高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：2.5.1　直線與圓的位置關(guān)系

1、2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一直線與圓的位置關(guān)系的判斷1.已知直線l:3x-4y+2=0與圓C:(x-4)2+(y-1)2=9,則直線l與圓C的位置關(guān)系是() A.相切B.相交且過(guò)C的圓心C.相交但不過(guò)C的圓心D.相離2.對(duì)任意的實(shí)數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=2的位置關(guān)系一定是()A.相離B.相切C.相交但直線不過(guò)圓心D.相交且直線過(guò)圓心3.若直線3x+4y+m=0與圓x2+y2-2x+4y+1=0沒(méi)有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.-5m15B.m15C.m13D.4m0)與直線x-3y+3=0相切,則a=.題組二圓的切線與弦長(zhǎng)問(wèn)題

2、6.(2019黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期中)已知圓C:x2+y2-4x=0與直線l相切于點(diǎn)P(1,3),則直線l的方程為()A.x-3y+2=0B.x-3y+4=0C.x+3y-4=0D.x+3y-2=07.若圓x2+y2-2x+4y+m=0截直線x-y-3=0所得弦長(zhǎng)為6,則實(shí)數(shù)m的值為()A.-1B.-2C.-4D.-318.已知圓x2+y2=9的弦過(guò)點(diǎn)P(1,2),當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí),該弦所在直線的方程為()A.y-2=0B.x+2y-5=0C.2x-y=0D.x-1=09.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2,4),且與圓O:x2+y2=4相切,則直線l的方程為(易錯(cuò))A.x=2或3x-4y+10=0B.x

3、=2或x+2y-10=0C.y=4或3x-4y+10=0D.y=4或x+2y-10=010.一圓與y軸相切,圓心在直線x-3y=0上,且直線y=x被圓所截得的弦長(zhǎng)為27,則此圓的方程為.11.已知點(diǎn)A(1,a),圓O:x2+y2=4.(1)若過(guò)點(diǎn)A的圓O的切線只有一條,求實(shí)數(shù)a的值及切線方程;(2)若過(guò)點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線被圓O截得的弦長(zhǎng)為23,求實(shí)數(shù)a的值.題組三直線與圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用12.圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為2的點(diǎn)有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)13.如圖所示是一座圓拱橋,當(dāng)水面在如圖所示的位置時(shí),拱橋頂部離水面2 m,水面

4、寬12 m,若水面下降1 m,則水面的寬為m.14.若P(2,-1)為圓(x-1)2+y2=25的弦AB的中點(diǎn),則直線AB的方程是.15.過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓O:x2+y2=1的兩條切線PM,PN(M,N為切點(diǎn)),若MPN=90,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是.16.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程(x-2)2+y2=3.(1)求yx的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.17.已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直,求證:圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半.能力提升練題組一直線與圓的位置關(guān)系的判斷1.()“k=1”是“直線x-y+k=0與圓x2+y2=1相交”的 (

5、) A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2.()直線y=x+b與曲線x=1-y2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則b的取值范圍是()A.b=2B.-10)上一動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B是切點(diǎn).若四邊形PACB的最小面積是2,則k的值為()A.2B.212C.22D.211.(2020重慶一中高二上期中,)已知過(guò)點(diǎn)P(0,-2)的圓M的圓心為(a,0)(a0),且圓M與直線x+y+22=0相切.(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過(guò)點(diǎn)Q(0,1)且斜率為k的直線l交圓M于A,B兩點(diǎn),且PAB的面積為372,求直線l的方程.12.(2

6、019廣西南寧高一期中,)設(shè)直線l的方程為x+my-1-m=0(mR),圓O的方程為x2+y2=r2(r0).(1)當(dāng)m取一切實(shí)數(shù)時(shí),直線l與圓O都有公共點(diǎn),求r的取值范圍;(2)當(dāng)r=5時(shí),直線x+2y-t=0與圓O交于M,N兩點(diǎn),若|OM+ON|3|MN|,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.13.(2019江蘇鎮(zhèn)江高二上期中,)在某海礁A處有一風(fēng)暴中心,距離風(fēng)暴中心A正東方向200 km的B處有一艘輪船,正沿北偏西(為銳角)角方向航行,速度大小為40 km/h.已知距離風(fēng)暴中心180 km以內(nèi)的水域受其影響.(1)若輪船不被風(fēng)暴影響,求角的正切值的最大值;(2)若輪船航行方向?yàn)楸逼?5,求輪船被風(fēng)暴影

