系統(tǒng)辨識課件：第4章 數(shù)學(xué)模型的最小二乘法辨識 -2

1、12回顧最小二乘法辨識33則可寫為 N維輸出向量2n+1維參數(shù)向量N維噪聲向量最小二乘法：回顧445回顧遞推最小二乘法6回顧772022/8/7該遞推公式有明顯的物理意義：84.7.2 遞推最小二乘法程序結(jié)構(gòu)9101112可用下式作為遞推最小二乘算法的停機準(zhǔn)則134.8 遞推最小二乘辨識的在線算法考慮被控對象的在線辨識和控制問題。為不相關(guān)的隨機其中序列。主要目的是設(shè)計狀態(tài)反饋控制律，使得輸出趨向于零。但主要問題是模型參數(shù) 、 未知。14整個閉環(huán)系統(tǒng)原理如下圖所示。15 將被控對象模型變換成狀態(tài)空間模型，令狀態(tài)變量為：則有：這是一個一階線性離散系統(tǒng)。16暫不考慮干擾信號，設(shè)狀態(tài)反饋控制律為：其中

2、 為反饋增益系數(shù)?？傻瞄]環(huán)系統(tǒng)方程其特征方程為：17解出閉環(huán)極點為：假設(shè)期望閉環(huán)極點為：模小于1則有：18于是在理論上狀態(tài)反饋控制律為：可見狀態(tài)反饋控制律不但依賴于系統(tǒng)的狀態(tài) ，而且還依賴于模型參數(shù) 、 。但是這兩個參數(shù)卻是未知的，在這種情況下，我們通過最小二乘法辨識出這兩個參數(shù) 和 ，19為了仿真研究的方便，我們在解算模型的輸出時，假設(shè)這兩個參數(shù)為 、 。在假設(shè)這兩個參數(shù)已知的理想情形下，我們先對閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。最后得到實際的控制律20假設(shè)狀態(tài)初值為：隨機干擾的范圍為：21編寫下列M文件x0=-2.3;x(1)=x0;for k=1:1:20 x(k+1)=0.3*x(k) +0.2*

3、rand(1)-0.1;endt=0:1:length(x)-1;stem(t,x);axis(0,21,-3,1);繪制枝干圖隨機干擾22運行結(jié)果如下：23可見在理想情況下，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 而實際情況下，被控系統(tǒng)的參數(shù)是未知的，需要通過最小二乘法進(jìn)行辨識。下面給出實際閉環(huán)系統(tǒng)仿真流程圖24開始給定真實參數(shù) 、解算模型輸出之用設(shè)定較大的正常數(shù)給定估計參數(shù)初值 、不可為零否則控制律發(fā)散25估計參數(shù)向量的初始化給定系統(tǒng)初始狀態(tài)，即初始輸出相當(dāng)于26設(shè)置設(shè)置矩陣P的初始化，相當(dāng)于27狀態(tài)反饋控制律系統(tǒng)模型1表示11矩陣，即標(biāo)量隨機數(shù)，范圍為01282930結(jié)束否？是結(jié)束否31編制M文件如下：

4、a1=2; % 真實參數(shù)b0=1.4; % 真實參數(shù)c=10000; % 很大的正常數(shù)a1_m=0; % 估計參數(shù)初值b0_m=0.5;% 估計參數(shù)初值sita_m(:,1)=a1_m,b0_m;% 估計參數(shù)向量初值y(1)=-2.3; % 系統(tǒng)初始狀態(tài)（即初始輸出）z=c2; % 很大的正常數(shù)之平方P(:,:,1)=diag(z,z,0); % P陣的初始化32for N=1:1:20 u(N)=(sita_m(1,N)+0.3)*y(N)/sita_m(2,N); y(N+1)=-a1*y(N)+b0*u(N)+0.2*rand(1)-0.1; fai(:,N+1)=-y(N),u(N);

