新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第六章平面及其應(yīng)用：6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1、6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 1.(2019北京師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)c=()A.12B.0C.-3D.-112.已知a=(cos 75,sin 15),b=(cos 15,sin 75),則ab的值為()A.0B.12C.32D.13.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若ab=1,則x=()A.-1B.-12C.12D.14.已知OA=(2,2),OB=(4,1),OP=(x,0),則當(dāng)APBP的值最小時(shí),x的值是()A.-3B.3C.-1D.15.已知點(diǎn)A(-1,1),

2、B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),CD方向上的單位向量為e,則向量AB在CD上的投影向量為.題組二向量的模6.已知點(diǎn)A(1,-1),B(-2,3),則與向量AB方向相同的單位向量為()A.-35,45B.35,-45C.-45,35D.45,-357.(2020廣東惠州高一上期末)已知向量a=(1,1),向量b=(2,0),則|a+3b|=.8.(2020北京西城高一上期末)已知向量a=(1,-2),b=(-3,m),其中mR.若a,b共線,則|b|=.9.已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,則x的值為.10.在直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=

3、90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),求|PA+3PB|的最小值.題組三向量的夾角11.已知向量a=(1,-3),b=(0,-2),則a與b的夾角為()A.6B.3C.56D.2312.已知向量a=12,-32,|b|=23,若a(b-a)=2,則向量a與b的夾角為()A.6B.4C.3D.213.(2020北京首師大附中高一上期末)已知向量a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,那么向量a,b的夾角為()A.45B.60C.90D.13514.(2020吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二上期末)已知向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夾角為鈍角,則t的取值范圍是()A.t23C.t23且

4、t-6D.t-6題組四向量的垂直 15.已知i=(1,0),j=(0,1),則下列與2i+3j垂直的向量是()A.3i+2jB.-2i+3jC.-3i+2jD.2i-3j16.(2020廣西柳州高級(jí)中學(xué)高二上期末)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),若a+b與a垂直,則=()A.-1B.1C.-2D.217.已知平面向量a=(1,1),b=(x,-3),且ab,則|a+2b|=()A.74B.72C.26D.5218.已知向量a=(2,m),b=(4,-2),且(a+b)(a-b),則實(shí)數(shù)m=.19.已知a=(2,0),b=(3,1).(1)當(dāng)k為何值時(shí),ka-b與a+2b垂直;(

5、2)若AB=5a-2b,BC=a+mb,且A,B,C三點(diǎn)共線,求m的值.能力提升練題組一向量的模、夾角與向量的垂直 1.(2020山東棗莊三中高一期中,)下列向量中,一定是單位向量的有()a=(cos ,-sin );b=(lg2,lg5);c=(2x,2-x);d=(1-x,x).A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.(2020河北衡水武邑中學(xué)高一期中,)已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m為實(shí)數(shù),當(dāng)兩向量的夾角在0,12內(nèi)變動(dòng)時(shí),m的取值范圍是()A.(0,1)B.33,3C.33,1(1,3)D.(1,3)3.()如圖,以AB為直徑在正方形ABCD內(nèi)部作半圓O,P為半圓上與A,B

6、不重合的一動(dòng)點(diǎn),下面關(guān)于|PA+PB+PC+PD|的說(shuō)法正確的是(深度解析)A.無(wú)最大值,但有最小值B.既有最大值,又有最小值C.有最大值,但無(wú)最小值D.既無(wú)最大值,又無(wú)最小值4.()若AB=(cos ,-1),AC=(2cos ,2sin ),其中0,則|BC|的最大值為.5.(2020河南九師商周聯(lián)盟高二聯(lián)考,)已知p:x-aI1D.對(duì)任意的點(diǎn)P,有I3I110.()定義f(x)=x-2(ax)a,給出下列四個(gè)向量:a=(0,0),a=24,24,a=22,-22,a=-12,32.對(duì)于任意非零向量x,y,使f(x)f(y)=xy恒成立的向量a的序號(hào)是.11.()已知OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)為O(

7、0,0),A(2,9),B(6,-3),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為14,且OP=PB,點(diǎn)Q是邊AB上一點(diǎn),且OQAP=0.(1)求實(shí)數(shù)的值與點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)求點(diǎn)Q的坐標(biāo);(3)若R為線段OQ(含端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試求RO(RA+RB)的取值范圍.答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.Ca=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),a+2b=(-5,6),(a+2b)c=-53+62=-3.2.Bab=cos 75cos 15+sin 75sin 15=cos(75-15)=cos 60=12,故選B.3.Dab=(1,-1)(2,x)=2-x=1,x=1.4.B由已知可得AP=OP-OA=(x-2,-2),

