高考數(shù)學選填靜電題型匯編：題型41 有關(guān)圓冪定理型壓軸題

1、題型41 有關(guān)圓冪定理型壓軸題【方法點撥】1.相交弦定理：如下左圖，圓O的兩條弦AB、PC相交于圓內(nèi)一點P，則.2. 切割線定理:如下右圖，PT為圓O的切線，PAB、PCD為割線，則（）; 3.割線定理：如下右圖，PAB、PCD為圓O的割線，則.說明：上述三個定理可以統(tǒng)一為(其中是半徑)，統(tǒng)稱為圓冪定理.【典型題示例】例1 如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點，點P是圓O：上的任意一點，過點作直線BT垂直于AP，垂足為T，則2PA+3PT的最小值是_【答案】【分析】從題中已知尋求PA、PT間的關(guān)系是突破口，也是難點，思路一是從中線長定理入手，二是直接使用圓冪定理.【解法一】由中線長公式可得，

2、則，則在中，即所以（當且僅當時取等）【解法二】BT AP，點T的軌跡是圓，其方程是：x2+y2=1，過點P作該圓的切線PC，C為切點，則PC=，由切割線定理得： 所以（當且僅當時取等）.點評：解法二中，先運用定直線張直角，得到隱圓，然后運用切割線定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解決，思路簡潔、解法明快.在有關(guān)解析幾何的題目中，首先考慮相關(guān)的幾何性質(zhì)是解決這類問題的首選方向.例2 在平面直角坐標系xOy中，已知C：x2(y1)25，A為C與x負半軸的交點，過A作C的弦AB，記線段AB的中點為M. 若OAOM，則直線AB的斜率為_【答案】2【分析】看到“弦的中點”想到作“弦心距”，得到CMA

3、B，故CMA+AOC=180o，所以A、O、C、M四點共圓，AC為直徑.在該外接圓中，使用正弦定理求出sinA即可.【解析】連結(jié)C、M，則CMAB，在四邊形AOCM中，CMA+AOC=180o，故A、O、C、M四點共圓，且AC為直徑.x2(y1)25中，令y=0，得x2，A（2，0），AC=5即為AOM外接圓的直徑，在AOM中，由正弦定理得：OMsinA=5，而OAOM=2，所以sinA=25，所以tanA=2.故直線AB的斜率為2例3 在平面直角坐標系中，過點的直線與圓交于兩點，其中點在第一象限，且，則直線的方程為 【答案】yx1【分析】本題思路有下列幾種：利用向量坐標設(shè)點轉(zhuǎn)化，點參法；設(shè)直

4、線方程的在x軸上的截距式，聯(lián)立方程組；垂徑定理后二次解三角形；相交弦定理；利用”爪”型結(jié)構(gòu),得,兩邊平方求得的余弦值.【解法一】：易知直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為yk(x1)由eq o(BM,sup14()2eq o(MA,sup14()，設(shè)BM2t，MAt.如圖，過原點O作OHl于點H，則BHeq f(3t,2).設(shè)OHd，在RtOBH中，d2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3t,2)2r25.在RtOMH中，d2eq blc(rc)(avs4alco1(f(t,2)2OM21，解得d2eq f(1,2)，則d2eq f(k2,k21)eq f(1,2)，解得k1或k1

5、.因為點A在第一象限， eq o(BM,sup14()2eq o(MA,sup14()，由圖知k1，所以所求的直線l的方程為yx1.【解法二】由，設(shè)BM2t，MAt 又過點M的直徑被M分成兩段長為、 由相交弦定理得，解之得 過原點O作OHl于點H，在RtOBH中，d2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3t,2)2r25，解得d2eq f(1,2)，（下同解法一，略）.【解法三】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq o(BM,sup14()(1x2，y2)，eq o(MA,sup14()(x11，y1)因為eq o(BM,sup14()2eq o(MA,sup14()，所以e

6、q blcrc (avs4alco1(1x22x11，,y22y1.)當直線AB的斜率不存在時，eq o(BM,sup14()eq o(MA,sup14()，不符合題意當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,x2y25，)得(1k2)y22ky4k20，則eq blcrc (avs4alco1(y1y2f(2k,1k2)，,y1y2f(4k2,1k2)，,y22y1，)解得eq blcrc (avs4alco1(y1f(2k,1k2)，,y2f(4k,1k2)，)所以y1y2eq f(8k2,1k22)eq f(4k2,1

7、k2)，即k21.又點A在第一象限，所以k1，即直線AB的方程為yx1.【解法四】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq o(BM,sup14()(1x2，y2)，eq o(MA,sup14()(x11，y1)因為eq o(BM,sup14()2eq o(MA,sup14()，所以eq blcrc (avs4alco1(1x22x11，,y22y1，)即eq blcrc (avs4alco1(x22x13，,y22y1.) 又eq blcrc (avs4alco1(xoal(2,1)yoal(2,1)5，,xoal(2,2)yoal(2,2)5，)代入可得eq blcrc (avs4al

8、co1(xoal(2,1)yoal(2,1)5，,2x1324yoal(2,1)5，)解得x12，代入可得y11.又點A在第一象限，故A(2,1)，由點A和點M的坐標可得直線AB的方程為yx1.點評：上述各種解法中，以解法一、解法二最簡、最優(yōu).【鞏固訓練】1. 在平面直角坐標系中，是直線上的動點，以為圓心的圓，若圓 截軸所得的弦長恒為4，過點作圓的一條切線，切點為，則點到直線距離的最大值為 .2.在平面直角坐標系xOy中，圓C：(m0)已知過原點O且相互垂直的兩條直線l1和l2，其中l(wèi)1與圓C相交于A，B兩點，l2與圓C相切于點D若ABOD，則直線l1的斜率為 3. 在平面直角坐標系中，設(shè)直線

9、與圓交于兩點，為坐標原點，若圓上一點滿足，則 4.在平面直角坐標系xOy中，已知點在圓C：內(nèi)，若存在過點P的直線交圓C于A、B兩點，且PBC的面積是PAC的面積的2倍，則實數(shù)m的取值范圍為 5.在平面直角坐標系中，圓若圓存在以為中點的弦，且，則實數(shù)的取值范圍是 6.已知直線與圓相交于兩點，點在直線上且，則的取值范圍為 .【答案與提示】1.【答案】2.【答案】【解析一】作CEAB于點E，則 ， 由OECD是矩形，知CE2OD2，化簡得， 即cosOCD，tanCOBtanOCD， 直線l1的斜率為【解析二】作CEAB于點E，則OECD是矩形設(shè)ODt(t 0)，則由切割線定理OD2OA OB得，即（）又，將（）代人得，即，直線l1的斜率為3.【答案】:【解法一】遇線性表示想求模，將向量問題實數(shù)化.，即，整理化簡得.過點作的垂線交于，則，得.又圓心到直線的距離，所