線性代數(shù)矩陣習(xí)題課課件

1、1、設(shè) ,求 An 2An-1 (n2)。 A= 1 0 1 0 2 0 1 0 1解：An 2An-1 =(A-2E )An-1=-1 0 1 0 0 0 1 0 -1 An-1=-1 0 1 0 0 0 1 0 -1 A An-2=-1 0 1 0 0 0 1 0 -1 An-2 1 0 1 0 2 0 1 0 1=0線性代數(shù)習(xí)題課（一）2、設(shè)n 維向量 =(a , 0 , , 0 , a)T(a0),其中A的逆矩陣為B，求a的值。A=E-T , B=E-T/a ,解：AB=E+(1-1/a-2a)T,AB=E 1-1/a-2a =0a=-1/2 ( a =1舍去)線性代數(shù)習(xí)題課（一）3、

2、設(shè)A與A+E均可逆，G=E-(A+E)-1 ,求 G-1。G =E-(A+E)-1 =A(A+E) -1G -1=(A(A+E) -1)-1=(A+E)A-1=(A+E)(A+E) -1-(A+E)-1由A與A+E均可逆可知G也可逆，且線性代數(shù)習(xí)題課（一）4、設(shè)四階矩陣A=( , r2, r3, r4), B=(, r2, r3, r4),|A+B|=|+，2r2, 2r3, 2r4| =8(|A|+|B|) =40 其中，r2, r3, r4均為4維向量，且已知|A|=4 , |B|=1 , 求|A+B|。線性代數(shù)習(xí)題課（一）5、設(shè)且 AX=A+2X, 求矩陣X.線性代數(shù)習(xí)題課（一）解: 因

3、為 AX=A+2X,所以(A2E)X=A,而又線性代數(shù)習(xí)題課（一）所以線性代數(shù)習(xí)題課（一）6、設(shè)求 An線性代數(shù)習(xí)題課（一）解：設(shè) A=E+H，Hn=0(n3),，H= 0 1 1 0 0 1 0 0 0 則H2= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 其中 故 An=(E+H)n= n E +n-1H+n-2H2 n nn-1 n(n-1) n-2/2 0 n nn-1 0 0 n=線性代數(shù)習(xí)題課（一）7、設(shè)矩陣且r(A)=2，求 和 的值。線性代數(shù)習(xí)題課（一） -1 1 2 3 63 -1 2解：A r2r3 r2-5r1 r3-3r1 -1 1 20 8 -5 -40 +3 -4 -4 r

4、3-r2 -1 1 20 8 -5 -40 -5 +1 0 又 r(A)=2,故 = 5 , = -1線性代數(shù)習(xí)題課（一）8、多項(xiàng)式 , x -1 0 x 2 2 3 x-7 10 4 3 1 -7 1 x f(x)=求f(x)中常數(shù)項(xiàng)的值。解：觀察f(x)的結(jié)構(gòu)可知，常數(shù)項(xiàng)的值為d =-1(-1)1+23(-1)2+3(2-3)=3線性代數(shù)習(xí)題課（一）9、設(shè) ,求A2014。解：注意到A3=-E , A6=E，故 A2014=(A6)335A3A=-A線性代數(shù)習(xí)題課（一）10、計(jì)算行列式 1 1 2 23 -1 -1 12 2 1 -11 2 3 0 D=解：5 5 4 05 1 0 02

5、2 1 -11 2 3 0 D=5 5 4 5 1 0 1 2 3 =-20 5 4 0 1 0 -9 2 3 =-20 4 -9 3 =24線性代數(shù)習(xí)題課（一）11、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*, (1) 若| A | = 0, 則| A* | = 0; 證明:(2) |A*| = | A | n1.線性代數(shù)習(xí)題課（一）證(1): 當(dāng)A = 0時(shí), 則 | A |的所有代數(shù)余子式從而A* = 0, 故| A* | = 0.當(dāng) A O且| A | = 0時(shí), 用反證法證明.假設(shè)| A* | 0, 則有A*(A*)1 = E,故A = AE = AA*(A*)1 = AA*(A*)1 = | A