8、BP=OP-OB=(x-4,-1),所以APBP=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故當(dāng)x=3時(shí),APBP的值最小.故選B.5.答案322e解析由已知得AB=(2,1),CD=(5,5),因此AB在CD上的投影向量為ABCD|CD|e=1552e=322e.6.A由題意得AB=(-3,4).設(shè)與向量AB方向相同的單位向量為a,則a=AB=(-3,4)=(-3,4),其中0,所以|a|=(-3)2+(4)2=1,解得=15或=-15(舍去),所以與向量AB方向相同的單位向量為a=-35,45.故選A.7.答案52解析由題意得a+3b=(7,1),所以|a+3b|=72

9、+12=50=52.8.答案35解析a,b共線,m-6=0,即m=6,|b|=(-3)2+62=35.9.答案2解析因?yàn)閍=(x,2),b=(-1,1),所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1).因?yàn)閨a-b|=|a+b|,所以(x+1)2+1=(x-1)2+9,解得x=2.10.解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=h,則A(2,0),B(1,h).設(shè)P(0,y)(0yh),則PA=(2,-y),PB=(1,h-y),|PA+3PB|=25+(3-4y)225=5,當(dāng)且僅當(dāng)3h=4y,即DP=34DC時(shí),等號(hào)成立.故|PA+3PB|的最小值為5.11.A設(shè)向量a與向量b的夾角為

10、(0,),則cos =ab|a|b| =10+(3)(-2)1+30+4=32,所以=6.故選A.12.A由已知可得a2=|a|2=1,ab-a2=2,所以ab=3.設(shè)向量a與b的夾角為,0,則cos =ab|a|b|=32,所以=6.所以向量a與b的夾角為6.故選A.13.A將向量b平移,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)每個(gè)小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1,則a=(3,1),b=(1,2).設(shè)向量a,b的夾角為,則cos =ab|a|b|=3+29+11+4=22,又因?yàn)?180,所以=45.故選A.14.C由題意得,ab=-2+3t.a與b的夾角為鈍角,ab0,且a,b不平行,-2+3t0且6+t0

11、,解得t23且t-6.故選C.15.Ci=(1,0),j=(0,1),2i+3j=(2,3).對(duì)于選項(xiàng)A,3i+2j=(3,2),(2i+3j)(3i+2j)=6+6=120,A不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)B,-2i+3j=(-2,3),(2i+3j)(-2i+3j)=-4+9=50,B不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)C,-3i+2j=(-3,2),(2i+3j)(-3i+2j)=-6+6=0,2i+3j與-3i+2j垂直,C符合題意;對(duì)于選項(xiàng)D,2i-3j=(2,-3),(2i+3j)(2i-3j)=4-9=-50,D不符合題意.故選C.16.A由題意可得a+b=(+4,-3-2),a+b與a垂直,(a+b)a

12、=+4+9+6=0,=-1.故選A.17.Aa=(1,1),b=(x,-3),ab,ab=x-3=0,x=3,b=(3,-3),a+2b=(7,-5),|a+2b|=72+(5)2=74,故選A.18.答案4解析a=(2,m),b=(4,-2),a+b=(6,m-2),a-b=(-2,m+2).又(a+b)(a-b),(a+b)(a-b)=6(-2)+(m-2)(m+2)=0,m2=16,m=4.19.解析(1)因?yàn)閍=(2,0),b=(3,1),所以ka-b=(2k-3,-1),a+2b=(8,2),由ka-b與a+2b垂直,得8(2k-3)+(-1)2=0,所以k=138.(2)由題得AB

13、=5a-2b=(4,-2),BC=a+mb=(2+3m,m),因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以AB,BC共線.從而4m+2(2+3m)=0,解得m=-25.能力提升練B1.B |a|=1,|b|=1,|c|=(2x)2+(2-x)22,|d|=(1-x)2+x2=2x2-2x+1=2x-122+1222,所以一定是單位向量的有2個(gè).故選B.2.C設(shè)向量a,b的起點(diǎn)均為O(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),終點(diǎn)分別為A,B.由題意可知,OA=(1,1),即A(1,1).如圖所示,當(dāng)點(diǎn)B位于B1或B2時(shí),a與b的夾角為12,即AOB1=AOB2=12,此時(shí)B1Ox=4-12=6,B2Ox=4+12=3,故B11,33,

