對(duì)稱性微構(gòu)分析測(cè)試中心課件

1、晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性-從點(diǎn)陣到空間群中國(guó)科學(xué)院物理研究所董成*第1頁(yè)，共85頁(yè)。主要內(nèi)容 晶體的平移對(duì)稱性：三維點(diǎn)陣和晶胞晶體學(xué)中的對(duì)稱操作元素： (旋轉(zhuǎn)軸、倒反中心、鏡面、反軸、映軸、螺旋軸和滑移面)晶體學(xué)點(diǎn)群，晶系和點(diǎn)陣型式空間群及其應(yīng)用：空間群符號(hào)，等效點(diǎn)系，分?jǐn)?shù)坐標(biāo)，不對(duì)稱單位*第2頁(yè)，共85頁(yè)。晶體性質(zhì) 晶體是原子(包括離子，原子團(tuán))在三維空間中周期性排列形成的固體物質(zhì)。晶體有以下的共同性質(zhì)：均勻性;各向異性;自范性;對(duì)稱性;穩(wěn)定性。 *第3頁(yè)，共85頁(yè)。對(duì)稱性的不同含義物體的組成部分之間或不同物體之間特征的對(duì)應(yīng)、等價(jià)或相等的關(guān)系。（希臘字根=類似尺寸的。）由于平衡或和諧的排列所顯示的美

2、。形態(tài)和（在中分平面、中心或一個(gè)軸兩側(cè)的）組元的排列構(gòu)型的精確對(duì)應(yīng)。*第4頁(yè)，共85頁(yè)。晶格*第5頁(yè)，共85頁(yè)。晶體點(diǎn)陣與晶體對(duì)稱性在每個(gè)重復(fù)周期都選取一個(gè)代表點(diǎn)，就可以用三維空間點(diǎn)陣來(lái)描述晶體的平移對(duì)稱性。而平移對(duì)稱性是晶體最為基本的對(duì)稱性。整個(gè)點(diǎn)陣沿平移矢量 t=ua+vb+wc (u、v， w為任意整數(shù)) 平移，得到的新空間點(diǎn)陣與平移前一樣，稱沿矢量t的平移為平移對(duì)稱操作。*第6頁(yè)，共85頁(yè)。晶體點(diǎn)陣與晶體對(duì)稱性點(diǎn)陣是一組無(wú)限的點(diǎn)，連接其中任意兩點(diǎn)可以得到一個(gè)矢量，點(diǎn)陣按此矢量平移后都能復(fù)原。三維空間點(diǎn)陣是在三維空間中點(diǎn)的無(wú)限陣列，其中所有的點(diǎn)都有相同的環(huán)境。選任意一個(gè)陣點(diǎn)作為原點(diǎn)，三個(gè)

3、不共面的矢量a， b和c作為坐標(biāo)軸的基矢，這三個(gè)矢量得以確定一個(gè)平行六面體如下： 此平行六面體稱為晶胞。*第7頁(yè)，共85頁(yè)。晶胞如上確定的六面體稱為晶胞，由矢量a， b和c確定的方向稱為晶體學(xué)的晶軸 X， Y， Z。如果晶胞中只包含一個(gè)陣點(diǎn)，則這種晶胞被稱為初基的 (primitive)。晶胞的大小和形狀可以用晶胞參數(shù)來(lái)表示，即用晶胞的三個(gè)邊的長(zhǎng)度a， b， c三個(gè)邊之間的夾角a， b， g表示。晶胞包含描述晶體結(jié)構(gòu)所需的最基本結(jié)構(gòu)信息。如果知道了晶胞中全部原子的坐標(biāo)，就有了晶體結(jié)構(gòu)的全部信息。 一般寫(xiě)作：晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣+結(jié)構(gòu)基元；但準(zhǔn)確的描述應(yīng)為： 晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣*結(jié)構(gòu)基元 ；晶體結(jié)構(gòu)=結(jié)構(gòu)

4、基元點(diǎn)陣*第8頁(yè)，共85頁(yè)。晶胞的選取晶胞的選取可以有多種方式，但在實(shí)際確定晶胞時(shí)，要盡可能選取對(duì)稱性高的初基單胞，還要兼顧盡可能反映晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，所以有時(shí)使用對(duì)稱性較高的非初基胞-慣用晶胞。（1）符合整個(gè)空間點(diǎn)陣的對(duì)稱性。（2）晶軸之間相交成的直角最多。（3）體積最小。（4）晶軸交角不為直角時(shí)，選最短的晶軸，且交角接近直角。*第9頁(yè)，共85頁(yè)。點(diǎn)陣、結(jié)構(gòu)和單胞點(diǎn)陣：晶體的周期性，忽略填充空間的實(shí)際結(jié)構(gòu)(分子) 。 點(diǎn)陣矢量：由點(diǎn)陣矢量移動(dòng)晶體到一個(gè)等效位置的平移。初基點(diǎn)陣矢量： 可選擇的最小點(diǎn)陣矢量。初基晶胞： 初基點(diǎn)陣矢量定義的平行六面體，僅包含一個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)。 晶體結(jié)構(gòu)： 原子在晶體

