北京大學(xué)量子力學(xué)課件 第13講

1、 第 十 三講 . 力學(xué)量算符的本征值和本征函數(shù)性質(zhì) A. 力學(xué)量的每一可取值都是實數(shù)（即本征值）； B. 相應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)是正交的1 C.Schmit正交化方法 如果一個本征值A(chǔ)n對應(yīng)S個線性無關(guān)的本征函數(shù)，這組本征函數(shù)并不一定正交，我們可以通過Schmit正交化方法來實現(xiàn)正交歸一化 。 取 使 ； 取 ，顯然，保證 ，且 。同樣有2 這必然有 ，且 3 D. 測量結(jié)果的幾率 在 中測量力學(xué)量 取值 的幾率為 E. 直接可觀測的力學(xué)量的本征函數(shù)構(gòu)成一完備組。 如 是力學(xué)量 的本征函數(shù)組，則任一波函數(shù)可以以 展開 4 .連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化” （1）連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化” 連續(xù)譜正

2、交歸一化的本征函數(shù) 應(yīng)使其有 5 “正交歸一”的動量本征函數(shù)為 “正交歸一”的坐標(biāo)本征函數(shù)6而由由這可見（如 已歸一化）， 為測量 取值在區(qū)域 中的幾率。 (2) 函數(shù) A. 函數(shù)的定義和表示 函數(shù)不是一般意義下的函數(shù)，而是 一分布。但習(xí)慣上仍將它看作一函數(shù)。7 其重要性和意義在積分中體現(xiàn)出來； 它可用一函數(shù)的極限來定義。 ab 8 事實上 91011我們已一些表示式（作為函數(shù)參量極限）12 B. 函數(shù)的性質(zhì) 它們在積分中出現(xiàn)時，左邊表示可被右 邊表示代替。 推論：如有方程AB，則 13 例 所以 ， 由于 對于 a, b都大于零或都小于零，兩式相等； 但a0或a0, b1，即有簡并。無妨設(shè)

3、的本征函數(shù)組 為 （這也是一完備組）。將 展開36這表明， 是它們的共同本征函數(shù)。 37 它們是完備的（對所有s,n,m集合）。因?qū)θ我徊ê瘮?shù)38（3）角動量的共同本征函數(shù)組球諧函數(shù) 因 ，它們有共同本征函數(shù)組。 A本征值： 設(shè)： 是它們的共同本征函數(shù)，則 39 固定 時，m 有上，下限。 由于， 40稱 為降算符 。 同理41稱 為升算符（對 而言）。 由于， 固定時，m 有上，下限。若設(shè) 為上限， 為下限，則42 為上限， 為下限，43 所以，只能取 的本征值可取 的本征值可取 44 即，取 這表明，角動量的本征值是量子化的。它與能量量子化不同在于它并不需要粒子是束縛的。當(dāng)然，自由粒子的角

4、動量同樣是量子化的。 B本征函數(shù) 45于是有解根據(jù) ，所以而 ，即得46現(xiàn)求歸一化系數(shù)47所以，歸一化的本征函數(shù)顯然， 現(xiàn)先討論 的歸一化問題，然后給出 的具體形式。 若 是歸一化的，則4849現(xiàn)求歸一化的波函數(shù)50所以， 51以此類推 52 于是得 的共同本征函數(shù)組-球諧函數(shù) 稱為締合勒讓德函數(shù)（Associated Legendre function）。53 當(dāng) 給定，也就是 的本征值給定，那就唯一地確定了本征函數(shù) 。 其性質(zhì)： 1. 正交歸一 2封閉性 54 3 所以， 55 因此， 4. 宇稱 即 5.遞推關(guān)系 56 (4) 力學(xué)量的完全集 量子力學(xué)描述與經(jīng)典描述大不一樣，在量子力學(xué)中，是確定體系所處的狀態(tài)。如對體系測量力學(xué)量的可能值及相應(yīng)幾率。如能充分確