6、 |E(A*)1 = O,這與A 0矛盾,故當(dāng)| A | = 0時(shí), | A* | = 0.均為0,線性代數(shù)習(xí)題課（一）(2) 當(dāng)| A | = 0時(shí), 則由(1)得| A* | = 0, 從而| A* | = | A |n1成立.當(dāng)| A | 0時(shí), 由 AA* = | A | E 得,| A | | A* | = | AA* | = | A | E | = | A |n,由| A | 0得, | A* | = | A |n1.線性代數(shù)習(xí)題課（一） 12、設(shè)A為可逆矩陣，證明其伴隨矩陣A*也是證: A為可逆矩陣，則|A* |=|A|n-10，故A*是可逆的。又 A*=|A|A-1，故(A-1

7、)*=|A-1|(A-1)-1=|A-1|A顯然 A*(A-1)*=E，故(A*)=(A-1)*?？赡娴?，且(A*)=(A-1)*。線性代數(shù)習(xí)題課（一）13、設(shè)矩陣A,B滿足A*BA=2BA-E,其中A=diag(1,-2,1), A*為A的伴隨矩陣，求矩陣B解:|A|=-2,故A可逆，且 A-1=diag(1,-1/2,1),又 A*=|A|A-1=-2A-1=diag(-2,1,-2)故2(E+A-1)BA=E , 即B=(E+A-1)-1A-1/2故B=diag(-1,1/2,-1)又 (E+A-1)-1=diag(-1 , 1/2 , -1)線性代數(shù)習(xí)題課（一）14、設(shè)n階矩陣 A、B

8、、A+B可逆，試證明:A-1+B-1可逆,并求其逆矩陣。證明：A+B=A(A-1+B-1)B,|A+B|=|A|A-1+B-1|B|,又因?yàn)?A、B、A+B可逆，故A、B、A+B的行列式不為零。故A-1+B-1的行列式不為零，即A-1+B-1為可逆矩陣。又A-1(A+B)B-1=A-1+B-1,故(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A線性代數(shù)習(xí)題課（一）15、設(shè)行列式 ， 1 1 2 23 -1 -1 12 2 1 -11 2 3 0 D=解：1 1 2 23 -1 -1 11 -1 1 -11 2 3 0D=2 1 3 2 -4 4 3 2 1 =34第三行各元素余子式之和。 1 2 1

9、 33 2 -4 41 0 0 01 3 2 1 =顯然 M31+M32+M33+M34 =D=34線性代數(shù)習(xí)題課（一）線性代數(shù)習(xí)題課（一）16、設(shè)1=(1 , 1 , 1)T, 2=(1 , 2 , 3)T, 1=(1 , 3 , t)T(1)問(wèn)t為何值時(shí)，向量組1、2、3線性無(wú)關(guān)？(2)問(wèn)t為何值時(shí)，向量組1、2、3線性相關(guān)？線性相關(guān)時(shí)，將3 由1、2線性表出。解：(1, 2, 1)= 1 11 2 31 3 t 1 10 1 20 0 t-5 0 -10 1 20 0 t-5故t=5時(shí)，向量組1、2、3線性相關(guān)，且 3=-1+22線性代數(shù)習(xí)題課（一）17、設(shè)1=m1+32+3 , 2=2

10、1+(m+1)2+3 , 3=-21-(m+1)2+(m-1)3 , 其中向量組1、2、3線性無(wú)關(guān)，試討論向量組1、2、3線性相關(guān)性。線性代數(shù)習(xí)題課（一）解：(1 2 3)=(1 2 3)m 2 -2 3 m+1 -m-1 1 1 m-1 m 2 -2 3 m+1 -m-1 1 1 m-1=m(m-2)(m+1)故m=0 ,否則向量組線性無(wú)關(guān)。或m=-1 , 或m=2時(shí)向量組線性相關(guān)。1、設(shè)A為n階方陣，A*為其伴隨矩陣，det (-1)n3det(A)=1/3 , 則線性代數(shù)習(xí)題課（一）2、設(shè)三階方陣A0，B= ,且AB=0，則t =4 3 5 4 t3 5 3解：設(shè)A=(1 , 2 ,3)

