人口增長模型的確定

1、數(shù)學(xué)建模論文第二 套論文題目：人口增長模型的確定組 別：姓 名：提交日期:題目：人口增長模型的確定摘要針對問題一，本文建立了 Malthus 人口指數(shù)增長模型。由于人口數(shù)量較少時(shí)，人口的增長率可以看成常數(shù)，所以在預(yù)測人口數(shù)量較少時(shí)， Malthus 人口指數(shù)增長模型能夠比較準(zhǔn)確的預(yù)測人口數(shù)量。由預(yù)測結(jié)果可以看出， Malthus 模型在人口數(shù)量不是很大的1800年到 1960年預(yù)測與實(shí)際相近， 但在 1960年以后預(yù)測結(jié)果與實(shí)際人口相差很大， 這 說明 Malthus 模型并不能準(zhǔn)確的預(yù)測美國人口，因此在問題二種對該模型進(jìn)行了改進(jìn)。 針對問題二，本文建立了 logistic 人口增長模型。由于

2、受到自然資源和生態(tài)環(huán)境的限制，人口的增長不能超過環(huán)境所能容納的最大人口數(shù)量，所以當(dāng)人口數(shù)量到達(dá)環(huán)境容納量時(shí)， 增長率應(yīng)為 0。 從預(yù)測結(jié)果來看， 從 1790年到 1980年 Logistic 模型的預(yù)測數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)基本吻合。從1990 年的預(yù)測結(jié)果來看，其與實(shí)際結(jié)果非常相近，更加趨近于實(shí)際數(shù)據(jù)。 在一定程度上， Logistic 模型從一定程度上克服了指數(shù)增長的不足， 更能準(zhǔn)確地預(yù)測美國人口的增長。 但隨著時(shí)間的推移， Logistic 模型的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的差距越來越大，因此這種模型也只適用于對最近幾個(gè)十年的人口進(jìn)行預(yù)測。針對問題三，本文應(yīng)用問題一和問題二的模型。用這兩種模型分析中國

3、同時(shí)期的人口數(shù)量。由預(yù)測結(jié)果來看， Malthus 模型預(yù)測 1790年到 1980年之間的中國人口數(shù)量，與實(shí)際數(shù)據(jù)相差甚大，在1840-1940 年之間，實(shí)際人口增長明顯下降，而Logistic 模型更加擬合實(shí)際人口數(shù)量。 在 2010年， Logistic 模型預(yù)測的人口數(shù)量為 16億， 這與實(shí)際的人口數(shù)量13.4 億相差較大， 這種差距是由中國在90年代實(shí)行的計(jì)劃生育政策造成的。綜上所述， Logistic 模型能夠比較準(zhǔn)確的對人口進(jìn)行預(yù)測， 但是任何一種模型都有其適用范圍，也只能最近幾年的人口，如果要預(yù)測更遠(yuǎn)的未來的人口，還需要考慮更多的不確定因素。關(guān)鍵詞： 人口增長模型， Malth

4、us 模型， logistic 模型，人口預(yù)測一、問題重述1790-1980年間美國每隔10年的人口記錄如下表所示。表1人口記錄表年份1790180018101820183018401850186018701880人口(106)3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.2年份1890190019101920193019401950196019701980人口(106)62.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5.試用 以 上數(shù)據(jù)建立馬爾薩斯(Malthus)人口指數(shù)增長模型，并對接下來的每隔十年預(yù)測五次人口 數(shù)量，并

5、查閱實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比對分析。.如果數(shù)據(jù)不相符，再對以上模型進(jìn)行改進(jìn)，尋找更為合適的模型進(jìn)行預(yù)測，并對 兩次預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比分析。.查閱資料找出中國人口與表1同時(shí)期的人口數(shù)量，用以上建立的兩個(gè)模型進(jìn)行人 口預(yù)測與分析。二、問題分析針對問題一，題目中已經(jīng)給出了 1790-1980年間美國每隔10年的人口記錄，現(xiàn)需 建立Malthus人口指數(shù)增長模型，擬合實(shí)際人口數(shù)量。再根據(jù)已建立的模型對接下來的 每隔十年預(yù)測五次人口數(shù)量，最后可以查找1990年、2000年和2010年的實(shí)際人口與預(yù) 測的結(jié)果進(jìn)行比較，對模型進(jìn)行檢驗(yàn)。針對問題二，由于人口的變化受到多方面因素的影響，所以實(shí)際人口往往不是以 指數(shù)形式增長

