大一下高數(shù)多元函數(shù)的極值及其求法

1、第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值設函數(shù)z f ( x, y)在點( x0 , y0 )的某1 定義鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于( x0 , y0 )的點( x, y)：若滿足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，則稱函數(shù)在( x0 , y0 ) 有極大值； 若滿足不等式f ( x, y) f ( x0 , y0 )，則稱函數(shù)在( x0 , y0 )有極小值；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.例1 函數(shù) z 3 x2 4 y2在(0,0) 處有極小值(1)例 函數(shù) z y2x2(2)在(0,0) 處有極大值函數(shù) z xy例(3)在(0,0)

2、 處無極值2、多元函數(shù)取得極值的條件(1)定理（必要條件）設函數(shù)z f ( x, y)在點( x0 , y0 )具有偏導數(shù)，且在點( x0 , y0 )處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為f x ( x0 , y0 ) 0，f y ( x0 , y0 ) 0.零：不妨設z f ( x, y)在點( x0 , y0 )處有極大值,證則對于( x0 , y0 )的某鄰域內(nèi)任意( x, y) ( x0 , y0 )都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ),故當 y y0， x x0 時，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),說明一元函數(shù) f ( x, y0 )在x x0處

3、有極大值,f x ( x0 , y0 ) 0;必有f y ( x0 , y0 ) 0.類似地可證推廣 如果三元函數(shù)u f ( x, y, z)在點P( x0 , y0 , z0 )具有偏導數(shù)，則它在P( x0 , y0 , z0 )有極值的必要條件為f x ( x0 , y0 , z0 ) 0，f y ( x0 , y0 , z0 ) 0，fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.(2)定義凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點.注意：駐點極值點例如,點(0,0)是函數(shù)z xy的駐點，但不是極值點.問題：如何判定一個駐點是否為極值點？(3)定理（充分條件）設函數(shù)z 在) 點(x0,

4、y 0 的)(fx, y某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，y 0) x0,y 0) 又 (f xx0,0(f y，0B ， f y(y)令 f x(xx0, y在)A， f x(yx0, yx0, yC ，000則 (fx, y點(B2x0, y 0 處)是否取得極值的條件如下：時具有極（1） AC0值，當A 0時有極大值，當A 0時有極小值；（2） AC B2 0值；時沒有極（3） AC B2 0時可能有極值,也可能沒有極值，還需另作(4）求函數(shù)z f ( x, y)極值的一般步驟：f y ( x, y) 0f x ( x, y) 0,第一步解方程組求出實數(shù)解，得駐點.對于每一個駐點(

5、x0 , y0 )，求出二階偏導數(shù)的值 A、B、C.第二步定出AC B2的符號，再判定是否是極值.第三步求函數(shù) f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y29x 的極值。例 3求由方程x2 y2 z2 2 x 2 y例 44z 10 0確定的函數(shù)z 將方程兩邊分別對x, y求偏導2 x 2z zx 2 4zx 0f ( x, y)的極值解2 y 2z z 2 4z 0yy駐點為P(1,1),由函數(shù)取極值的必要條件知,將上方程組再分別對x, y 求偏導數(shù),12 z12 zA z| B zC z| | 0,xxPxyPyyP1(2 z)2故 B2 AC 0(z 2),函數(shù)在P 有極值.有z1

6、2,z2 6,將P(1,1)代入原方程,當z 2時， A 1 0,1所以z 4f (1,1) 2為極小值；當z 6時， A 1 0,24f (1,1) 6為極大值.所以z 二、多元函數(shù)的最值與一元函數(shù)相類似，可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.求二元函數(shù)z f ( x, y) x 2 y(4 x y)例 5在直線x y 6， x軸和 y軸所圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值.先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點解y如圖,x y 6Dox，D解方程組 f ( x, y) 2 x

7、y(4 x y) x2 y 0 xf ( x, y) x2 (4 x y) x2 y 0y且 f (2,1) 4,得區(qū)域D內(nèi)唯一駐點(2,1),再求 f ( x, y)在D邊界上的最值，在邊界x 0和 y 0上 f ( x, y) 0,在邊界x y 6即上， y 6 xy ()x(2x6(于f是,x )y20 x4 ),x y 6Df由 4 ,oxx得x1 0464y 6, x|, x2) 2,(4f,21 )比較后可( 知2f,2為最4大值,為最64小值.)(4 f,x y求z 的最大值和最小值.例 6 y2 1x 2( x2 y2 1) 2 x( x y)( x2 y2 1)2zx 0,解

8、由 y2 1) 2 y( x y)( x2 y2 1)2( x2zy 0,1111)和(,得駐點(,),2222x y 0因為lim y2 1x2x y即邊界上的值為零.111111) z(,) z(,22212212，最小值為.所以最大值為22無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.積為2m3 的有蓋長方體例7. 某廠要用鐵板做一，問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?,則高為 2 m, 解:則A 2 設長,寬分別為 x,ymxy所用材料的面積為 x 0 x y y 2 x 2 2 x y 2x 2y y 0 xy xyA 2( y ) 02xx233令得駐點(2