11、 , 則AB=(1+22+33 ,31+42+53 , 51+t2+33)由于AB=0，則B的列向量為AX=0的解又三階方陣A0，故AX=0至多有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量,即r(B)2。 線性代數(shù)習(xí)題課（一）3、若n階矩陣A滿足方程A2+2A+3E=0則 A-1=4、設(shè)A為三階矩陣，且|A| = 1則 |2A-1 +3A* |=53=125線性代數(shù)習(xí)題課（一）5、設(shè)A= ,則 An= 3 0 0 0 1 0 0 0 4 3n 0 0 0 1 0 0 0 4n線性代數(shù)習(xí)題課（一）設(shè)A= , 0 0 3 0 1 0 4 0 0則 An= 12n 0 0 0 1 0 0 0 12nA2n+1= 0 0

12、4n3n+1 0 1 0 4n+13n 0 0 A2n=6、設(shè)A= ,則 A-1= 3 0 0 0 1 0 0 0 4 1/3 0 0 0 1 0 0 0 1/47、設(shè) =(a1 , a2 , ,an) 0, =(b1 , b2 , , bn) 0且A=T ，則 r(A)= 1r(AB)minr(A) , r(B)線性代數(shù)習(xí)題課（一）設(shè)A= , 0 0 3 0 1 0 4 0 0則 A-1= 0 0 1/4 0 1 0 1/3 0 08、設(shè)A為4階方陣, 則r(A*)= 1 r(A*)= n, 若r(A)=n1, 若r(A)=n-10, 若r(A)n-2(2)若矩陣A的秩r(A)=2，A*為A

13、的伴隨矩陣，則r(A*)=0線性代數(shù)習(xí)題課（一）(1)若矩陣A的秩r(A)=3，線性代數(shù)習(xí)題課（一）9、設(shè)A為43矩陣，且r(A)=2, 而B(niǎo)= , 1 0 2 0 2 0-1 0 3則 r(AB)=210、設(shè)A= , k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k且r(A)=3,則 k =-311、設(shè)三階矩陣A= , B= , 1 2 1 2且|A|=2 , |B|=3, 則|3A|=|A+B|= ,|A-B|=|AT+BT|=5420020線性代數(shù)習(xí)題課（一）作 業(yè) 題 答 案1、設(shè)矩陣2 0 4 11 -2 4 3A=1 2 -2 30 2 -1 4B=3 4 1 22

14、-3 2 -1C=則(1)A+B= 2 2 41 0 3 72A-3C=-2 -2 -3 1-2 5 -3 5B-C=-5 -12 5 -4-4 5 2 9(2)若矩陣X滿足A+2X=C ,則X =(C-A)/2=1/2 2 -3/2 1/21/2 -1/2 -1 -2(3) 若矩陣Y滿足(2A+Y)+3(B-Y)=0 ,則Y=(2A+3B)/2 =7/2 3 1 11/2 1 1 5/2 9(4) 若矩陣X、Y滿足3X-Y=2A , X+Y=B ,則X=(2A+B)/4 =5/4 1/2 3/2 5/41/2 -1/2 7/4 5/2則Y=(3B-2A)/4 =-1/4 3/2 -7/2 7

15、/4-1/2 5/2 -11/4 3/5作 業(yè) 題 答 案 4 -1 0 5-2 2 1 32、 設(shè)矩陣A= ,B= 1 0 -2 3 -2 -1 05 -3 2 1則ABT= 4 -1 0 5-2 2 1 3 1 4 5 0 -2 -3 -2 -1 2 3 0 119 18 28 5 -13 11= 作 業(yè) 題 答 案線性代數(shù)習(xí)題課（一）3、用初等變換將矩陣A化成階梯形矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣、及標(biāo)準(zhǔn)型 。A=2 -1 -1 1 21 1 -2 1 44 -6 2 -2 43 6 -9 7 91 1 -2 1 42 -1 -1 1 24 -6 2 -2 43 6 -9 7 9 r1r2 r4-(r

