全等三角形證明中的基本模型

1、全等中的基本模型知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)平移型全等時(shí)稱型全等全等二角形的基本模型旋折型全等輔助線添加初段模塊知識(shí)導(dǎo)航平移型全等把一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，它們的位置雖然變化了，但是形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.我們把平移、翻折（軸對(duì)稱）、旋轉(zhuǎn)稱為幾何變換.這一講我們就來(lái)學(xué)習(xí)基本變 換下的全等三角形.常見(jiàn)平移模型【弓I例】如圖， A、E、F、B四點(diǎn)在一條直線上, 求證：CF DEAC CE , BD DF , AE【解析】AC CE, BD DF ACE BDF 90在 RtACE 和 RtABDF 中AC BDAE BF RtA ACE RtABDF HLCE DF , AE

2、C BFD CEF DFE 在CEF和ADFE中CE DFCEF DFEEF FEACEF ADFECF DE【例1】如圖1, A、B、C、D在同一直線上， AB CD , DE /AF ,且DE AF.求證：AFCDEB如果將BD沿著AC邊的方向平行移動(dòng)，圖 2, B點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)；圖3, B點(diǎn)在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，其余 條件不變，結(jié)論是否成立，如果成立，請(qǐng)選擇一種情況請(qǐng)予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.FFF圖1圖2圖3常見(jiàn)軸對(duì)稱模型FD4123B； 模塊三旋轉(zhuǎn)型全等能力提升【例3】如圖，AB AC, D、E分別是 AB、AC的中點(diǎn)， AM CD于M , AN 求證：AM AN .C常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)模型:B

3、E 于 N .AMNDEB知識(shí)導(dǎo)航如圖， ABE和 ADC是 ABC分別沿著 AB, AC翻折到同一平面內(nèi)形成的.若1: 2: 3 15:2:1 ,則 4 EBAD1C ， EFC夯實(shí)基礎(chǔ)C.5對(duì)D.6對(duì)D, CEL AB 于 E, BD,則圖中全等直角三角【例2】 如圖，4ABC中，AB = AC, BD7 和CE交于點(diǎn) O, AO的延長(zhǎng)線交 BC形的對(duì)數(shù)為（A.3對(duì))B.4對(duì)【引例】如圖，在 針旋轉(zhuǎn), 時(shí)，求【解析】 A:ABC 中， A: B: ACB 3:5:10 ,若將 4ACB 繞點(diǎn) C逆時(shí) 使旋轉(zhuǎn)后的 4ABC中的頂點(diǎn)B在原三角形的邊 AC的延長(zhǎng)線上 BCA的度數(shù).B: ACB

4、3:5:1010一 ACB 18010018由 ACB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到 ABCACBACB BCA100 ACB100 2BCA 18018020能力提升【教師鋪墊】 如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),角形.請(qǐng)你證明： AN BM ;4DEC為等邊三角形； ACM、(4)MFA 60：| ;DE / AB.CBN是等邊三【例4】 如圖1,若 ABC和4ADE為等邊三角形， M、N分別EB, CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE , AAMN是 等邊三角形.當(dāng)把 ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，CD=BE是否仍然成立？若成立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)把 ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)， AMN是否還是等邊三

5、角形？若是，請(qǐng)給出證明；若不 是，請(qǐng)說(shuō)明理由.CC圖1圖2C圖3【例5】 如圖1,若四邊形 ABCD、GFED都是正方形，顯然圖中有 AG=CE, AGXCE.當(dāng)正方形 GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，AG=CE是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成 立，請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)正方形 GFED繞D旋轉(zhuǎn)到B, D, G在一條直線 （如圖3）上時(shí)，連結(jié) CE,設(shè)CE分另交AG、 AD 于 P、H,求證：AGXCE.模塊四輔助線添加初步知識(shí)導(dǎo)航,在原圖基礎(chǔ)之上另外所作的具有極大價(jià)值的輔助線：在幾何學(xué)中用來(lái)幫助解答疑難幾何圖形問(wèn)題 直線或者線段.添輔助線的作用：凸顯和集散.揭示圖形中隱含的性質(zhì)：當(dāng)條件與結(jié)論間