9、,2 )因此可Ay 2( x 2 ) 0y2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應存在,斷定此唯一駐點就是最小值點. 即當長、寬均為 32323 2 3 22高為時,所用材料最省.例8.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成一個斷面為等腰梯形的水槽, 問怎樣折法才能使斷面面積最大.傾角為x解:設折起來的邊長為cm,則斷面面積為A 1 (24x) x sinx2 cos sin2224( D : 0 x 12 , 0 2)xx2424 2xx2 cos sinA24( D : 0 x 12 , 0 2)Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0令 x2 (cos2 sin2

10、 ) 0A24sin 0 , x 012 2 x x cos 024 cos 2 x cos x(cos2 sin2 ) 0 60 ,x 8 (cm)解得:3由題意知,最大值在定義域D而在域D內(nèi)達到,內(nèi)只有一個駐點,故此點即為所求.三、條件極值日乘數(shù)法有200元錢，他決定用來實例：兩種急需物品：計算機磁盤和磁帶，設他x 張磁盤，y盒磁帶達到最佳效果，x) y ln x 效果函數(shù)(為 U,yln設每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達到最佳效果x) y ln x 問題的實質(zhì)：(求U,y在ln條x10y 8下20的0 極值點件(1)條件極值：對自變量有附加條件的極值求函數(shù)z f

11、( x, y)在條件 ( x, y) 0下的極值。(2)日乘數(shù)法在) 條件(函數(shù)要找z 可能極值點，y ) (fx, yx,下0的x, y ) 先構(gòu)造函(數(shù),Fx)y(fx (y，,)其中為某一常數(shù)，可由 (x) y) y.f ( ,xx) y) y,x,x 000,f ( (,x解出x,yy)y ( x,y ,，其中x, y就是可能的極值點的坐標.：個的情況量多于兩廣到自變數(shù)法可推日乘要找u函數(shù) f(x,z)t,y, 在z )條t 件( x ,，( 0 x ,)ty,y,z0下的極值，先構(gòu)F造函( x數(shù),)t z, y ,y,z,f( t) ,x2z)y,t(x 1, y,( x,z,)t其

12、中 1 ,2均為常數(shù)，可由 條件解出數(shù)為零及偏導x,y ,z,點的t坐標，即得極值.將正數(shù) 12 分成三個正數(shù)x, y, z 之和 使得例 9u x3 y2z為最大.將正數(shù) 12 分成三個正數(shù)x, y, z 之和 使得例 9u x3 y2z為最大.令 F ( x, y, z) x 3 y2z ( x y z 12),解y z 0F223 xx2 x yz 0F3y則F x3 y2 0zx y z 12解得唯一駐點(6,4,2)， 63 42 2 6912.u故最大值為maxx2 y2 z2 1例 10在第一卦限內(nèi)作橢球面a2b2c2的切平面，使切平面與三個坐標面所圍成的四面體體積最小，求切點坐

13、標.設P( x0 , y0 , z0 )為橢球面上一點,解x2y2z2令F ( x, y, z) a2b2c2 1, 2 y0 ， 2z0 2 x0 ，則F |F |F |xPyPzPa 2b2c 2過P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程為x0 ( x x ) y0 ( y y ) z0 (z z) 0,000c 2a 2b2x x0 y y0 z z0 1,化簡為a2b2c2該切平面在三個軸上的截距各為a2b2c2x ， y ，z ,x0y0z0a 2b2c 216V xyz ,所圍四面體的體積6 x0 y0 z0 x 2y 2z 2在條件 0 0 1下求 V 的最小值, 0 c

14、2a 2令 u ln x0b2ln y0 ln z0 ,G( x0 , y0 , z0 )x2y2z2 ln z ( 0 1), ln xln y0 b2 0 c2000a2GxGyGz 0, 0, 0000,由20y2y2x 1 000a2b2c22x010a xxa22y0003b，310y0 y0b22z0即c1 0z z0c2302y2z2x為當切點坐標01000 a2b2c2abc()時,， 3333 abc .四面體的體積最小Vmin2四、小結(jié)多元函數(shù)的極值（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值日乘數(shù)法思考題若 f ( x0 , y)及 f ( x, y0 )在( x0 ,

15、 y0 ) 點均取得極值，則 f ( x, y)在點( x0 , y0 )是否也取得極值？思考題解答例如 f ( x, y) x 2 y 2,不是.當x 0時， f (0, y) y 2在(0,0)取極大值;當 y 0時， f ( x,0) x 2在(0,0)取極小值;但 f ( x, y) x 2 y2在(0,0)不取極值.練 習 題一、填空題:1、函數(shù) f ( x, y) (6 x x 2 )(4 y y 2 ) 在點取得極值為.2、函數(shù)z xy 在附加條件x y 1下的極_值為.3、方程 x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6z 2 0 所確定的函數(shù)z f ( x, y)的極大值是,極小值是.在平面 xOy 上求一點, 使它到 x 0, y 0 及x 2 y 16 0三直線的距離平方之