z1 = = zq = 0,第81頁，共122頁。該方程組含有 n 個未知量，而含有q + ( n - p ) = n - ( p - q ) 0 ,而它的右邊為- z2q+1 - - zr2 0 ,第83頁，共122頁。這是一個矛盾，它說明假設 p q 是不對的.因此就有 p q .同理可證 q p ， 從而 p = q .這就證明了規(guī)范形的唯一性.定義 6 在實二次型

18、 f ( x1 , x2 , , xn ) 的規(guī)范形中，正平方項的個數(shù) p 稱為 f ( x1 , x2 , , xn ) 的正慣性指數(shù)；負平方項的個數(shù) r - p 稱為 f ( x1 , x2 , , xn ) 的負慣性指數(shù)；它們的差 p - ( r - p ) = 2p - r 稱為 f ( x1 , x2 , , xn ) 的符號差.第84頁，共122頁。應該指出，雖然實二次型的標準形不是唯一的，但是由上面化成規(guī)范形的過程可以看出，標準形中系數(shù)為正的平方項的個數(shù)與規(guī)范形中正平方項的個數(shù)是一致的.因此，慣性定理也可以敘述為：實二次型的標準形中系數(shù)為正的平方項的個數(shù)是唯一確定的，它等于正慣性

19、指數(shù)，而系數(shù)為負的平方項的個數(shù)就等于負慣性指數(shù).把上述關于二次型的規(guī)范形的結(jié)論，移置到矩陣上來，就是第85頁，共122頁。定理 5 (1) 任一復對稱矩陣 A 都合同于一個下述形式的對角矩陣：其中對角線上 1 的個數(shù) r 等于 A 的秩.第86頁，共122頁。(2) 任一實對稱矩陣 A 都合同于一個下述形式的對角矩陣：第87頁，共122頁。其中對角線上 1 的個數(shù) p 及 -1 的個數(shù) r - p ( r 是 A的秩)都是唯一確定的，分別稱為 A 的正、負慣性指數(shù).它們的差 2p - r 稱為 A 的符號差.第88頁，共122頁。主要內(nèi)容正定二次型的定義第四節(jié) 正定二次型實二次型正定性的判別方

20、法實二次型的其他類型及其判別法正定矩陣的應用舉例第89頁，共122頁。一、正定二次型的定義在實二次型中，正定二次型占有特殊的地位.因為正定二次型與正定矩陣在工程技術和最優(yōu)化等問題中有著廣泛的應用，討論多元函數(shù)極值的充分條件也要用到它.在這一節(jié)中，我們給出它的定義以及常用的判別條件.第90頁，共122頁。1. 定義定義 7 實二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數(shù) c1 , c2 , , cn 都有 f ( c1 , c2 , , cn ) 0 .第91頁，共122頁。2. 兩個基本結(jié)論1) 實二次型正定的充分必要條件是 di 0 , i =

21、 1, 2, , n .2) 非退化實線性替換保持正定性不變.第92頁，共122頁。二、實二次型正定性的判別方法定理 6 n 元實二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 是正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于 n .證明設二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 經(jīng)過非退化實線性替換變成標準形d1x12 + d2x22 + + dnxn2 1. 慣性指數(shù)法第93頁，共122頁。由前面討論的基本結(jié)論 1 知，該標準形是正定的當且僅當 di 0 , i =1, 2, , n , 即正慣性指數(shù)為 n .再由基本結(jié)論 2 即得.證畢定理 6 說明，正定二次型 f ( x1 , x2

22、 , , xn ) 的規(guī)范形為y12 + y22 + + yn2 .第94頁，共122頁。定義 8 實對稱矩陣 A 稱為正定的，如果二次型XTAX正定.因為二次型 x12 + x22 + + xn2 的矩陣是單位矩陣 E，所以一個實對稱矩陣是正定的當且僅當它與單位矩陣合同，由此得：推論 1 實對稱矩陣 A 正定的充分必要條件是存在可逆矩陣 C，使得 A = CTC.第95頁，共122頁。證明設 A 為實對稱矩陣，則由實對稱矩陣 A 正定等價實二次型 XTAX 正定等價實二次型 XTAX 的規(guī)范型是 x12 + x22 + + xn2 實二次型 XTAX 的規(guī)范型是 x12 + x22 + +

23、xn2 等價存在可逆矩陣 C，使 A = CTEC = CTC .矩陣 A 與 E 合同等價證畢有第96頁，共122頁。推論 2 正定矩陣的行列式大于零.證明設 A 是一正定矩陣，則由推論 1 知，存在可逆矩陣 C，使A = CTC .兩邊取行列式，就有| A | = | CT | | C | = | C |2 0 .證畢第97頁，共122頁。例 1 證明：若 A 是正定矩陣，則 A-1 也是正定的.證明由正定矩陣的定義知，正定矩陣是實對稱矩陣，由推論 2 知，正定矩陣 A 是可逆的，且( A-1 )T = ( AT )-1 = A-1 ，所以 A-1 也是實對稱矩陣.證明其正定性的方法很多.

24、第98頁，共122頁。例 2 用慣性指數(shù)法判斷三元二次型是否是正定二次型.第99頁，共122頁。2. 順序主子式法有時我們需要直接從二次型的矩陣來判別這個二次型是不是正定的，而不希望通過它的標準形或規(guī)范形.下面來解決這個問題.為此，引入定義 9 子式第100頁，共122頁。稱為矩陣 A = ( aij )nn 的順序主子式.定理 7 實二次型是正定的充分必要條件為矩陣 A 的順序主子式全大于零.證明先證必要性設二次型第101頁，共122頁。是正定的.對于每個 k ，1 k n , 令我們來證 fk 是一個 k 元的正定二次型.對于任意一組不全為零的實數(shù) c1 , , ck 有因此是正定的.由第102頁，共122頁。fk 的矩陣的行列式這就證明了矩陣 A 的順序主子式全大于零.再證充分性對 n 作數(shù)學歸納法.當 n = 1 時，f ( x1 ) = a11x12 ,由條件 a11 0 顯然有 f ( x1 ) 是正定的.第103頁，共122頁。假設充分性的論斷對于 n - 1 元二次型已成立,現(xiàn)在來證 n 元的情形.令于是矩陣 A 可以分塊成第104頁，共122頁。既然