16、1+r2) r3-2r2 r2-2r11 1 -2 1 40 -3 3 -1 -60 -4 4 -4 00 6 -6 5 3(-1/4)r3 r4+r21 1 -2 1 40 -3 3 -1 -60 1 -1 1 00 2 -2 1 3 r3+3r2 r4-2r2 r2r31 1 -2 1 40 1 -1 1 00 -3 3 -1 -60 2 -2 1 31 1 -2 1 40 1 -1 0 00 0 0 2 -60 0 0 -1 3 r3r41 1 -2 1 40 1 -1 0 00 0 0 -1 30 0 0 2 -6 r1+r3 r1-r2 r4+2r3 -r31 0 -1 0 70 1

17、 -1 0 00 0 0 1 -30 0 0 0 0 c3+c1 c3-c2 c5-7c1 c3-3c41 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 0 c3c41 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0作 業(yè) 題 答 案作 業(yè) 題 答 案4、求A的逆矩陣(AE)= 1 1 -1 1 0 0 1 2 -3 0 1 0 0 1 1 0 0 1 r2-r1 1 1 -1 1 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 1 1 0 0 1 r3-r2 1 1 -1 1 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0 3 1 -1 1(1/3)r3 1 1

18、 -1 1 0 0 0 1 -2 -1 1 0 0 0 1 1/3 -1/3 1/3r1+r3 r2+2r3 1 1 0 4/3 -1/3 1/3 0 1 0 -1/3 1/3 2/3 0 0 1 1/3 -1/3 1/3r1-r2 1 0 0 5/3 -2/3 -1/3 0 1 0 -1/3 1/3 2/3 0 0 1 1/3 -1/3 1/3作 業(yè) 題 答 案5、解矩陣方程:(AB)= 1 2 1 -1 3 3 2 4 5 3r2-3r1 1 2 1 -1 3 0 -4 1 8 -6(AX=B)(-1/4)r2 1 2 1 -1 3 0 1 -1/4 -2 3/2r1-2r2 1 0 3/

19、2 3 0 0 1 -1/4 -2 3/2 3/2 3 0 -1/4 -2 3/2 X=作 業(yè) 題 答 案6、解矩陣方程:(AXB=C) 2 -4 3 2 0 1 1 -2 4 =A=E(r1, r2)=A-1,B=E(r2 , r3)=B-1,X=A-1CB-1=E(r1, r2)E(r2 , r3) 2 1 0 2 3 -4 1 4 -2作 業(yè) 題 答 案7、設(shè)矩陣A、B滿足AB=2B+A,且A= 3 0 1 1 2 0 0 1 4解、有題設(shè)可知：(A-2E)B=A(A-2E A)= 1 0 1 3 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 1 4 1 0 0 1 2 0 0 1 0

20、 -4 5 2 0 0 1 2 -2 1B= 1 2 0-4 5 2 2 -2 18、計(jì)算行列式2 0 0 40 1 -1 20 -4 0 05 2 -3 8 D=2 0 40 -1 25 -3 8 =41 0 10 -1 15 -3 4=161 0 00 -1 15 -3 -1=161 0 00 -1 05 -3 -4=16=64作 業(yè) 題 答 案作 業(yè) 題 答 案9、求矩陣A的伴隨矩陣及逆矩陣。 1 11 0 -13 2 3 A=矩陣A的代數(shù)余子式為：A11=2,A21=-1,A31=-1,A12=-6,A22=0,A32=2,A13=2,A23=1,A33=-1,A的伴隨矩陣為： 2 -1 -1-6 0 2 2 1 -1A*=矩陣A行列式：|A|=-2A的逆矩陣為：-1 1/2 1/2 3 0 -1-1 -1/2 1/2 A-1=作 業(yè) 題 答 案10、設(shè) A= 1 -2 3k-1 2k -3 k -2 3則 A 1 -2 3k 0 2(k-1) 3(k-1) 0 0 3(k-1)(k+2)若r( A)=1,則 k=1;若r( A)=2,則 k=-2;若r( A)=3,則 k1 , k-2