數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介課件

1、 數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介 2011年12月 數(shù)學(xué)建模的基本概念數(shù)學(xué)建模的方法、步驟實(shí)例分析數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介 數(shù)學(xué)建模的基本概念 原型（Prototype） 人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究、或從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象。 原型有：現(xiàn)時(shí)對(duì)象、研究對(duì)象、實(shí)際問題等。模型（Model) 為某個(gè)目的將原型的某一部分信息進(jìn)行簡(jiǎn)縮、提煉而構(gòu)成的原型替代物。 模型有：直觀模型、物理模型、思維模型、計(jì)算模型等 按研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等。 數(shù)學(xué)模型的分類： 按研究對(duì)象的實(shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模 型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模

2、型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等。 模型 數(shù)學(xué)模型 是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 簡(jiǎn)單地說 數(shù)學(xué)模型就是系統(tǒng)的某種特征(或本質(zhì))的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。數(shù)學(xué)建模 利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐過程。即通過抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后，將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)

3、算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。 數(shù)學(xué)建模其實(shí)并不是什么新東西，可以說有了數(shù)學(xué)就需要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題，就一定要用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、方法去近似地刻劃實(shí)際問題，這種刻劃的數(shù)學(xué)表述的就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，其過程就是數(shù)學(xué)建模的過程。數(shù)學(xué)模型一經(jīng)提出，就要用一定的技術(shù)手段（計(jì)算、證明等）來求解并驗(yàn)證，其中大量的計(jì)算往往是必不可少的，高性能的計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)建模這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個(gè)高潮。 數(shù)學(xué)建模的方法、步驟 數(shù)學(xué)建模的基本方法 建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒有一定的模式，但一個(gè)理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法： 機(jī)理分析 測(cè)試分析方法 機(jī)理分析：根據(jù)對(duì)

4、現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義 測(cè)試分析方法：將研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求，通過測(cè)量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型 測(cè)試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識(shí) 將這兩種方法結(jié)合起來使用，即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測(cè)試方法來確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的問題模型準(zhǔn)備 模型假設(shè) 模型構(gòu)成 模型驗(yàn)證 模型分析 模型求解 模型應(yīng)用模型假設(shè)針對(duì)

5、問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用現(xiàn)實(shí)對(duì)象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系現(xiàn)實(shí)對(duì)象信息數(shù)學(xué)模型數(shù)模的解答現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述歸納求解演繹解釋驗(yàn)證表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐理論實(shí)踐簡(jiǎn)單實(shí)例分析背景 年

6、1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長(zhǎng)實(shí)例1 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)模型1今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 rk年后人口模型2模型假設(shè)1）時(shí)刻t人口增長(zhǎng)的速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比， 增長(zhǎng)率為常數(shù)r。2）以x(t)表示時(shí)刻t某地區(qū)（或國(guó)家）的人口數(shù)，設(shè)人口數(shù)x(t)足夠大，可以視做連續(xù)函數(shù)處理，且x(t

7、)關(guān)于t連續(xù)可微 人口指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯Malthus，1766-1834）模型建立及求解據(jù)模型假設(shè)，在t到 t + t 時(shí)間內(nèi)人口數(shù)的增長(zhǎng)量為如果設(shè) t = t0時(shí)刻的人口數(shù)為，則x(t)滿足初值問題：t x(t)19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好的吻合。19世紀(jì)以后的許多國(guó)家，模型遇到了很大的挑戰(zhàn)。注意到 ，我們的地球是有限的，故指數(shù)增長(zhǎng)模型（Malthus模型）對(duì)未來人口總數(shù)預(yù)測(cè)非?；闹嚕缓铣＠?，應(yīng)該予以修正。 模型檢驗(yàn)我們把人口數(shù)僅僅看成是時(shí)間的函數(shù)，忽略了個(gè)體間的差異（如年齡、性別、大小等）對(duì)人口增長(zhǎng)的影響。2. 假定是連續(xù)可微的。這對(duì)于人口數(shù)量足夠大，而生育和死亡

8、現(xiàn)象的發(fā)生在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)是隨機(jī)的，可認(rèn)為是近似成立的。3. 人口增長(zhǎng)率是常數(shù)，意味著人處于一種不隨時(shí)間改變的定常的環(huán)境當(dāng)中。4. 模型所描述的人群應(yīng)該是在一定的空間范圍內(nèi)封閉的，即在所研究的時(shí)間范圍內(nèi)不存在有遷移（遷入或遷出）現(xiàn)象的發(fā)生。 模型討論 不難看出，這些假設(shè)是苛刻的、不現(xiàn)實(shí)的，所以模型2只符合人口的過去結(jié)果而不能用于預(yù)測(cè)未來人口。人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)模型3阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)dx/dtx0 xmxm/

9、2xmtx0 x(t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4r=0.2557, xm=392.1模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4 (百萬)模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售

10、量)r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0復(fù)雜的人口模型可見數(shù)學(xué)模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實(shí)際情況的變化。考慮人口年齡分布的偏微分方程模型。考慮女性人口比例和人口遷移等因素有宋健-于景元人口模型。實(shí)例2 商人們?cè)鯓影踩^河問題(智力游戲) 3名商人 3名隨從隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型構(gòu)成xk第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk) 過程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合uk 第k次渡船上的商人數(shù)vk 第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk) 決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k 狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由 s1=(3,3)到達(dá) sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解xy3322110