5、中的周期性排列。 它可以通過(guò)在每點(diǎn)陣點(diǎn)安放一個(gè)稱為基元（或型主）的一組原子來(lái)描述。*第10頁(yè)，共85頁(yè)。不要混淆點(diǎn)陣點(diǎn)和原子陣點(diǎn)是在空間中無(wú)窮小的點(diǎn)。原子是實(shí)在物體。 陣點(diǎn)不必處于原子中心。 晶體結(jié)構(gòu)=結(jié)構(gòu)基元點(diǎn)陣晶體結(jié)構(gòu)是在每個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)上安放一個(gè)結(jié)構(gòu)基元。*第11頁(yè)，共85頁(yè)。三維晶胞的原子計(jì)數(shù)在晶胞不同位置的原子由不同數(shù)目的晶胞分享： 頂角原子 1/8棱上原子 1/4面上原子 1/2晶胞內(nèi)部 1*第12頁(yè)，共85頁(yè)。石墨晶體結(jié)構(gòu)*第13頁(yè)，共85頁(yè)。三維點(diǎn)陣和晶胞使用矢量a、b和c 指定點(diǎn)陣：在所有兩個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)之間的矢量(r)滿足關(guān)系， r = ua + vb + wc, ， 其中u、v和w是

6、整數(shù)。指定晶體中的任意點(diǎn)： r = (u+x)a + (v+y)b + (w+z)c ，其中u， v， w為整數(shù)r = (ua + vb +wc) + (xa + yb +zc)x, y, z是在晶胞之內(nèi)指定一個(gè)位置的分?jǐn)?shù)座標(biāo)。 x, y, z用晶胞邊長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)表示，在0-1之間變化。晶胞原點(diǎn)的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)總是0，0，0。 用相同分?jǐn)?shù)座標(biāo)x、y和z指定的所有位置都對(duì)稱等價(jià)。（由于晶體的三維周期性，在分?jǐn)?shù)坐標(biāo)上加減任意整數(shù)，仍然表示平移對(duì)稱的等價(jià)位置。）*第14頁(yè)，共85頁(yè)。晶體學(xué)中的對(duì)稱操作元素 分子和晶體都是對(duì)稱圖像，是由若干個(gè)相等的部分或單元按照一定的方式組成的。對(duì)稱圖像是一個(gè)能經(jīng)過(guò)不改變其中任

7、何兩點(diǎn)間距離的操作后復(fù)原的圖像。這樣的操作稱為對(duì)稱操作。在操作中保持空間中至少一個(gè)點(diǎn)不動(dòng)的對(duì)稱操作稱為點(diǎn)對(duì)稱操作，如簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)和鏡像轉(zhuǎn)動(dòng)(反映和倒反)是點(diǎn)式操作;使空間中所有點(diǎn)都運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱操作稱為非點(diǎn)式操作，如平移，螺旋轉(zhuǎn)動(dòng)和滑移反映。 *第15頁(yè)，共85頁(yè)。對(duì)稱操作和對(duì)稱元素對(duì)稱操作： 一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)或變換，使得變換后的物體與變換前不可區(qū)分（復(fù)原，重合）。對(duì)稱元素：在對(duì)稱操作中保持不變的幾何圖型：點(diǎn)、軸或面。 點(diǎn)群： 保留一點(diǎn)不變的對(duì)稱操作群。 空間群：為擴(kuò)展到三維物體例如晶體的對(duì)稱操作群，由點(diǎn)群對(duì)稱操作和平移對(duì)稱操作組合而成；由 32 晶體學(xué)點(diǎn)群與 14個(gè)Bravais 點(diǎn)陣組合而成；空間群是

8、一個(gè)單胞（包含單胞帶心）的平移對(duì)稱操作；反射、旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)反演等點(diǎn)群對(duì)稱性操作、以及螺旋軸和滑移面對(duì)稱性操作的組合。 *第16頁(yè)，共85頁(yè)。全同操作(1)全同操作(Identity)，符號(hào)表示為1 (E)，對(duì)應(yīng)于物體不動(dòng)的對(duì)稱操作，對(duì)應(yīng)的變換矩陣為單位矩陣。矩陣表示 注意：符號(hào)表示為國(guó)際符號(hào)也稱為赫爾曼-毛古因Hermann-Mauguin符號(hào)，括號(hào)內(nèi)為熊夫利斯Schnflies 符號(hào)。*第17頁(yè)，共85頁(yè)。旋轉(zhuǎn)軸 (2)旋轉(zhuǎn)軸(旋轉(zhuǎn)軸) ：繞某軸反時(shí)針旋轉(zhuǎn)q =360/n度， n稱為旋轉(zhuǎn)軸的次數(shù)(或重?cái)?shù))，符號(hào)為n (Cn)。其變換矩陣為：*第18頁(yè)，共85頁(yè)。旋轉(zhuǎn)矩陣*第19頁(yè)，共85頁(yè)。晶

