INS理論與技術06(復合運動與慣導基本方程)

1、INS理論與應用（6.慣導基本方程）INS理論與應用6.慣導基本方程授課內容1.哥氏加速度2.絕對加速度3.比力方程4.慣導的高度通道INS理論與應用6.慣導基本方程要解釋陀螺儀的基本特性，有必要說明一下哥氏（Coriolis）加速度的概念。要說明加速度所感測的量，有必要推導出絕對加速度的表達式。為了研究慣性導航系統(tǒng)的理論實現，要在建立加速度計所測量的比力表達式，即比力方程。比力方程是慣性系統(tǒng)的一個基本方程。INS理論與應用6.慣導基本方程1.哥氏加速度從運動學知，當動點對某一動參考系作相對運動，同時這個動參考系又在作牽連轉動時，則該動點將具有哥氏加速度。載體相對地球運動，地球又相對慣性空間運

2、動。因此，對地球而言，載體的慣性加速度包含了相對加速度和哥氏加速度等。若要求得載體相對地球的運動，就要確定這些加速度之間的關系。INS理論與應用6.慣導基本方程從運動學知，當動點對某一動參考系作相對運動，同時這個動參考系又在作牽連轉動時，則該動點將具有哥氏加速度。設有一直桿繞定軸以角速度作勻速轉動，直桿上有一小球以速度vr沿直桿作勻速移動。INS理論與應用6.慣導基本方程直桿是動參考系，小球可看成為動點。小球在直桿上的移動可看成為動點對動參考系作相對運動，而直桿繞定軸的轉動可看成為動參考系在作牽連轉動。小球的相對速度就是它在直桿上的移動速度。小球的牽連速度就是直桿上與小球相重合的那個點的速度。

3、這里直桿繞定軸轉動使牽連點具有切向速度，即為小球的牽連速度。INS理論與應用6.慣導基本方程設在某一瞬時 t，直桿處于 OA1 位置，小球在直桿上處于 B1 位置。這時小球的相對速度矢量的大小為 vr，方向沿 OA1方向；小球的牽連速度矢量大小為 ve=r，方向與 OA1垂直。INS理論與應用6.慣導基本方程經過時間t 后，直桿轉動了=t 角度，處于OA2 位置；小球在直桿上移動了r = vrt距離，處于B2位置。小球的相對速度的大小不變，為 vr=vr，但因直桿的牽連轉動帶動小球一起轉動 ，故其方向改變成沿OA2方向。小球牽連速度矢量用 ve 表示。因牽連點改變到B2，故牽連速度的大小改變成

4、 ve=(r+r) ，其方向與 OA2垂直。INS理論與應用6.慣導基本方程可見，經過了t 時間后，小球的相對速度和牽連速度都有變化。在速度矢量圖中，相對速度增量vr表示了相對速度方向的變化。INS理論與應用6.慣導基本方程牽連速度增量ve表示了牽連速度大小和方向的變化。將ve分解為ve1 和 ve2 ，它們分別表示了牽連速度方向和大小的變化。速度的方向或大小發(fā)生變化，表明必有加速度存在。INS理論與應用6.慣導基本方程首先分析使相對速度方向改變的加速度。從相對速度矢量圖可得速度增量vr的大小為用t 除以等式兩邊并求極限值，則得如下加速度INS理論與應用6.慣導基本方程該加速度的方向可由t 0

5、 (即0)時r的極限方向看出，它垂直于和vr所組成的平面。這就是由直桿牽連轉動的影響，使小球相對速度方向改變的加速度。如果直桿沒有牽連轉動，那么小球相對速度的方向不會發(fā)生改變，這項加速度是不存在的。INS理論與應用6.慣導基本方程再看使牽連速度大小改變的加速度。從牽連速度矢量圖可得速度增量ve2 的大小為用t 除以等式兩邊并求極限值，則得如下加速度INS理論與應用6.慣導基本方程該加速度的方向可由t 0 (即0)時Ve2的極限方向看出，它也垂直于和vr所組成的平面。這就是由小球相對運動的影響，使小球牽連速度大小改變的加速度。如果小球沒有相對運動，那么小球牽連速度的大小不會發(fā)生改變，這項加速度是