6、的邏輯關(guān)系不明朗時(shí)，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將條 件中隱含的有關(guān)圖形的性質(zhì)充分揭示出來(lái)，以便取得過(guò)渡性的推論，達(dá)到推導(dǎo)出結(jié)論的目的.聚攏集中原則：通過(guò)添置適當(dāng)?shù)妮o助線，將圖形中分散、遠(yuǎn)離的元素，通過(guò)變換和轉(zhuǎn)化，使他 們相對(duì)集中，聚攏到有關(guān)圖形上來(lái)，使題設(shè)條件與結(jié)論建立邏輯關(guān)系，從而推導(dǎo)出要求的結(jié)論.化繁為簡(jiǎn)原則：對(duì)一類幾何命題，其題設(shè)條件與結(jié)論之間在已知條件所給的圖形中，其邏輯關(guān) 系不明朗，通過(guò)添置適當(dāng)輔助線，把復(fù)雜圖形分解成簡(jiǎn)單圖形，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的.發(fā)揮特殊點(diǎn)、線的作用：在題設(shè)條件所給的圖形中，對(duì)尚未直接顯現(xiàn)出來(lái)的各元素，通過(guò)添置適當(dāng)輔助線，將那些特殊點(diǎn)、特殊線、特殊圖形性質(zhì)

7、恰當(dāng)揭示出來(lái)，并充分發(fā)揮這些特殊點(diǎn)、線的作用，達(dá)到化難為易、導(dǎo)出結(jié)論的目的.構(gòu)造圖形的作用：對(duì)一類幾何證明題，常須用到某種圖形，這種圖形在題設(shè)條件所給的圖形中卻沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，必須添置這些圖形，才能導(dǎo)出結(jié)論，常用方法有構(gòu)造出線段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等【例6】 如圖4ABC中，AD平分Z BAC , DGLBC且平分 BC,DEXAB 于 E, DF XAC 于 F.說(shuō)明BE=CF的理由；如果 AB= a , AC= b ,求 AE、BE的長(zhǎng).【例7】 如圖1,已知4ABC中，AB BC 1 , /ABC 90 ,把一塊含30角的直角三角板 DEF的直角頂 點(diǎn)D放在AC的

8、中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為 DE ,長(zhǎng)直角邊為DF ）,將直角三角板 DEF繞D點(diǎn) 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).直線 DE交直線 AB于M ,直線DF交直線BC于N .在圖1中，證明DM DN ;在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直角三角板DEF與4ABC的重疊部分為四邊形 DMBN ,請(qǐng)說(shuō)明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積； 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，DM DN是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明 理由； 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，DM DN是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論，不用證明.圖3學(xué)雒柜展訓(xùn)練（選講）【例8】 如圖所示： AF CD , BC E

9、F , AB DE , A D .求證：BC II EF .AE, CD、BE相交于點(diǎn)O.AB訓(xùn)練1.如圖所示：AB AC, AD 求證：AO平分 DAE .訓(xùn)練2.如圖，BD、CE分別是4ABC的邊AC和AB邊上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上，求證：APBP AC，點(diǎn)Q在CE上,CQ AB .訓(xùn)練3.在凸五邊形中，M為CD中點(diǎn).訓(xùn)練4.AQ;B求證:APE ,AM如圖，AB AE , ABCBC DE ,AED, BCED ,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn).求證：AFCD .CFD題型一 平移型全等 鞏固練習(xí)AC,【練習(xí)1】 如圖，若 AB CD , A E、F、C在一條直線上，AE CF ,過(guò)E、F分別作D

10、EBF AC.求證：BD平分EF . 若將ADEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)到圖的位置時(shí)，其他條件不變，上述結(jié)論是否成立? 請(qǐng)說(shuō)明理由.題型二 對(duì)稱型全等 鞏固練習(xí)【練習(xí)2】 如圖，已知 RtAABC RtAADE,ABC圖中還有幾對(duì)全等三角形，請(qǐng)你一一列舉；求證：CF=EF .ADE 90 , BC與DE相交于點(diǎn)F ,連接CD、EB.BC ,垂足為題型三旋轉(zhuǎn)型全等鞏固練習(xí)【練習(xí)3】 如圖，在RtABC中，AB AC , AD分別是CD、AD上的點(diǎn)，且 CE AF .如果 AED 62 ,那 么 DBF .【練習(xí)4】 如圖，已知 ABD和 AEC都是等邊三角形,AFCD 于 F , AHBE于H ,請(qǐng)問(wèn)：AF和AH有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.題型四 輔助線添加初步鞏固練習(xí)【練習(xí)5】如圖，一等腰直角三角尺 GEF的兩條直角邊與正方形 ABCD的兩條邊分別重合在一起.現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺 GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)0（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn). 如圖，當(dāng)