9、體中的旋轉(zhuǎn)軸限制練習(xí)題：平移對(duì)稱性對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的次數(shù)n有很大的限制，證明在晶體學(xué)中只能出n=1,2,3,4,6的旋轉(zhuǎn)軸。寫(xiě)出沿三個(gè)坐標(biāo)軸X，Y和Z的4次旋轉(zhuǎn)軸的表示矩陣。*第20頁(yè)，共85頁(yè)。矩陣乘法2次旋轉(zhuǎn)矩陣*第21頁(yè)，共85頁(yè)。倒反中心(Inversion center)倒反中心：也稱為反演中心或?qū)ΨQ中心(Center of symmetry)，它的操作是通過(guò)一個(gè)點(diǎn)的倒反(反演)，使空間點(diǎn)的每一個(gè)位置由坐標(biāo)為(x、y， z)變換到(- x， - y， - z)。符號(hào)為1(i)，變換矩陣為*第22頁(yè)，共85頁(yè)。反映面-鏡面反映面，也稱鏡面，反映操作是從空間某一點(diǎn)向反映面引垂線，并延長(zhǎng)該垂線到反

10、映面的另一側(cè)，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使其到反映面的距離等于原來(lái)點(diǎn)到反映面的距離。符號(hào)為m (s)。為了表示反映面的方向，可以在其符號(hào)后面標(biāo)以該面的法線。如法線為010的反映面，可記為m 010。m 010 (x、y， z) = (x， - y， z)*第23頁(yè)，共85頁(yè)。鏡面類型和矩陣表示關(guān)于對(duì)稱平面（或鏡面）的反映，可以平行于(vertical ，v) 或 垂直于(horizontal ，sh) 主軸。 在二個(gè)C2軸之間角平分線的一個(gè)垂直平面叫作雙面鏡面，d （ dihedral plane ）。 通過(guò)yz面的反映。*第24頁(yè)，共85頁(yè)。旋轉(zhuǎn)倒反軸-反軸旋轉(zhuǎn)倒反軸，簡(jiǎn)稱反軸 (Axis of i

11、nversion ， Rotoinversion axis)，其對(duì)稱操作是先進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作(n)后立刻再進(jìn)行倒反操作，這樣的復(fù)合操作稱為記為組合成這種復(fù)合操作的每一個(gè)操作本身不一定是對(duì)稱操作。其矩陣表示為：*第25頁(yè)，共85頁(yè)。旋轉(zhuǎn)反映軸-映軸旋轉(zhuǎn)反映軸，簡(jiǎn)稱映軸(rotoreflection axis)，其對(duì)稱操作是先進(jìn)行繞映軸的旋轉(zhuǎn)操作(n)后立刻再對(duì)垂直于該映軸的反映面進(jìn)行反映操作m。符號(hào)為 (Sn)，設(shè)對(duì)稱軸沿001方向，其矩陣表示為： *第26頁(yè)，共85頁(yè)。旋轉(zhuǎn)反映Sn旋轉(zhuǎn)反映 Sn，包括繞對(duì)稱軸的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)360/n，接著作垂直反射。旋轉(zhuǎn)反演和旋轉(zhuǎn)反映（Improper rotati

12、on）被（譯）稱為異常旋轉(zhuǎn)、非真旋轉(zhuǎn)、不當(dāng)旋轉(zhuǎn)等。 *第27頁(yè)，共85頁(yè)。反軸和映軸間的對(duì)應(yīng)關(guān)系用映軸表示的對(duì)稱操作都可以用反軸表示，所以在新的晶體學(xué)國(guó)際表中只用反軸。 所有的點(diǎn)對(duì)稱操作實(shí)際上可以簡(jiǎn)單的分為簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)操作和旋轉(zhuǎn)倒反操作兩種。全同操作就是一次真旋轉(zhuǎn)軸，倒反中心為一次反軸，鏡面為二次反軸，所有映軸都可以用等價(jià)反軸表示。 *第28頁(yè)，共85頁(yè)。反軸和映軸間的對(duì)應(yīng)關(guān)系旋轉(zhuǎn)倒反軸和旋轉(zhuǎn)反映軸之間存在簡(jiǎn)單的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，旋轉(zhuǎn)角度為q的反軸和旋轉(zhuǎn)角為(q-p)的映軸是等價(jià)的對(duì)稱軸，這一關(guān)系也很容易從他們的表示矩陣看出。所以1次， 2次， 3次， 4次和6次反軸分別等價(jià)于2次， 1次， 6次，