6、不存在的。INS理論與應用6.慣導基本方程至于使小球牽連速度方向改變的加速度（即與牽連速度增量ve1 對應的加速度），不難看出，它是由直桿的牽連轉動而引起的，并且它是向心加速度，所以此項加速度實為小球的牽連加速度。INS理論與應用6.慣導基本方程本例中，小球在直桿上作勻速移動，故小球的相對加速度為零，直桿繞固定軸作勻速轉動，故小球的牽連加速度中不存在切向加速度，只存在向心加速度。這就表明，上述導出的兩項加速度既不是相對加速度，也不是牽連加速度，而是一種附加加速度，它就稱為哥氏加速度。INS理論與應用6.慣導基本方程由此看出哥氏加速度的形成原因：當動點的牽連運動為轉動時，牽連轉動會使相對速度的方

7、向不斷發(fā)生改變，而相對運動又使牽連速度的大小不斷發(fā)生改變；這兩種原因都造成了同一方向上附加的速度變化率，該附加加速度變換率即為哥氏加速度?；蚝喲灾?，哥氏加速度是由于相對運動與牽連轉動的相互影響而形成的。INS理論與應用6.慣導基本方程上面是以牽連角速度與相對速度vr相垂直的情況進行分析。哥氏加速度的大小為上述兩項加速度之和的模，即ac=2vr哥氏加速度的方向如右圖所示。哥氏加速度 ac垂直于牽連角速度與相對速度Vr所組成的平面，從沿最短路徑握向Vr的右手旋進方向即為 ac的方向。INS理論與應用6.慣導基本方程在一般情況下，牽連角速度與相對速度之間可能成任意夾角。按照類似的方法進行分析，可得哥

8、氏加速度的一般表達式為： ac=2vr即在一般情況下哥氏加速度的大小為而哥氏加速度的方向仍按右手旋進規(guī)則確定。INS理論與應用6.慣導基本方程2.絕對加速度當動點的牽連運動為轉動時，動點的絕對加速度a應等于相對加速度ar、 牽連加速度ae與哥氏加速度ac的矢量和， 即a= ar +ae + ac這就是一般情況下的加速度合成定理。 INS理論與應用6.慣導基本方程如圖所示，設在地球表面附近航行的運載體所在點為q。它在慣性系OXiYiZi中的位置矢量為R，在地球系OXeYeZe 中的位置矢量為 r，而地心相對日心的位置矢量為 R0。根據各量關系，可以寫出位置矢量方程：INS理論與應用6.慣導基本方

9、程上式對時間求一階導數，則有利用矢量的相對導數和絕對導數的關系，上式第二項，即載體位置矢量r在地心慣性坐標中的導數可表達為從而得到運載體絕對速度的表達式INS理論與應用6.慣導基本方程上式中各項所代表的物理意義如下dR/dt|i：位置矢量R在慣性系中的變化率，代表運載體相對慣性空間的速度，即絕對速度。dr/dt|e：位置矢量r 在地球坐標系中的變化率，代表運載體相對地球的速度，即運載體的相對速度(是重要的導航參數之一)。dRo/dt|i：位置矢量R0 在慣性系中的變化率，代表地球公轉引起的地心相對慣性空間的速 度，它是運載體牽連速度的一部分；ier：代表地球自轉引起的牽連點相對慣性空間的速度，

10、它是運載體牽連速度的又一部分。INS理論與應用6.慣導基本方程運載體絕對速度對時間再求一階導數而而地球相對慣性空間的角速度ie可以精確地看成是常矢量，即die/dt=0，由此得到運載體絕對加速度的表達式 ：INS理論與應用6.慣導基本方程上式中各項所代表的物理意義如下：d2R/dt2|i：運載體相對慣性空間的加速度，即運載體的絕對加速度。d2r/dt2|e：運載體相對地球的加速度，即運載體的相對加速度；d2Ro/dt2|i：地球公轉引起的地心相對 慣性空間的加速度，它是運載體牽連加速度的一部分 ；ieier：代表地球自轉引起的牽連點的向心加速度，它是運載體牽連速度的又一部分；2iedr/dt|