5、 W=P(:,:,N)*fai(:,N+1); r=1/(1+W*fai(:,N+1); K(:,N+1)=W*r; P(:,:,N+1)=P(:,:,N)-K(:,N+1)*W; sita_m(:,N+1)=sita_m(:,N)+K(:,N+1)*(y(N+1)-(fai(:,N+1)*sita_m(:,N);end控制律對象模型遞推最小二乘算法33u(21)=(sita_m(1,21)+0.3)*y(21)/sita_m(2,21);k=0:1:length(u)-1;subplot(2,1,1);stairs(k,u,r-);xlabel(time k);ylabel(u(k);sub

6、plot(2,1,2);stairs(k,y,b-);xlabel(time k);ylabel(y(k);為了向量u和y的長度一致畫階梯線34該文件的運行結(jié)果35 從數(shù)字仿真的結(jié)果可見：在反饋控制律使用最小二乘估計參數(shù)的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)還是漸近穩(wěn)定的。36 現(xiàn)在我們再來看一下這兩個估計模型參數(shù)的收斂情況。繼續(xù)上述M文件：figure;subplot(2,1,1);stairs(k,sita_m(1,:),k-);legend(a1_m);subplot(2,1,2);stairs(k,sita_m(2,:),m-);legend(b0_m);37運行結(jié)果38 從數(shù)字仿真的結(jié)果可見：最小二乘估

7、計參數(shù)收斂相當(dāng)快，而且估計穩(wěn)態(tài)誤差均為零。394.9數(shù)據(jù)遞推的飽和及解決方法4.9.1數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象 隨著數(shù)據(jù)量的增長，遞推的最小二乘法將出現(xiàn)所謂的“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象。這是由于增益矩陣隨著數(shù)據(jù)的增加將逐漸趨于零。以致使遞推算法是去修正能力的緣故。 所謂數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象。就是隨著時間的推移，采集的數(shù)據(jù)越來越多，新數(shù)據(jù)提供的信息被舊數(shù)據(jù)所淹沒。 如果辨識算法對新、舊數(shù)據(jù)給予相同的信度，那么隨著從新數(shù)據(jù)中獲得的信息量相對下降，算法就會慢慢失去修正能力。 估計值可能還偏離真值較遠(yuǎn)就無法更新了；對時變系統(tǒng)來說，將導(dǎo)致參數(shù)估計值不能跟蹤時變參數(shù)的變化；另外，由于遞推在數(shù)字計算機上進(jìn)行，每步都存在舍入誤差。數(shù)據(jù)飽和

8、后，不僅對參數(shù)估計不起改進(jìn)作用，反而可能使偏差越來越大。4040數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象 4141數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象 為了克服數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象，可以用降低舊數(shù)據(jù)影響的辦法來修改算法。 可見，隨著遞推次數(shù)的增加，P(N)將越來越小,最后可能趨于零。 因此根據(jù)上式，新的采樣值對參數(shù)估計的改進(jìn)，已不再起作用了。4242如果再獲得一對新的觀測值 ，則有 由n+N個觀測數(shù)據(jù)獲得 的最小二乘估計為4.9.2漸消記憶法 漸消記憶法又稱為遺忘因子法，這種方法的思想是對舊數(shù)據(jù)加上遺忘因子，按指數(shù)加權(quán)來使得舊數(shù)據(jù)的作用衰減。 43令： 稱為遺忘因子，0 1。漸消記憶的遞推算法的結(jié)構(gòu)和計算流程與遞推最小二乘算法基本一致。初始狀態(tài)的選取也一致。遺忘因子必須選擇接近1的正數(shù)，通常不小于0.9。如果系統(tǒng)是線性的，應(yīng)選擇0.951。整理得：444.9.3限定記憶法 限定記憶法每次估值只依據(jù)最新的N個數(shù)據(jù)，在此以前的數(shù)據(jù)則全部剔除。如果考慮一個固定長度的矩形窗，每一時刻有一個新數(shù)據(jù)點增加進(jìn)來，一個舊數(shù)據(jù)點剔除出去，這樣保持了每次都只取最新的N個數(shù)據(jù)進(jìn)行計算。 遞推算法分為兩個過程。（1）先進(jìn)一個觀測數(shù)據(jù)yi+N，即在i+N時刻，進(jìn)一個數(shù)據(jù)