13、4次和3次映軸。 *第29頁(yè)，共85頁(yè)。練習(xí)題證明：(1)倒反中心是一次反軸;(2)鏡面是二次反軸。 找出一個(gè)立方體具有的所有旋轉(zhuǎn)軸。(6個(gè)2次軸， 4個(gè)3次軸， 3個(gè)4次軸。)*第30頁(yè)，共85頁(yè)。非點(diǎn)式對(duì)稱操作非點(diǎn)式對(duì)稱操作：是由點(diǎn)式操作與平移操作復(fù)合后形成的新的對(duì)稱操作，平移和旋轉(zhuǎn)復(fù)合形成能導(dǎo)出螺旋旋轉(zhuǎn)，平移和反映復(fù)合能導(dǎo)出滑移反映。*第31頁(yè)，共85頁(yè)。螺旋軸螺旋軸：先繞軸進(jìn)行逆時(shí)針?lè)较?60/n度的旋轉(zhuǎn)，接著作平行于該軸的平移，平移量為(p/n) t，這里t是平行于轉(zhuǎn)軸方向的最短的晶格平移矢量，符號(hào)為np， n稱為螺旋軸的次數(shù)， (n可以取值2,3,4,6)，而p只取小于n的整數(shù)。所

14、以可以有以下11種螺旋軸： 21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65。*第32頁(yè)，共85頁(yè)。二次螺旋軸*第33頁(yè)，共85頁(yè)。螺旋軸 21，31 ，32 ，63*第34頁(yè)，共85頁(yè)。螺旋軸41，42 ，4341和43彼此對(duì)映。當(dāng)其中之一是左手螺旋時(shí)，另一個(gè)為右手螺旋。 *第35頁(yè)，共85頁(yè)。螺旋軸61，62，63，64*第36頁(yè)，共85頁(yè)。石英結(jié)構(gòu)中的六次螺旋軸石英的基本結(jié)構(gòu)可以看成是硅氧四面體在三和六次螺旋軸附近的螺旋鏈 。 在如下左邊其中一個(gè)三倍螺旋，右方顯示的是螺旋連接構(gòu)成晶體框架。/dutchs/PETROLGY/QuartzStruc.HTM *第37頁(yè)，共85

15、頁(yè)?；泼婊品从趁?， (滑移面)簡(jiǎn)稱滑移面，其對(duì)稱操作是沿滑移面進(jìn)行鏡面反映操作，然后接著進(jìn)行與平行于滑移面的一個(gè)方向的平移，平移的大小與方向等于滑移矢量。點(diǎn)陣的周期性要求重復(fù)兩次滑移反映后產(chǎn)生的新位置與起始位置相差一個(gè)點(diǎn)陣周期，所以滑移面的平移量等于該方向點(diǎn)陣平移周期的一半。*第38頁(yè)，共85頁(yè)?；品瓷洳粚?duì)稱單位先經(jīng)鏡面反射，然后沿平行與鏡面的方向平移。 滑移反射改變了不對(duì)稱單位的手性。 *第39頁(yè)，共85頁(yè)?；泼娣诸愝S向滑移面：沿晶軸(a、b， c)方向滑移;對(duì)角滑移面：沿晶胞面對(duì)角線或體對(duì)角線方向滑移，平移分量為對(duì)角線一半;金剛石滑移面：沿晶胞面對(duì)角線或體對(duì)角線方向滑移，平移分量對(duì)

16、角線1/4的對(duì)角滑移面。只有在體心或面心點(diǎn)陣中出現(xiàn)，這時(shí)有關(guān)對(duì)角線的中點(diǎn)也有一個(gè)陣點(diǎn)，所以平移分量仍然是滑移方向點(diǎn)陣平移點(diǎn)陣周期的一半。*第40頁(yè)，共85頁(yè)。鏡面和滑移面 鏡面或滑移面的符號(hào)。 (在左邊： 沿鏡面的邊緣看。 在右邊是沿垂直于鏡面的方向觀看。 箭頭表示平移方向。 a， b， c是平行于單胞邊的滑移。 n是對(duì)角滑移，在兩個(gè)方向都滑移單胞長(zhǎng)度的一半。 d是類似n的對(duì)角滑移，但這里在每個(gè)方向移動(dòng)單胞邊長(zhǎng)的1/4。 *第41頁(yè)，共85頁(yè)。對(duì)稱操作分類只產(chǎn)生可重合物體的操作統(tǒng)稱為第一類操作；而產(chǎn)生物體對(duì)映體（鏡像）的操作統(tǒng)稱為第二類操作。第一類操作：真（純）旋轉(zhuǎn)；螺旋旋轉(zhuǎn)。第二類操作：反射