11、e：運載體相對地球速度與地球自轉角速度的相互影響而形成的附加加速度，即運載體的哥氏加速度。INS理論與應用6.慣導基本方程3.比力方程加速度計的工作原理是牛頓力學定律 ，其力學模型如圖所示。敏感質量（質量設為m）借助彈簧（彈簧剛度設為k）被約束在儀表殼體內，并且通過阻尼器與儀表殼體相聯(lián)。當沿加速度的敏感軸方向無加速度輸入時，質量塊相對儀表殼體處于零位。INS理論與應用6.慣導基本方程當安裝加速度計的運載體沿敏感軸方向以加速度 a 相對慣性空間運動時，儀表殼體也隨之作加速運動。但質量塊由于保持原來的慣性，故它朝著與加速度相反方向相對殼體位移而壓縮或拉伸彈簧。當相對位移量達一定值時，彈簧變形所給出

12、的彈簧力 kxA（xA為位移量）使質量塊以同一加速度 a 相對慣性空間運動。INS理論與應用6.慣導基本方程在此穩(wěn)態(tài)情況，有如下關系成立：kxA=ma，或xA=ma/k。即穩(wěn)態(tài)時質量塊的相對位移量xA與運載體的加速度 a 成正比。INS理論與應用6.慣導基本方程地球、月球，太陽和其它天體均存在著引力場，加速度計的測量將受到引力的 影響 。為了便于說明，暫且不考慮運載體的加 速度 。設加速度的質量塊受到沿敏感軸方向的引力mG(G為引力加速度)的作用，則質量塊將沿著引力作用方向相對殼體位移而拉伸(或壓縮)彈簧 。INS理論與應用6.慣導基本方程當相對位移量達一定值時彈簧受拉 (或受壓所給出的彈簧力

13、kxG(xG為位 移量)恰與引力mG相平衡。在此穩(wěn)態(tài)情況，有如下關系成立：kxG=mG，或xG=mG/k即穩(wěn)態(tài)時質量塊的相對位移量xG與引力加速度G成正比。INS理論與應用6.慣導基本方程對照前兩圖可以看出，沿同一軸向的a矢量和G矢量所引起的質量塊位移方向相反。綜合考慮運載體加速度和引力加速度的情況 下，在穩(wěn)態(tài)時質量塊的相對位移量為x=m(a-G)/k上式說明，穩(wěn)態(tài)時質量塊的相對位移量x 與(a-G)成正比。 阻尼器則用來阻尼質量塊到達穩(wěn)定位置的振 蕩。借助位移傳感器可將該位移量變換成電信號，所以加速度計的輸出與(a-G)成正比。INS理論與應用6.慣導基本方程在地球表面附近，把加速度計的敏感

14、軸安裝得與運載體(如火箭)的縱軸平行，當運載體以 5g(g為重力加速度)的加速度垂直向上運動，即以a=5g沿敏感軸正向運動時，因沿敏感軸負向有引力加速度G=g，故質量塊的相對位移量為x=(5g-(-g)m/k=6mg/k.當運載體垂直自由降落，即以a=-g沿敏感軸正向運動時，因沿敏感軸正向有引力加速度 G=-g，故質量塊的相對位移量為x=(-g-(-g)m/k=0.INS理論與應用6.慣導基本方程在慣性技術中，通常把加速度計的輸入 量a-G稱為“比力”。現在說明它的物理意義 。這里作用在質量塊上的外力包括彈簧力 F彈和引力 mG，根據牛頓第二定律，可以寫出：F彈+mG=ma移項后得：F彈=ma

