線性空間維數(shù)與基的求法

1、線性空間維數(shù)與基的求法維數(shù)與基是線性空間V的一個基本屬性，它的確立對于我們認(rèn)識線性空間有著很大 的作用。因?yàn)榇_定了維數(shù)和基以后n線性空間V上任意向量的坐標(biāo)(即n元數(shù)組)也就 相應(yīng)確定了，在學(xué)習(xí)了線性空間的同構(gòu)的知識后會知道，任意n維線性空間V都與Pn同 構(gòu)，這樣，我們可以通過Pn的性質(zhì)來研究任意n線性空間V的性質(zhì)。同時對維數(shù)與基概念的把握也是我們后面學(xué)習(xí)線性空間的同構(gòu)、線性變換、歐氏空 間的基礎(chǔ)。但是，鑒于它是線性空間的一個基本概念，多數(shù)教科書對于該部分的處理往 往是泛泛而談，比如文獻(xiàn)1P頌例3更是一筆帶過，這對學(xué)生深入理解相關(guān)概念造成了 一定的障礙。雖然它的求法沒有統(tǒng)一的方法，但卻有著一致的

2、要求，即要符合定義。本 文計劃從以下兩方面對維數(shù)與基的求法做進(jìn)一步的歸納和總結(jié)，同時也是對高等代數(shù) 尸頌例3的補(bǔ)充說明，希望對初學(xué)者認(rèn)識線性空間以及后續(xù)的學(xué)習(xí)有一定的幫助。一、數(shù)域p上的線性空間v數(shù)域P的作用和角色凡是涉及數(shù)與空間中向量(取自集合V中的元素)的乘積，即通常所說的數(shù)量乘法， 其中的數(shù)都是取自數(shù)域P。例如：線性變換、同構(gòu)定義中的第二條保持?jǐn)?shù)量乘法，判別 向量的線性相關(guān)性等這些問題都是依賴數(shù)域P的。同一線性空間V指定數(shù)域的不同，通 常對于我們的結(jié)果也會造成很大差別。數(shù)域P對線性空間V的線性變換判別的影響例1：把復(fù)數(shù)域看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，a&=E解：舉反例如下，系數(shù)k取自復(fù)數(shù)域k

3、= i，A(ka) = A(i(a + bi) = A(-b+ai)=-b 一 ai，而 kA (a) = iA (a + bi) = i (a - bi) = b + ai，顯然 A( ka)女 kA(a)，故變換 A 不 是線性的。例2：把復(fù)數(shù)域看作實(shí)數(shù)域上的線性空間，A&=&解：系數(shù)k 取自實(shí)數(shù)域k e R，A(ka) = A(k(a + bi) = A(ka + kbi) = ka 一 kbi， kA (a) = kA(a + bi) = k (a - bi) = ka - kbi，容易驗(yàn)證A也保持向量的加法，故A是線 性的?？梢?，同一線性空間的同一變換在不同數(shù)域上有些是線性的，有些不

4、是線性的。數(shù)域P對線性變換特征值及矩陣可否對角化的影響文獻(xiàn)1中關(guān)于線性變換特征值的定義是要求符合等式A& =氣&中的人0是取自線性 空間V所依賴的數(shù)域P的，也就是說線性空間V的線性變換特征值的求解范圍數(shù)域P。 進(jìn)而，根據(jù)同一線性變換在不同基下矩陣相似的性質(zhì)將任一矩陣對角化的時候，也就會 產(chǎn)生不同的結(jié)果。02 -1 一 例3：線性變換A在某一組基下的矩陣為A = -1 0 -1，易知它的特征多項_-1 -1 0 _式是人3-1，那么它在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上的解的情況是不一樣的，A在實(shí)數(shù)域上的特征 值為1 = 1，而A在復(fù)數(shù)域上的特征值為氣=1氣=-1 投，氣=-1。所以，矩陣A在實(shí)數(shù)域上是無法相似于