17、；反演；滑移；非真旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)反演，旋轉(zhuǎn)反映）沒(méi)有反軸對(duì)稱性的晶體是手性晶體。*第42頁(yè)，共85頁(yè)。晶系(The seven crystal systems)晶系：按照晶胞的特征對(duì)稱元素可以分成7個(gè)不同類型，稱為晶系。晶系特征對(duì)稱元素三斜無(wú)或反演中心單斜唯一的2次軸或鏡面正交三個(gè)相互垂直的2次旋轉(zhuǎn)軸或反軸。三方唯一的3次旋轉(zhuǎn)軸或反軸。四方唯一的4次旋轉(zhuǎn)軸或反軸。六方唯一的6次旋轉(zhuǎn)軸或反軸。立方沿晶胞體對(duì)角線的四個(gè)3次旋轉(zhuǎn)軸或反軸*第43頁(yè)，共85頁(yè)。7個(gè)晶系的單胞 *第44頁(yè)，共85頁(yè)。不同晶系中的標(biāo)準(zhǔn)單胞選擇規(guī)則晶系標(biāo)準(zhǔn)單胞選擇變通單胞選擇三斜晶軸間交角盡可能接近直角，但90。容許軸間交角=

18、90單斜Y軸平行于唯一的二次軸或垂直于鏡面，b角盡可能接近直角。同標(biāo)準(zhǔn)選擇，但Z軸代替Y軸，g角代替b角。正交晶軸選擇平行于三個(gè)相互垂直的2次軸（或垂直于鏡面）。無(wú)四方Z軸總是平行于唯一的4次旋轉(zhuǎn)（反演）軸，X和Y軸相互垂直，并都與Z軸成直角。無(wú)六方/三方Z軸總是平行于唯一的3次或6次旋轉(zhuǎn)（反演）軸，X和Y軸都垂直于Z軸，并相互間交角為120 。在三方晶系，三次軸選為初基單胞的對(duì)角線，則a=b=c,a=b=g 90。立方晶軸總選為平行于三個(gè)相互垂直的2次軸或4次軸，而四個(gè)三次軸平行于平行于立方晶胞的體對(duì)角線。無(wú)*第45頁(yè)，共85頁(yè)。群的定義 假設(shè)G是由一些元素組成的集合，即G= ， g，。 在

19、G中定義了一種二元合成規(guī)則(操作、運(yùn)算，群的乘法)。 如果G對(duì)這種合成規(guī)則滿足以下四個(gè)條件： a)封閉性： G中任意兩個(gè)元素的乘積仍然屬于G。 b)結(jié)合律： c)單位元素。 集合G中存在一個(gè)單位元素e，對(duì)任意元素， 有 d)可逆性。 對(duì)任意元素 ，存在逆元素 ，使 則稱集合G為一個(gè)群。 *第46頁(yè)，共85頁(yè)。晶體學(xué)點(diǎn)群晶體中滿足群的性質(zhì)定義的點(diǎn)對(duì)稱操作的集合稱作晶體學(xué)點(diǎn)群。點(diǎn)對(duì)稱操作的共同特征是進(jìn)行操作后物體中至少有一個(gè)點(diǎn)是不動(dòng)的。晶體學(xué)中，點(diǎn)對(duì)稱操作只能有軸次為1,2,3,4,6的旋轉(zhuǎn)軸和反軸。(對(duì)稱中心= ，鏡面= )如果把點(diǎn)對(duì)稱操作元素通過(guò)一個(gè)公共的點(diǎn)按所有可能組合起來(lái)，則一共可以得出3

20、2種不同的組合方式，稱為32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群。 *第47頁(yè)，共85頁(yè)。32個(gè)點(diǎn)群點(diǎn)群是至少保留一點(diǎn)不動(dòng)的對(duì)稱操作群。點(diǎn)群晶體+非晶體 32個(gè)晶體學(xué)點(diǎn)群是滿足“晶體制約”的點(diǎn)群。 32晶類的推演 http:/metafysica.nl/derivation_32.html*第48頁(yè)，共85頁(yè)。晶體學(xué)點(diǎn)群的對(duì)稱元素方向及國(guó)際符號(hào)晶系第一位第二位第三位點(diǎn)群可能對(duì)稱元素方向可能對(duì)稱元素方向可能對(duì)稱元素方向三斜1,1任意無(wú)無(wú)1，1單斜2,m,2/mY無(wú)無(wú)2,m,2/m正交2，mX2，mY2，mZ222,mm2,mmm四方4,4，4/mZ無(wú)， 2，mX無(wú)， 2，m底對(duì)角線4,4，4/m，422，4mm, 42