7、響持續(xù)的時(shí)間.14.()在ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是ABO的內(nèi)切圓上的一點(diǎn),求以|PA|,|PB|,|PO|為直徑的三個(gè)圓的面積之和的最大值與最小值.15.(2019河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考,)已知兩個(gè)定點(diǎn)A(-4,0),B(-1,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,直線l:y=kx-4.(1)求曲線E的方程;(2)若直線l與曲線E交于不同的C,D兩點(diǎn),且COD=90(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率;(3)若k=12,Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)Q作曲線E的兩條切線QM,QN,切點(diǎn)為M,N,探究:直線MN是否過(guò)定點(diǎn).答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.C依

8、題意得,圓心到直線的距離d=|34-41+2|32+(-4)2=105=2.0d2,m15.故選B.4.B點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2=R2外,x02+y02R2,圓心(0,0)到直線x0 x+y0y=R2的距離d=|-R2|x02+y020,所以a=3.6.A圓C:x2+y2-4x=0可化為(x-2)2+y2=4,顯然過(guò)點(diǎn)P(1,3)的直線x=1不與圓相切,又點(diǎn)P(1,3)與圓心連線的直線斜率為0-32-1=-3,所以直線l的斜率為33,所以直線l的方程為y-3=33(x-1),整理得x-3y+2=0.故選A.7.C圓的方程可化為(x-1)2+(y+2)2=5-m,圓心(1,-2),設(shè)圓

9、心到直線的距離為d,則d=|1+2-3|2=0,因此弦長(zhǎng)6就是直徑2r,r=3.r2=5-m=9m=-4,故選C.8.B當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí),該弦所在直線與過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直徑垂直.已知圓心O(0,0),所以過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直徑所在直線的斜率k=2-01-0=2,故所求直線的斜率為-12,所以所求直線方程為y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.9.A由22+42=204,得點(diǎn)P在圓外,當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線斜率存在時(shí),設(shè)所求切線的斜率為k,則切線方程為y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,|-2k+4|1+k2=2,解得k=34.故所求切線方程為3x-4y+10=0.當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線斜率不

10、存在時(shí),方程為x=2,也滿足條件.故直線l的方程為3x-4y+10=0或x=2.故選A.易錯(cuò)警示切線的斜率存在時(shí),設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓的切線斜率為k,寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程再化為一般式.根據(jù)圓心到切線的距離等于圓的半徑這一性質(zhì),由點(diǎn)到直線的距離公式列出含k的方程,由方程解得k,然后代回所設(shè)切線方程即可.切線斜率不存在時(shí),直接驗(yàn)證直線方程是否滿足條件即可.本題要注意到點(diǎn)在圓外,所求切線有兩條,特別注意當(dāng)直線斜率不存在時(shí)的情況,不要漏解.10.答案(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9解析因?yàn)閳A與y軸相切,且圓心在直線x-3y=0上,所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(3b,b),圓的半徑為3|b|,故圓的

11、方程為(x-3b)2+(y-b)2=9b2.又因?yàn)橹本€y=x被圓所截得的弦長(zhǎng)為27,所以|3b-b|22+(7)2=9b2,解得b=1,故所求圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.11.解析(1)由于過(guò)點(diǎn)A的圓O的切線只有一條,所以點(diǎn)A在圓上,所以12+a2=4,所以a=3.當(dāng)a=3時(shí),A(1,3),此時(shí)切線方程為x+3y-4=0;當(dāng)a=-3時(shí),A(1,-3),此時(shí)切線方程為x-3y-4=0.(2)設(shè)直線方程為x+y=b,因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)A(1,a),所以1+a=b,即a=b-1.又圓心到直線的距離d=|-b|2,所以|-b|22+2322=4,由得a=2-1,

12、b=2或a=-2-1,b=-2.所以a=2-1或a=-2-1.12.C圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=8,則圓心坐標(biāo)為(-1,-2),圓的半徑為22,所以圓心到直線的距離為|-1-2+1|12+12=22=2.而20),則C(0,-r),故圓C的方程為x2+(y+r)2=r2,將A(6,-2)代入,得r=10,所以圓C的方程為x2+(y+10)2=100.當(dāng)水面下降1 m到AB時(shí),設(shè)A(x0,-3)(x00).將A(x0,-3)代入式,得x0=51,所以水面下降1 m后,水面寬為251 m.14.答案x-y-3=0解析設(shè)圓心為C,則C(1,0),由圓的性質(zhì)得PCAB,而直

13、線PC的斜率k1=-1-02-1=-1,因?yàn)閗1kAB=-1,所以直線AB的斜率為1,又直線AB過(guò)點(diǎn)P(2,-1),所以直線AB的方程為y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.15.答案x2+y2=2解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則|PO|=x2+y2.MPN=90,四邊形OMPN為正方形,|PO|=2|OM|=2,x2+y2=2,即x2+y2=2.16.解析(1)方程表示以點(diǎn)(2,0)為圓心,3為半徑的圓,設(shè)yx=k,即y-kx=0,當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí),斜率k取得最大值和最小值,此時(shí)|2k-0|k2+1=3,解得k=3.故yx的最大值為3,最小值為-3.(2)設(shè)y-x=b,即x-y+b