6、的，而更可能是增長到一定程度后逐漸趨于平穩(wěn)的，為此我們可以采用 Logistic阻滯增長模型對人口進(jìn)行預(yù)測和分析。針對問題三，可以查閱到與表 1同時(shí)期的中國人口數(shù)據(jù)，然后用再用 Malthus模 型和Logistic 模型對中國人口進(jìn)行預(yù)測，并與實(shí)際人口數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，尋找一種更適 合中國人口預(yù)測的模型。三、問題假設(shè)1、假設(shè)不會(huì)發(fā)生大的災(zāi)難或疾病使人口數(shù)量急劇減少；2、假設(shè)政策對生育率不進(jìn)行干預(yù)；3、假設(shè)人口數(shù)量的變化是封閉的，即人口數(shù)量的增加與減少只取決于人口中個(gè)體的生 育與死亡，且每個(gè)個(gè)體具有同樣的生育能力與死亡率；4、假設(shè)人口數(shù)量僅受自然資源與環(huán)境條件所限制。四、變量說明x(t)t時(shí)刻的人

7、口數(shù)量Xo初始時(shí)刻的人口數(shù)量r人口增長率Xm自然資源與環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量五、模型建立與求解模型一的建立與求解假設(shè)x(t)表示t時(shí)刻的人口的人口數(shù)，且 x(t)連續(xù)可微。在Malthus模型中人口 的增長率為常數(shù)。人口數(shù)量的變化是封閉的，即人口的增長與減少只取決于人口中個(gè)體 的生育與死亡，且每個(gè)個(gè)體具有同樣的生育率與死亡率。由假設(shè)，由 t至ht時(shí)刻的人口增量為：x(t t) x(t) rx(t) t于是得dxrx dt x(0) x其解為x(t)x0ert模型二的建立與求解由于地球上的資源是有限的，它只能提供一定數(shù)量生命生存所需的條件。隨著人口 的增加，自然資源、環(huán)境等條件對人口再增

8、長的限制作用越來越明顯。如果在人口較小 時(shí)，可以把增長率r看成常數(shù)，當(dāng)人口增加到一定數(shù)量之后，就應(yīng)該把r看成隨著人口增加而減小的量。即將增長率r表示為人口 x(t)的函數(shù)r(x),且r(x)為x的減函數(shù)， 由此建立logistic 模型。假設(shè)r(x)為x的線性函數(shù)，即r(x) r sx。自然資源與環(huán)境所能容納的最大人口數(shù)量為xm,即當(dāng)x xm時(shí)，人口的增長率為0由假設(shè)可得則有,r(x) r(1dxx.r (1 )x dtxmx(to) xxm式（）是一個(gè)可分離變量的方程，其解為x(t)xm1 e r t t0 xo六、結(jié)果分析問題一采用Malthus模型對問題一求解，所得預(yù)測結(jié)果如圖 1和表2

9、所示:im2(10-| - | - | - VI -|180。1N4U LNH0 192。1%02000年份圖1 Malthus 模型預(yù)測結(jié)果表2 Malthus 模型預(yù)測結(jié)果年份19902000201020202030Malthus 預(yù)測人口（106）405.53502.40622.41771.08955.26實(shí)際人口（ 106）248.71281.42308.74由圖1可知，在1930年之前，美國的人口可以認(rèn)為是以指數(shù)模型增長的； 而在1930 年到1940年之間，人口增長緩慢，這可能是第二次世界大戰(zhàn)對美國人口產(chǎn)生了影響； 1940年之后，人口增長逐漸趨于緩慢，不再以指數(shù)模型進(jìn)行增長，這與

10、美國人口的生活 觀念和生活方式的轉(zhuǎn)變有一定的關(guān)系。由表 2可知，Malthus模型的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際人 口相差很大，這說明Malthus模型并不能用于預(yù)測美國人口，因此該模型還需要進(jìn)一步 改進(jìn)。問題二采用Logistic模型對問題二求解，所得預(yù)測結(jié)果如圖2和表3所示:圖1 Logistic 模型預(yù)測結(jié)果表3 Logistic 模型預(yù)測結(jié)果年份19902000201020202030Logistic 預(yù)測人口 (106)230.91242.51252.01259.66265.72實(shí)際人口（ 106）248.71281.42308.74由圖2可知，從1790年至I 1980年Logistic模型的預(yù)

11、測數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)基本吻合。從1990年的預(yù)測結(jié)果來看，其與實(shí)際結(jié)果非常相近，只有7.7%的誤差。這說明Logistic 模型從一定程度上克服了指數(shù)增長的不足，更加符合實(shí)際人口增長的速度。但隨著時(shí)間 的推移，Logistic模型的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際結(jié)果的差距越來越大，因此這種模型也只適用于對最近幾個(gè)十年的人口進(jìn)行預(yù)測，如果用來預(yù)測更遠(yuǎn)的未來的人口，還需要考慮更多 的不確定因素。問題三查閱同時(shí)期中國人口數(shù)量如下表 4所示：表4中國人口記錄表年份1790180018101820183018401850186018701880人口（10 %323.45341.6360.738140941241237735