21、m, 4/mmm三方3,3Z無(wú)， 2，mX無(wú)3,3, 32,3m, 3m六方6,6, 6/mZ無(wú)， 2，mX無(wú)， 2，m底對(duì)角線6,6, 6/m,622, 6mm, 62m, 6/mmm立方2,m,4, 4X3,3體對(duì)角線無(wú)， 2，m面對(duì)角線23,m3,432, 43m, m3m*第49頁(yè)，共85頁(yè)。點(diǎn)群的Schnflies符號(hào) Cn: 具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸的點(diǎn)群。Cnh: 具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸和一個(gè)垂直于該軸的鏡面的點(diǎn)群。Cnv: 具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)軸和n個(gè)通過(guò)該軸的鏡面的點(diǎn)群。Dn: 具有一個(gè)n次旋轉(zhuǎn)主軸和n個(gè)垂直該軸的二次軸的點(diǎn)群。Sn:具有一個(gè)n次反軸的點(diǎn)群。T:具有4個(gè)3次軸和4個(gè)2次軸的

22、正四面體點(diǎn)群。O:具有3個(gè)4次軸,4個(gè)3次軸和6個(gè)2次軸的八面體點(diǎn)群。*第50頁(yè)，共85頁(yè)。32種點(diǎn)群的表示符號(hào)及性質(zhì) 1.旋轉(zhuǎn)軸(C=cyclic) ： C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,62. 旋轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對(duì)稱平面： C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,3/m ( ) ,4/m,6/m3.旋轉(zhuǎn)軸加通過(guò)該軸的鏡面：C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm4.旋轉(zhuǎn)反演軸S2= Ci, S4,S6=C3d; -1,-4,-3*第51頁(yè)，共85頁(yè)。32種點(diǎn)群的符號(hào)表示符號(hào)及性質(zhì)5.旋轉(zhuǎn)軸(n)加n個(gè)垂直于該軸的二次軸：

23、D2,D3,D4,D6; 222,32,422,622 6.旋轉(zhuǎn)軸(n)加n個(gè)垂直于該軸的二次軸和鏡面： D2h,D3h,D4h,D6h;mmm,3/mm,4/mm,6/mmm7. D群附加對(duì)角豎直平面： D2d,D3d; -42m,-3m8. 立方體群(T=tetrahedral， O=octahedral)T, Th, O, Td, Oh; 23,m3,432,-43m,m3m*第52頁(yè)，共85頁(yè)。晶體點(diǎn)群的Schnflies和國(guó)際符號(hào)*第53頁(yè)，共85頁(yè)。點(diǎn)群與物理性質(zhì)從晶體的點(diǎn)群對(duì)稱性，可以判明晶體有無(wú)對(duì)映體、旋光性、壓電效應(yīng)、熱電效應(yīng)、倍頻效應(yīng)等。旋光性出現(xiàn)在15種不含對(duì)稱中心的點(diǎn)群

24、。熱電性出現(xiàn)在10種只含一個(gè)極性軸的點(diǎn)群。壓電性出現(xiàn)在20種不含對(duì)稱中心的點(diǎn)群(432除外)。倍頻效應(yīng)出現(xiàn)在18種不含對(duì)稱中心的點(diǎn)群。反過(guò)來(lái)，在晶體結(jié)構(gòu)分析中，可以借助物理性質(zhì)的測(cè)量結(jié)果判定晶體是否具有對(duì)稱中心。*第54頁(yè)，共85頁(yè)。點(diǎn)陣帶心在單胞之內(nèi)附加點(diǎn)陣點(diǎn)位置由一套帶心操作描述：體心(I)：在 附加的點(diǎn)陣點(diǎn)；面心(F)：在0 、 0 和 0有附加的點(diǎn)陣點(diǎn)；面心(C)：在 0有附加的點(diǎn)陣點(diǎn)*第55頁(yè)，共85頁(yè)。帶心類型符號(hào)帶心矢量(s)每單胞陣點(diǎn)數(shù)面心F a + b a + c b + c4體心I a + b + c2底心（側(cè)面心）C a + b2B a + cA b + c帶心操作*第5

25、6頁(yè)，共85頁(yè)。帶心不是所有七個(gè)晶系都可能帶心僅有14個(gè)可能的組合(Bravais點(diǎn)陣)一些帶心的類型不允許，因?yàn)樗麄儗⒔档蛦伟膶?duì)稱性：如立方晶系不可能有底心點(diǎn)陣，因?yàn)檫@將破壞立方對(duì)稱的一個(gè)基本條件：有三次對(duì)稱軸。一些帶心的類型是多余的： 如C心的四方點(diǎn)陣總可以用一個(gè)更小的初基四方單胞來(lái)描述。*第57頁(yè)，共85頁(yè)。空間點(diǎn)陣型式-布拉伐點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣按點(diǎn)群對(duì)稱性和帶心的模式一共可以產(chǎn)生14種型式，稱為14種布拉伐點(diǎn)陣或布拉伐點(diǎn)陣。布拉伐點(diǎn)陣表示出所屬空間群的平移子群。 Bravais點(diǎn)陣描述點(diǎn)陣的純平移對(duì)稱。 實(shí)質(zhì)上通過(guò)指定Bravais點(diǎn)陣，指定了單胞(晶系)的形狀和帶心的型式。 *第58頁(yè)，