15、-mG再將上式兩邊同除以質量m，得到：F彈/m=a-GINS理論與應用6.慣導基本方程令f=F彈/m，則f=a-G.稱f為比力，于是比力代表了作用在單位質量上的彈簧力。比力的大小與彈簧變形量成正比，而加速度計輸出電壓的大小正是與彈簧變形量成正比，所以加速度計實際感測的量并非是運載 體的加速度，而是比力。也因此，加速度計又稱比力敏感器。作用在質量塊上的彈簧力與慣性力和引力的合力大小相等，方向相反。于是又可把比力定義為“作用在單位質量上慣性力與引力的合力 (或矢量和)。應該注意：比力具有與加速度相同的量綱。INS理論與應用6.慣導基本方程在比力的表達式中，a 是運載體的絕對加速度，當運載體在地球表

16、面運動時其表達式已由前面的公式給出；而G是引力加速度 ，它是地球引力加速度Ge、月球引力加速度Gm、太陽引力加速度Gs和其它天體引力加速度即INS理論與應用6.慣導基本方程所以，加速度計敏感到的比力為地球公轉引起的向心加速度陽引力加速度Gs的量值大致相等, 即d2Ro/dt2|i-Gs=0。在地球表面附近，月球引力加速度的量值 Gm3.910-6Ge；太陽 系的行星中距地球最近的金星，其引力加速度約 為 1.910-8Ge；太陽 系的行星中質量最大的木星，其引力加速度約為 3.710-8Ge。至于太陽 系外的其它星系，因距地球更遠，其引力加速度更加微小 。INS理論與應用6.慣導基本方程對于一

17、般精度的慣性系統(tǒng)， 月球及其它天體引力加速度的影響可以忽 略不計?？紤]到上述這些關系 ，加速度計感測的比力可寫成：上式中，dr/dt|e即為運載體相對地球的運動速度，用vep代表。同時注意到，地球引力加速度Ge與地球自轉引起的向心加速度共同形成了地球重力加速度，亦即g=Ge-ieierINS理論與應用6.慣導基本方程在上述假設之下，加速度計所感測的比力可改寫成在慣性系統(tǒng)中， 加速度計安裝在運載 體內的某一測量坐標系中工作的， 例如直接安裝在與運載體固連的運載體坐標系中 (捷聯(lián)式系統(tǒng))， 或安裝 在與平臺固連的平臺坐標中(平臺式系統(tǒng))。假設安裝加速度計的測量坐標系為p系，它相對地球坐標系的轉動角

18、速度為ep， 則有 INS理論與應用6.慣導基本方程應用上述關系，加速度計所敏感的比力可進一步寫為或者進一步寫作INS理論與應用6.慣導基本方程上式就是運載體相對地球運動時加速度計所敏感的比力表達式，通常稱為比力方程。式中各項所代表的物理意義如下：vep：運載體相對地球的運動速度； epvep：測量坐標系相對地球轉動所引起的向心加速度，ievep：運載體相對地球速度與地球自轉角速度的相互影響而形成的哥氏加速度；g：地球重力加速度。INS理論與應用6.慣導基本方程比力方程表明了加速度計所敏感的比力與運載體相對地球的加速度之間的關系，所以它是慣性系統(tǒng)的一個基本方程。不論慣性系統(tǒng)的具體方案和結構如何

19、，該方程都是適用的。將等式右邊除dvep/dt之外的量稱為有害加速度。導航計算需要的是運載體相對地球的加速度。但從上式看出，加速度計不能分辨有害加速度和運載體相對加速度。因此，必須從加速度計所測得的比力中補償掉有害加速度的影響，才能得到運載體相對地球的加速度，經過數學運算進而獲得運載體相對地球的速度及位置等導航參數 。INS理論與應用6.慣導基本方程上述的比力方程是向量形式，也可以寫成沿平臺坐標系的投影形式。平臺坐標系的取法不同，投影的形式也不同，我們先確定平臺坐標系的ozp軸的方向，oxp、oyp軸的方向確定在后面再討論。ozp軸的正方向選為重力加速度的反方向，即指向天。INS理論與應用6.慣導基本方程根據矢量叉乘的公式，可以把慣導基本方程寫成如下的矩陣形式INS理論與應用6.慣導基本方程4.慣導的高度通道根