14、=0,當(dāng)y=x+b與圓相切時(shí),縱截距b取得最大值和最小值,此時(shí)|2-0+b|12+(-1)2=3,即b=-26.故y-x的最大值為-2+6,最小值為-2-6.(3)x2+y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方,由平面幾何知識(shí)知,它在過(guò)原點(diǎn)和圓心的直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值,又圓心到原點(diǎn)的距離為2,故(x2+y2)max=(2+3)2=7+43,(x2+y2)min=(2-3)2=7-43.17.證明如圖,分別以四邊形ABCD互相垂直的對(duì)角線CA,DB所在直線為x軸,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).過(guò)四邊形ABCD外接圓的圓心O分別作AC

15、、BD、AD的垂線,垂足分別為M、N、E,則M、N、E分別是線段AC、BD、AD的中點(diǎn).由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得xO=xM=a+c2,yO=yN=b+d2,xE=a2,yE=d2.所以|OE|=a2-a+c22+d2-b+d22=12c2+b2.又|BC|=c2+b2,所以|OE|=12|BC|.能力提升練1.A直線x-y+k=0與圓x2+y2=1相交,圓心到直線的距離d=|0-0+k|12+(-1)2=|k|21-2k2.因此“k=1”能推出“直線x-y+k=0與圓x2+y2=1相交”,反過(guò)來(lái),“直線x-y+k=0與圓x2+y2=1相交”推不出“k=1”,“k=1”是“直線x-y+k=0與圓

16、x2+y2=1相交”的充分而不必要條件,故選A.2.B由x=1-y2得,x2+y2=1(x0),該曲線表示的是圓x2+y2=1在y軸及右側(cè)的部分,如圖所示,y=x+b表示斜率為1,在y軸上的截距為b的直線.由直線與圓相切,得圓心到直線的距離d=|b|12+(-1)2=1b=2,結(jié)合圖形知b的取值范圍是b=-2,或-10得,y20y0.當(dāng)x2+y2=2時(shí),x1,因此曲線C如圖所示,kPA=0,kPB=1,kPD=2,直線l:y=kx-1與曲線C恰有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),k的取值范圍是(0,1)(1,2).故選D.4.AC圓心M(-cos ,sin )到直線l的距離d=|-kcos-sin|k2+(-1)2

17、=1+k2|sin(+)|k2+1=|sin(+)|,其中tan =k.d1,直線l與圓M有公共點(diǎn),A正確;當(dāng)=0時(shí),d=|-k|k2+10),則圓心(a,0)到直線x+y+22=0的距離為|a+22|2,由題意得a2+4=r2,|a+22|2=r,解得a=0或a=42(舍去),所以r2=4,所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=4.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+1,則圓心M到直線l的距離為1k2+1,|AB|=24-1k2+1=24k2+3k2+1.又點(diǎn)P(0,-2)到直線l的距離d=3k2+1,SPAB=12|AB|d=1224k2+3k2+13k2+1=372,解得k2=1,k=1,則直線l

18、的方程為y=x+1.12.解析(1)直線的方程整理可得(y-1)m+x-1=0,所以過(guò)定點(diǎn)P(1,1),若直線與圓O有公共點(diǎn),則點(diǎn)P在圓內(nèi)或者圓上,即12+12r2,又r0,所以r2.(2)設(shè)弦MN的中點(diǎn)為E,則OM+ON=2OE.由垂徑定理可得MN2=4ME2=4(OM2-OE2),所以|OM+ON|3|MN|即OE29(OM2-OE2),則10OE245,所以O(shè)E292,又OE25,由題意知OE=|-t|5,所以92|-t|525,即t-5,-31023102,5.13.解析(1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形,如圖所示,則圓的方程為x2+y2=1802,設(shè)過(guò)點(diǎn)B(200,0)的直線方程為y=k(x-2

19、00),k0,即kx-y-200k=0,則圓心O(0,0)到直線的距離為|-200k|k2+1=180,化簡(jiǎn)得19k2=81,解得k=-919(正值舍去),tan(90+)=-919,-1tan=-919,tan =199,若輪船不被風(fēng)暴影響,則角的正切值的最大值為199.(2)若輪船航行方向?yàn)楸逼?5,則直線方程為x+y=200,則圓心O到該直線的距離d=|-200|2=1002,弦長(zhǎng)為2r2-d2=21802-(1002)2=4031,則輪船被風(fēng)暴影響持續(xù)的時(shí)間為403140=31 h.14.解析如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,使A,B,O三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,0),B(0,3),O(0,0).設(shè)AOB的內(nèi)切圓的半徑為r,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).則2r+|AB|=|OA|+|OB|,r=1,內(nèi)切圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=