26、共85頁(yè)。14種空間點(diǎn)陣型式示意圖(14個(gè)Bravais點(diǎn)陣) *第59頁(yè)，共85頁(yè)。14種可能的Bravais點(diǎn)陣 *第60頁(yè)，共85頁(yè)。從晶系到空間群 7個(gè)晶系旋轉(zhuǎn)，反射，反演平移螺旋軸，滑移面32個(gè)點(diǎn)群14種Bravais格子230個(gè)空間群（按照晶胞的特征對(duì)稱元素分類）*第61頁(yè)，共85頁(yè)?？臻g群(Space Group)晶體學(xué)中的空間群是三維周期性物體(晶體)變換成它自身的對(duì)稱操作(平移，點(diǎn)操作以及這兩者的組合)的集合。一共有230種空間群。 空間群是點(diǎn)陣、平移群(滑移面和螺旋軸)和點(diǎn)群的組合。 230個(gè)空間群是由14個(gè)Bravais點(diǎn)陣與32個(gè)晶體點(diǎn)群系統(tǒng)組合而成。參見(jiàn)： /asda

27、/Libraries/sgtable.html *第62頁(yè)，共85頁(yè)?？臻g群分布 三斜晶系：2個(gè)；單斜晶系：13個(gè) 正交晶系：59個(gè)； 三方晶系：25四方晶系：68個(gè)；六方晶系：27個(gè)立方晶系：36個(gè)。 有對(duì)稱中心90個(gè)，無(wú)對(duì)稱中心140個(gè)。73 個(gè) symmorphic (點(diǎn)式) ， 157個(gè) non-symmorphic。*第63頁(yè)，共85頁(yè)。空間群對(duì)稱元素的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)*第64頁(yè)，共85頁(yè)。對(duì)稱元素的圖示和印刷符號(hào)（1）*第65頁(yè)，共85頁(yè)。對(duì)稱元素的圖示和印刷符號(hào)（2）*第66頁(yè)，共85頁(yè)。了解Herman-Mauguin空間群符號(hào)空間群是經(jīng)常用簡(jiǎn)略Herman-Mauguin符號(hào)(即Pn

28、ma、I4/mmm等)來(lái)指定。 在簡(jiǎn)略符號(hào)中包含能產(chǎn)生所有其余對(duì)稱元素所必需的最少對(duì)稱元素。 從簡(jiǎn)略H-M符號(hào)，我們可以確定晶系、Bravais點(diǎn)陣、點(diǎn)群和某些對(duì)稱元素的存在和取向（反之亦然）。*第67頁(yè)，共85頁(yè)?？臻g群符號(hào)LS1S2S3運(yùn)用以下規(guī)則，可以從對(duì)稱元素獲得H-M空間群符號(hào)。第一字母(L)是點(diǎn)陣描述符號(hào)，指明點(diǎn)陣帶心類型： P， I， F， C， A， B。其于三個(gè)符號(hào)(S1S2S3)表示在特定方向（對(duì)每種晶系分別規(guī)定）上的對(duì)稱元素。 如果沒(méi)有二義性可能，常用符號(hào)的省略形式 (如Pm，而不用寫(xiě)成P1m1)。* 由于不同的晶軸選擇和標(biāo)記，同一個(gè)空間群可能有幾種不同的符號(hào)。如P21/

29、c,如滑移面選為在a方向，符號(hào)為P21/a;如滑移面選為對(duì)角滑移，符號(hào)為P21/n。*第68頁(yè)，共85頁(yè)。對(duì)稱方向 晶系對(duì)稱方向第一第二第三三斜無(wú)單斜b 010正交a 100b 010c 001四方c 001a 100/010a+b 110六方c 001a 100/0102a+b 120三方 (R)a+b+c 111a-b 1 1 0立方a 100/010/001a+b+c 111a+b 110*第69頁(yè)，共85頁(yè)。X-射線結(jié)晶學(xué)國(guó)際表 (1)提供的信息的是： 1. 空間群的國(guó)際符號(hào)為 2. Schoenflies符號(hào) 3. 晶系 4. 晶類 5。一般等效點(diǎn)圖： 單胞的投影，包含所有等效點(diǎn)位置