14、B2(1,3),又a與b的夾角不為零,故m1.所以m的取值范圍是33,1(1,3).3.A設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,連接OP,則C(1,2),D(-1,2),|OP|=1,設(shè)P(cos ,sin ),其中0,則PA+PB+PC+PD=2PO+PC+PD=(-2cos ,-2sin )+(1-cos ,2-sin )+(-1-cos ,2-sin ) =(-4cos ,4-4sin ),|PA+PB+PC+PD|=(-4cos)2+(4-4sin)2=3232sin,(0,),sin (0,1,|PA+PB+PC+PD|0,42).故選A.導(dǎo)師點(diǎn)睛本題考查了向量的加法及向

15、量模的計(jì)算,利用建系、坐標(biāo)表示的方法,通過(guò)引入三角函數(shù)使問(wèn)題變得思路清晰,計(jì)算簡(jiǎn)便.遇見(jiàn)正方形、圓、等邊三角形、直角三角形等特殊圖形常用建系的方法.4.答案3解析由題意可得,BC=AC-AB=(cos ,2sin +1), 所以|BC|2=cos 2+(2sin +1)2=3sin 2+4sin +2=3sin+232+23,因?yàn)?,所以sin 0,1,所以當(dāng)sin =1時(shí),|BC|2取得最大值 9,所以|BC|的最大值為3.5.答案-,-32解析由題意知,p:x-a0,即x0,且a與b不共線,23x0,2x+30,x6且x-32.p是q的充分不必要條件,a-32,故a的取值范圍為-,-32.

16、易錯(cuò)警示本題答案易錯(cuò)寫(xiě)為a6,要注意q中x的取值范圍為x6且x-32,即q中x的值不能取-32,所以要滿足p是q的充分不必要條件,實(shí)數(shù)a的取值范圍應(yīng)為-,-32.6.A令y=tan4x-2=0,即4x-2=k,kZ,當(dāng)k=0時(shí),解得x=2;令y=tan4x-2=1,即4x-2=4+k,kZ,當(dāng)k=0時(shí),解得x=3.A(2,0),B(3,1),OA=(2,0),OB=(3,1),AB=(1,1),(OA+OB)AB=5+1=6.7.C如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系.等邊ABC的邊長(zhǎng)為2,M(0,0),A(0,3),B(-1,0).AB=(-1,-3),AM=(0,-3),AB-tAM=(-1,-3

17、+3t),|AB-tAM|=(-1)2+(3+3t)22,化簡(jiǎn),得t2-2t0,t2或t0,故選C.8.Af(x)=(a+xb)(xa-b)=x|a|2-ab+x2ab-x|b|2,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象是一條直線,所以ab=0,且|a|2|b|2,所以3(-1)+2m+72=0且131+m+722,解得m=-2,所以b=-1,32,|b|=(-1)2+322=132.9.C如圖,以C為原點(diǎn),CD、CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則C(0,0),A(-3,-2),B(0,-2),D(-3,0),AB=(3,0),AC=(3,2),AD=(0,2).|CP|=1,且P在矩形內(nèi),P

18、在第三象限,設(shè)P(cos ,sin )0,即I2I1,故A錯(cuò)誤,C正確;I3-I1=2sin -3cos -5=13sin(-)-50其中tan=32,即I3I1,故B、D錯(cuò)誤.10.答案解析當(dāng)a=(0,0)時(shí), f(x)=x, f(y)=y,滿足f(x)f(y)=xy,故滿足題意;當(dāng)a0時(shí), f(x)f(y)=x-2(ax)ay-2(ay)a=xy-4(ax)(ay)+4(ax)(ay)a2,要滿足f(x)f(y)=xy,需滿足4(ax)(ay)a2=4(ax)(ay),a2=1,中,a2=242+242=14,不滿足題意;中,a2=222+-222=1,滿足題意;中,a2=-122+322=1,滿足題意.故符合題意的序號(hào)為.11.解析(1)設(shè)P(14,y),則OP=(14,y),PB=(-8,-3-y),由OP=PB,得(14,y)=(-8,-3-y),解得=-74,y=-7,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(14,-7).(2)設(shè)Q(a,b),則OQ=(a,b),由(1)得AP=(12,-16),OQAP=0,12a-16b=0,即3a-4b=0.點(diǎn)Q在邊AB上,AQAB,又AB=(4,-12),AQ=(a-2