高考數(shù)學(xué)選填靜電題型匯編：題型45 數(shù)列通項結(jié)構(gòu)的應(yīng)用

1、題型45 數(shù)列通項結(jié)構(gòu)的應(yīng)用【方法點撥】1.數(shù)列an是等差數(shù)列anpnq(p，q為常數(shù)).2. 數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn(A，B為常數(shù)).3. 已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，則eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)也是等差數(shù)列，且其首項為a1，公差為an公差的eq f(1,2).4.兩個等差數(shù)列an、bn的前n項和Sn、Tn之間的關(guān)系為.5.兩個等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為Sn、Tn，若，則.【典型題示例】例1 是公差為2的等差數(shù)列的前n項和，若數(shù)列也是等差數(shù)列，則_.【答案】或3【分析】用特殊值法，也可直接抓住等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征解題.【解析一】（特殊值法）由題

2、意，數(shù)列是等差數(shù)列，解得或，時，時，均為的一次函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，故的值為1或3.【解析一】（特殊值法）由題意，數(shù)列是等差數(shù)列必為關(guān)于的一次式，即是完全平方式解之得或（下同解法一）例2 已知是首項為2，公比為的等比數(shù)列，且的前項和為，若也為等比數(shù)列，則 【答案】2【解析】因為是首項為2，公比為的等比數(shù)列所以為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列所以，即點評：等比數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)特征是：.例3 已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是 .【答案】5【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的公式不難得到： （）（）式是一個關(guān)于的一次齊次分式，遇到此類問題的最基本的求解策略是“部分分式”即將該分

3、式逆用通分，將它轉(zhuǎn)化為分子為常數(shù)，只有分母中含有變量因為所以，要求使得為整數(shù)的正整數(shù)，只需為的不小于的正約數(shù)所以例4 已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若a12 014，eq f(S2 014,2 014)eq f(S2 008,2 008)6，則S2 020等于_.【答案】2 020【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則eq f(S2 014,2 014)eq f(S2 008,2 008)6d6，d1，且首項為eq f(S1,1)2 014.故eq f(S2 016,2 016)eq f(S1,1)2 015d2 01

4、42 0151，S2 02012 0202 020.【鞏固訓(xùn)練】1.記等差數(shù)列an的前n項和為，已知，且數(shù)列也為等差數(shù)列，則 = . 2. 已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a3a4117，a2a522，數(shù)列bn滿足bneq f(Sn,nc)（其中c0），若bn為等差數(shù)列，則c的值等于_.3. 設(shè)等比數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意自然數(shù)n都有，則的值為_.4. 設(shè)，分別是等差數(shù)列，的前項和，已知，則 5.已知是等差數(shù)列的前項和，若，則數(shù)列的前20項和為 6. 已知數(shù)列的an的前n項和Sn，若an和都是等差數(shù)列，則的最小值是 . 【答案與提示】1.【答案】5

5、0【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為，則由等差數(shù)列求和公式得.又因為數(shù)列為等差數(shù)列，故.所以.2.【答案】eq f(1,2)【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且d0，由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a2a5a3a422，所以a3，a4是關(guān)于x 的方程x222x1170的解，所以a39，a413，易知a11，d4，故通項為an1(n1)44n3.所以bneq f(Sn,nc)eq f(2n2n,nc).法一（特殊值法）所以b1eq f(1,1c)，b2eq f(6,2c)，b3eq f(15,3c)(c0).令2b2b1b3，解得ceq f(1,2).當(dāng)ceq f(1,2)時，bneq f(2n2n,nf(1,2

6、)2n，當(dāng)n2時，bnbn12.故當(dāng)ceq f(1,2)時，數(shù)列bn為等差數(shù)列.法二由bneq f(Sn,nc)eq f(f(n（14n3）,2),nc)eq f(2nblc(rc)(avs4alco1(nf(1,2),nc)，c0，可令ceq f(1,2)，得到bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列.即存在一個非零常數(shù)ceq f(1,2)，使數(shù)列bn也為等差數(shù)列.3.【答案】9【解析】聯(lián)想等比數(shù)列的前n項和的結(jié)構(gòu)特征，可知：，且 所以.4.【答案】 【提示】因為，所以. 5.【答案】55【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)也是等差數(shù)列，設(shè)，其公差為d且，所