30、。 “+”表示 z0， “- “表示z0; “，”表示點(diǎn)“被翻轉(zhuǎn)” (鏡面操作或反演)。*第70頁(yè)，共85頁(yè)。X-射線結(jié)晶學(xué)國(guó)際表 (2) 6. 對(duì)稱圖： 單胞的對(duì)稱元素 7. 點(diǎn)位置(首先一般等效點(diǎn)，然后特殊點(diǎn)) ：多重性(等效點(diǎn)的個(gè)數(shù)) “Wyckoff記號(hào)“在該位置的點(diǎn)對(duì)稱性（site symmetry）點(diǎn)的坐標(biāo) 8.出現(xiàn)衍射的條件 9-12：（略）*第71頁(yè)，共85頁(yè)。從空間群符號(hào)辨認(rèn)晶系 立方第2個(gè)對(duì)稱符號(hào)： 3 或 3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m) 四方第1個(gè)對(duì)稱符號(hào)： 4, 4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc) 六方第1個(gè)

31、對(duì)稱符號(hào)： 6, 6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm) 三方第1個(gè)對(duì)稱符號(hào)： 3, 3 ，31 或 32 (如： P31m, R3, R3c, P312) 正交點(diǎn)陣符號(hào)后的全部三個(gè)符號(hào)是鏡面，滑移面，2次旋轉(zhuǎn)軸或2次螺旋軸 (即Pnma, Cmc21, Pnc2） 單斜點(diǎn)陣符號(hào)后有唯一的鏡面、滑移面、2次旋轉(zhuǎn)或者螺旋軸，或者軸/平面符號(hào)(即Cc、P2、P21/n)。 三斜點(diǎn)陣符號(hào)后是1或(- 1)。 *第72頁(yè)，共85頁(yè)。從空間群符號(hào)確定點(diǎn)群 點(diǎn)群可以從簡(jiǎn)略H-M符號(hào)通過(guò)下列變換得出：1.把所有滑移面全部轉(zhuǎn)換成鏡面；2.把所有螺旋軸全部轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)

32、軸。例如：空間群= Pnma 點(diǎn)群= mmm空間群= I 4c2 點(diǎn)群= 4m2空間群= P42/n 點(diǎn)群= 4/m*第73頁(yè)，共85頁(yè)。國(guó)際表中的空間群P21/c*第74頁(yè)，共85頁(yè)。P21/c*第75頁(yè)，共85頁(yè)。P21/c的圖示*第76頁(yè)，共85頁(yè)。等效點(diǎn)系晶胞中對(duì)稱元素按照一定的方式排布。在晶胞中某個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)有一個(gè)原子時(shí)，由于對(duì)稱性的要求，必然在另外一些坐標(biāo)點(diǎn)也要有相同的原子。這些由對(duì)稱性聯(lián)系起來(lái)，彼此對(duì)稱等效的點(diǎn)，稱為等效點(diǎn)系。等效點(diǎn)系在空間群表中表示為Wyckoff位置 。*第77頁(yè)，共85頁(yè)。Wyckoff位置 （1） 在國(guó)際表中包含的一個(gè)最有用的信息是Wyckoff位置。 Wyc

33、koff位置告訴我們?cè)诰w中何處可以找到原子。 比如：?jiǎn)涡笨臻g群Pm 僅有垂直于b軸的二個(gè)鏡面。 一個(gè)在y = 0，另一個(gè)在y = 位置。 通過(guò)鏡面操作，在x， y， z的原子 -在x， - y， z 第二個(gè)原子。如果我們安置原子在其中一個(gè)鏡面(它的Y座標(biāo)將必須是0或)，鏡面反射操作就不會(huì)產(chǎn)生第二個(gè)原子。*第78頁(yè)，共85頁(yè)。Wyckoff位置 （2）多重性（ multiplicity ）：告訴我們?nèi)绻仓靡粋€(gè)特定原子在該位置，經(jīng)過(guò)空間群的所有對(duì)稱操作，總共會(huì)產(chǎn)生多少個(gè)原子。 記號(hào)（ letter ）是從高對(duì)稱性位置開(kāi)始按英文字母順序指定的位置標(biāo)記。 對(duì)稱（ symmetry ）告訴我們?cè)铀谥幘哂械膶?duì)稱元素。 *第79頁(yè)，共85頁(yè)。Pm空間群的 Wyckoff位置多重性Wyckoff記號(hào)點(diǎn)對(duì)稱坐標(biāo)2c1 x， y， z (2) x， - y， z1bmx， ， z1amx， 0， z在晶體結(jié)構(gòu)描述中，經(jīng)常把多重性和Wyckoff記號(hào)結(jié)合在一起作為等效位置的名稱。如把Pm空間群中的等效點(diǎn)位置稱為1a,1b,2c 等。*第8