12、8368年份1890190019101920193019401950196019701980人口（ 10 6）380400423472489518.77551.67662.07825.4987. 0分別用模型一和模型二的求解，所得預(yù)測結(jié)果如圖 3和表5所示:年份19902000201020202030Malthus 預(yù)測人口（106）702.16732.44764.20796.96831.33Logistic 預(yù)測人口 (106)1137.031352.091606.621900.12228.6實(shí)際人口（ 106）1135.181264.101341T-4除人口 上Mid由例預(yù)制 r口次調(diào)工訕

13、預(yù)測由圖3發(fā)現(xiàn)，由Malthus模型預(yù)測1790年-1980年之間的中國人口數(shù)量，與實(shí)際數(shù) 據(jù)相差很大，在1840-1940年之間，人口增長明顯下降，而 Logistic 模型更加擬合實(shí) 際人口數(shù)量。在2010年，Logistic模型預(yù)測的人口數(shù)量為16億，這與實(shí)際的人口數(shù)量 13.4億相差較大，這種差距是由中國在 90年代實(shí)行的計(jì)劃生育政策造成的。八、參考文獻(xiàn)1張志涌，楊祖櫻.MATLAB教程M.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011.2姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)建模(第三版)習(xí)題參考解答M,北京，高等教育出版社，2002.3齊歡.數(shù)學(xué)模型方法M.武漢：華中理工大學(xué)出版社，2005.4謝金星

14、，薛毅.優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟彳M.北京，清華大學(xué)出版社，20055李工農(nóng)，阮曉，青徐晨.經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策及其 MATLAB現(xiàn)M.北京：清華大學(xué)出版社， 2007.九、附錄程序1clearclct=1790:10:1980;x(t)=3.95.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2)t1=1790:10:2030;x1=x0.*exp(r.*t

15、1);plot(t,x(t),r,t1,x1,b);axis(1790 2010 0 700);程序2 clear clc% 定義向量(數(shù)組)x=1790:10:1980;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 .92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(x,y,*,x,y); % 畫點(diǎn)，并且畫一直線把各點(diǎn)連起來hold on;a0=0.001,1; % 初值%最重要的函數(shù)，第1個(gè)參數(shù)是函數(shù)名(一個(gè)同名的m文件定義)，第2個(gè)參數(shù)是初值,第 3、 4 個(gè)參數(shù)是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)a

16、=lsqcurvefit(curvefit_fun2,a0,x,y);disp(a= num2str(a); % 顯示結(jié)果% 畫圖檢驗(yàn)結(jié)果xi=1790:10:2010;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,r);% 預(yù)測 1990 年的數(shù)據(jù)x1=1990;y1=curvefit_fun2(a,x1)% 預(yù)測 2000 年的數(shù)據(jù)x2=2000;y2=curvefit_fun2(a,x2)% 預(yù)測 2010 年的數(shù)據(jù)x3=2010;y3=curvefit_fun2(a,x3)% 預(yù)測 2020 年的數(shù)據(jù)x4=2020;y4=curvefit_fun2(a,x4)%

17、預(yù)測 2030 年的數(shù)據(jù)x5=2030;y5=curvefit_fun2(a,x5)hold off美國人口預(yù)測年份實(shí)際LogisticMalthus相對誤差 (Malthus)相對誤差( Logistic)17903.93.95.59167-43.37615385018005.35.166916.92733-30.704339622.51113207518107.26.83548.58203-19.194861115.06388888918209.69.0253410.63198-10.749791675.986041667183012.911.8870313.17159-2.1053488

18、377.85248062184017.115.6049416.317834.5740935678.743040936185023.220.3991220.215612.863793112.07275862186031.426.5216625.0444220.2407006415.53611465187038.634.2447731.0266719.6200259111.28297927188050.243.8367638.4378723.4305378512.67577689189062.955.5226947.6193624.2935453119007669.4302758.9939922.

19、3763289519109285.5281473.0856220.55910871920106.5103.5725590.5432614.982854461930123.2123.08527 112.170948.9521590911940131.7143.38309 138.96472-5.5161123771950150.7163.66332 172.15862-14.239296621960179.3183.12602 213.28139-18.952253211970204201.09536 264.22698-29.523029411980226.5217.10295 327.341

20、73-44.521735111.728632758.6443815797.0346304352.7487793430.093125-8.870987092-8.602070338-2.1338650311.4238431374.1488079471990230.91488 405.532422000242.50778 502.400172010252.01481622.40632020259.6639771.077782030265.7242955.26175323.45341.6360.75381409412412377358368380400423472489518551.67662.07

21、825.42987.05Logistic303.9305.14258306.78056308.9394311.78408315.5314320.46584326.96015335.50171346.72593361.45825380.76564406.01837438.96102481.78915537.22329608.56421699.70282815.04422959.29221137.03535Malthus301.81471314.8293328.40509342.56629357.33813372.74695388.82021405.58657423.07592441.31943460.34961480.2004500.90718522.50686545.03794568.54058593.0