5、一個對角矩陣的，而在復(fù)數(shù)域上可以。數(shù)域P對一向量組線性相關(guān)性判別的影響一般我們判定一組向量氣，a2，.，a“的線性相關(guān)性，是根據(jù)向量方程ka + k a + . + k a = 0的系數(shù)是否是全為零來判定的。而k，k，k應(yīng)該是在某112 2n n12n一個特定數(shù)域內(nèi)來求解的。比如在維數(shù)確定的問題上，我們通常的做法是這樣的：先取 一個非零向量，在此基礎(chǔ)上再添加非零向量進(jìn)行擴(kuò)充，然后判斷所得向量組是否線性無 關(guān)，進(jìn)而求得線性空間中的一極大無關(guān)組來確定維數(shù)。例4：分別在復(fù)數(shù)域上和實(shí)數(shù)域上考慮，任意兩個非零復(fù)數(shù)a +貞和c+ di的線性相 關(guān)性，當(dāng)然這里的數(shù)組(s b)與(c d)是不能對應(yīng)成比例的解

6、：在復(fù)數(shù)域上求解向量方程k(a + bi) + (c + di) = 0，可以取k=-1，=，所以在復(fù)數(shù)域上兩個非零復(fù)數(shù)a + bi和c + di是線性相關(guān)的。2 c + di而在實(shí)數(shù)域上求解的話，只能求得k 1 = k 2 = 0，所以在實(shí)數(shù)域上兩個非零復(fù)數(shù)a + bi 和c + di是線性無關(guān)的。同理，如果再任意添加非零向量。+ fi則可判斷必然線性相關(guān)?？梢姡瑥?fù)數(shù)域在復(fù)數(shù)域上考慮極大線性無關(guān)組是任意非零復(fù)數(shù)a + bi，而在實(shí)數(shù)域 上考慮極大線性無關(guān)組則是任意兩個非零復(fù)數(shù)a + bi和c + di。綜上所述，在處理與線性空間有關(guān)的問題時，涉及到數(shù)乘向量的運(yùn)算的時候，其中 數(shù)的范圍均不能離

7、開線性空間依賴的數(shù)域P，而這一點(diǎn)也正是從線性空間的定義中來。二、線性空間V的基該如何確定？基是不唯一的。根據(jù)基的定義，只要是線性空間V中的極大線性無關(guān)向量組都可以作為V的一組 基。但是，為了用坐標(biāo)(n維向量)表示向量的方便，基的選取要盡量簡單，但都要符 合這一基線性無關(guān)的基本要求。如何確定？在線性空間V中任取一向量a，將其表成線性空間V一線性無關(guān)向量組的線性組合 的形式，必要的話需說明向量組是線性無關(guān)的。這一線性無關(guān)向量組就是我們要找的基。例5：求V1 = L(a1，a2)與V2 = L(p 1，p2)的交的基和維數(shù)。肩 a = (12,1,0)fp = (2,-1,0,1) TOC o 1-

8、5 h z 設(shè) 1， 1a = (-1，1,1,1)p = (1，-1,3,7)i 2i 2解：任取 a e V D V，則aw V，a = x a + x a，且 a e V，a = y p + y p，1211 12 221 12 2a = x a + x a = y p + y p，(注：此時a雖然已表成一線性組合的形式，但它僅僅1 12 21 12是在匕、匕中的表示，并非本題所求，即要在空間匕D匕中將a線性表出). x a + x a 一 y p 一 y p = 0，下求 x ,x ,y ,y221121212% 一 x 2一 2 = 02 x + x 一 y + y = 0 左力/口

9、 12 匕 2，解得(尤，x , y , y ) = (k廠4k,-3k,k)x + x一 3 y = 012122x2 -y1 _7y2 = 0 .a = k (a 1 - 4a 2) = k (3。1 + p 2) = k (5,-2,3,4)，故 V1 D V2 是一維的，基是(5,-2,3,4)。易知(5,-2,3,4)是非零向量，是線性無關(guān)的。例6：確定復(fù)數(shù)域作為復(fù)數(shù)域上的線性空間和實(shí)數(shù)域上的線性空間的維數(shù)和基解:可先用擴(kuò)充的方法尋求復(fù)數(shù)域上的極大無關(guān)向量組，進(jìn)而知道線性空間的維數(shù)。由上例3可知，復(fù)數(shù)域作為一個線性空間，在復(fù)數(shù)域上是一維的，而實(shí)數(shù)域上是二維的?，F(xiàn)任取一非零復(fù)數(shù)a + bi。在復(fù)數(shù)域上可線性的表示為a + bi = (a + bi)1，這時數(shù)1就是復(fù)數(shù)域線性空間的一組基；在實(shí)數(shù)域可線性的表示為a + bi = a 1 + b i，這時數(shù) 1與i就是復(fù)數(shù)域線性空間的一組基。線性空間作為高等代數(shù)一個重