新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第八章立體幾何初步：8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積

1、8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積 1.知道棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積的計(jì)算公式. 2.能利用計(jì)算公式求多面體的表面積與體積. 3.能用計(jì)算公式解決與多面體相關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題. 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積 1.多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和. 2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和. 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積幾何體體積公式棱柱V棱柱=Sh(其中S為棱柱的底面積,h為棱柱的高)棱錐V棱錐=Sh(其中S為棱錐的底面積,h為棱錐的高)棱臺(tái)V棱臺(tái)=(S+S)h(其中S,S分別為棱臺(tái)的上、下底面面積,h為棱臺(tái)的高) 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的

2、體積公式之間的關(guān)系 1.底面積相等且高相等的兩個(gè)同類(lèi)幾何體的體積相等.()2.在三棱錐P-ABC中,VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC=VC-PAB. ()3.錐體的體積等于底面面積與高之積.()4.棱臺(tái)的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)棱錐的體積之差.()5.三棱柱的側(cè)面積也可以用cl來(lái)求解,其中l(wèi)為側(cè)棱長(zhǎng),c為底面周長(zhǎng).()提示：當(dāng)三棱柱為直棱柱時(shí),側(cè)面積可以用cl來(lái)求解,若為斜棱柱,則不能.判斷正誤，正確的畫(huà)“” ，錯(cuò)誤的畫(huà)“ ” . 運(yùn)用“等體積轉(zhuǎn)換法”求三棱錐的體積 在平面幾何中,可利用“等積變換”求三角形的面積,通常有兩種方案:一是同一三角形選不同的邊作為底邊所得面積相等;二是不同的三角形利

3、用“等底同高”或“等高同底”得到的三角形面積相等.在空間圖形中能否借鑒平面幾何的“等積變換”求三棱錐的體積呢? 如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E為線段B1C上的一點(diǎn),在求三棱錐A-DED1的體積時(shí),隨著E點(diǎn)的變化,底面DED1的面積在變化,點(diǎn)A到底面DED1的距離也在變化,導(dǎo)致體積難求. 1.能否利用“等體積轉(zhuǎn)換法”求解三棱錐A-DED1的體積?提示:能.三棱錐A-DED1的體積等于三棱錐E-ADD1的體積. 2.求三棱錐E-ADD1的體積的關(guān)鍵是求高,即求E點(diǎn)到平面AA1D1D的距離,如何求出 E點(diǎn)到平面AA1D1D的距離?提示:由于正方體的側(cè)面AA1D1D與側(cè)面BB

4、1C1C平行,因此E點(diǎn)到平面AA1D1D的距離等于C點(diǎn)到平面AA1D1D的距離. 3.如何求出三棱錐A-DED1的體積?提示:由問(wèn)題1、2,得=111=. 當(dāng)所給幾何體的體積不能直接套用公式或涉及的某個(gè)量(底面積或高)不易求解時(shí),可以轉(zhuǎn)換一下幾何體中有關(guān)元素的相對(duì)位置進(jìn)行計(jì)算.具體作法是選擇合適的底面,使得底面面積和高易于計(jì)算.該方法適用于求三棱錐的體積,由于三棱錐是由4個(gè)三角形面圍成的四面體,其中任何一個(gè)三角形面都可以看成其底面,所得三棱錐的體積保持不變.其他棱錐求體積時(shí)不能隨意換底.在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,俯視圖是直角邊長(zhǎng)為1的等

5、腰直角三角形.設(shè)點(diǎn)M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),則三棱錐P-A1MN的體積是.思路點(diǎn)撥把三棱錐P-A1MN的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐A1-PMN的體積,再轉(zhuǎn)化為三棱錐P-AMN的體積.解析由題意知三棱柱ABC-A1B1C1是一個(gè)直三棱柱,三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,高為1,如圖所示,則=VA-PMN=VP-AMN=1=. 答案如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱PA是四棱錐P-ABCD的高,且PA=2,求三棱錐C-PBD的體積. 思路點(diǎn)撥由VC-PBD=VP-BCD,結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解.解析因?yàn)镻A是四棱錐P-ABCD的高,所以PA是三棱錐P

6、-BCD的高,所以VC-PBD=VP-BCD=SBCDPA=112=. 運(yùn)用“割補(bǔ)法”求幾何體的體積 孔明鎖,也叫八卦鎖、魯班鎖,是中國(guó)古代民族傳統(tǒng)的土木建筑固定結(jié)合器,是曾廣泛流傳于中國(guó)民間的智力玩具,它還有“別悶棍”“六子聯(lián)芳”“莫奈何”“難人木”等叫法. 孔明鎖,不用釘子和繩子,完全靠自身結(jié)構(gòu)的連接支撐,就像一張紙對(duì)折一下就能夠立起來(lái),展現(xiàn)了一種看似簡(jiǎn)單,卻凝結(jié)著不平凡的智慧.如圖是一個(gè)六柱孔明鎖. 如上圖所示,六柱孔明鎖是一個(gè)組合體,其體積等于六根木棒的體積和,那么如何求號(hào)木棒的體積呢?提示:可將號(hào)木棒分割成3個(gè)長(zhǎng)方體后再求體積,或者將號(hào)木棒割補(bǔ)為一個(gè)完整的長(zhǎng)方體后再求體積. 求解不規(guī)

7、則幾何體的體積時(shí),若幾何體是組合體,一般將其轉(zhuǎn)化為求若干個(gè)柱、錐、臺(tái)的體積的和或差,從而使不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的簡(jiǎn)單幾何體的形式. 1.可將正四面體補(bǔ)為正方體,如圖所示. 3.可將三棱柱補(bǔ)成平行六面體,如圖所示.2.可將三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體,如圖所示(PAPB,PAPC,PBPC). 4.可將臺(tái)體補(bǔ)成錐體,如圖所示.如圖所示,多面體ABCDEF中,已知平面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,EFAB,EF=,EF到平面ABCD的距離為2,則該多面體的體積V為( D)A.B.5C.6D. 思路點(diǎn)撥將不規(guī)則幾何體通過(guò)割(或補(bǔ))轉(zhuǎn)化成易于求解的幾何體.解析如圖,連接EB,EC,AC,則VE-ABCD=322=6.AB=2EF,EFAB,SEAB=2SBEF.VF-EBC=VC-EFB=VC-ABE=VE-ABC=VE-ABCD= .V=VE-ABCD+VF-EBC=6+ = .答案D如圖,已知三棱柱ABC-A