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文檔簡介
1、線性空間維數(shù)與基的求法維數(shù)與基是線性空間V的一個基本屬性,它的確立對于我們認識線性空間有著很大 的作用。因為確定了維數(shù)和基以后n線性空間V上任意向量的坐標(即n元數(shù)組)也就 相應確定了,在學習了線性空間的同構的知識后會知道,任意n維線性空間V都與Pn同 構,這樣,我們可以通過Pn的性質來研究任意n線性空間V的性質。同時對維數(shù)與基概念的把握也是我們后面學習線性空間的同構、線性變換、歐氏空 間的基礎。但是,鑒于它是線性空間的一個基本概念,多數(shù)教科書對于該部分的處理往 往是泛泛而談,比如文獻1P頌例3更是一筆帶過,這對學生深入理解相關概念造成了 一定的障礙。雖然它的求法沒有統(tǒng)一的方法,但卻有著一致的
2、要求,即要符合定義。本 文計劃從以下兩方面對維數(shù)與基的求法做進一步的歸納和總結,同時也是對高等代數(shù) 尸頌例3的補充說明,希望對初學者認識線性空間以及后續(xù)的學習有一定的幫助。一、數(shù)域p上的線性空間v數(shù)域P的作用和角色凡是涉及數(shù)與空間中向量(取自集合V中的元素)的乘積,即通常所說的數(shù)量乘法, 其中的數(shù)都是取自數(shù)域P。例如:線性變換、同構定義中的第二條保持數(shù)量乘法,判別 向量的線性相關性等這些問題都是依賴數(shù)域P的。同一線性空間V指定數(shù)域的不同,通 常對于我們的結果也會造成很大差別。數(shù)域P對線性空間V的線性變換判別的影響例1:把復數(shù)域看作復數(shù)域上的線性空間,a&=E解:舉反例如下,系數(shù)k取自復數(shù)域k
3、= i,A(ka) = A(i(a + bi) = A(-b+ai)=-b 一 ai,而 kA (a) = iA (a + bi) = i (a - bi) = b + ai,顯然 A( ka)女 kA(a),故變換 A 不 是線性的。例2:把復數(shù)域看作實數(shù)域上的線性空間,A&=&解:系數(shù)k 取自實數(shù)域k e R,A(ka) = A(k(a + bi) = A(ka + kbi) = ka 一 kbi, kA (a) = kA(a + bi) = k (a - bi) = ka - kbi,容易驗證A也保持向量的加法,故A是線 性的??梢?,同一線性空間的同一變換在不同數(shù)域上有些是線性的,有些不
4、是線性的。數(shù)域P對線性變換特征值及矩陣可否對角化的影響文獻1中關于線性變換特征值的定義是要求符合等式A& =氣&中的人0是取自線性 空間V所依賴的數(shù)域P的,也就是說線性空間V的線性變換特征值的求解范圍數(shù)域P。 進而,根據(jù)同一線性變換在不同基下矩陣相似的性質將任一矩陣對角化的時候,也就會 產生不同的結果。02 -1 一 例3:線性變換A在某一組基下的矩陣為A = -1 0 -1,易知它的特征多項_-1 -1 0 _式是人3-1,那么它在實數(shù)域和復數(shù)域上的解的情況是不一樣的,A在實數(shù)域上的特征 值為1 = 1,而A在復數(shù)域上的特征值為氣=1氣=-1 投,氣=-1。所以,矩陣A在實數(shù)域上是無法相似于
5、一個對角矩陣的,而在復數(shù)域上可以。數(shù)域P對一向量組線性相關性判別的影響一般我們判定一組向量氣,a2,.,a“的線性相關性,是根據(jù)向量方程ka + k a + . + k a = 0的系數(shù)是否是全為零來判定的。而k,k,k應該是在某112 2n n12n一個特定數(shù)域內來求解的。比如在維數(shù)確定的問題上,我們通常的做法是這樣的:先取 一個非零向量,在此基礎上再添加非零向量進行擴充,然后判斷所得向量組是否線性無 關,進而求得線性空間中的一極大無關組來確定維數(shù)。例4:分別在復數(shù)域上和實數(shù)域上考慮,任意兩個非零復數(shù)a +貞和c+ di的線性相 關性,當然這里的數(shù)組(s b)與(c d)是不能對應成比例的解
6、:在復數(shù)域上求解向量方程k(a + bi) + (c + di) = 0,可以取k=-1,=,所以在復數(shù)域上兩個非零復數(shù)a + bi和c + di是線性相關的。2 c + di而在實數(shù)域上求解的話,只能求得k 1 = k 2 = 0,所以在實數(shù)域上兩個非零復數(shù)a + bi 和c + di是線性無關的。同理,如果再任意添加非零向量。+ fi則可判斷必然線性相關??梢?,復數(shù)域在復數(shù)域上考慮極大線性無關組是任意非零復數(shù)a + bi,而在實數(shù)域 上考慮極大線性無關組則是任意兩個非零復數(shù)a + bi和c + di。綜上所述,在處理與線性空間有關的問題時,涉及到數(shù)乘向量的運算的時候,其中 數(shù)的范圍均不能離
7、開線性空間依賴的數(shù)域P,而這一點也正是從線性空間的定義中來。二、線性空間V的基該如何確定?基是不唯一的。根據(jù)基的定義,只要是線性空間V中的極大線性無關向量組都可以作為V的一組 基。但是,為了用坐標(n維向量)表示向量的方便,基的選取要盡量簡單,但都要符 合這一基線性無關的基本要求。如何確定?在線性空間V中任取一向量a,將其表成線性空間V一線性無關向量組的線性組合 的形式,必要的話需說明向量組是線性無關的。這一線性無關向量組就是我們要找的基。例5:求V1 = L(a1,a2)與V2 = L(p 1,p2)的交的基和維數(shù)。肩 a = (12,1,0)fp = (2,-1,0,1) TOC o 1-
8、5 h z 設 1, 1a = (-1,1,1,1)p = (1,-1,3,7)i 2i 2解:任取 a e V D V,則aw V,a = x a + x a,且 a e V,a = y p + y p,1211 12 221 12 2a = x a + x a = y p + y p,(注:此時a雖然已表成一線性組合的形式,但它僅僅1 12 21 12是在匕、匕中的表示,并非本題所求,即要在空間匕D匕中將a線性表出). x a + x a 一 y p 一 y p = 0,下求 x ,x ,y ,y221121212% 一 x 2一 2 = 02 x + x 一 y + y = 0 左力/口
9、 12 匕 2,解得(尤,x , y , y ) = (k廠4k,-3k,k)x + x一 3 y = 012122x2 -y1 _7y2 = 0 .a = k (a 1 - 4a 2) = k (3。1 + p 2) = k (5,-2,3,4),故 V1 D V2 是一維的,基是(5,-2,3,4)。易知(5,-2,3,4)是非零向量,是線性無關的。例6:確定復數(shù)域作為復數(shù)域上的線性空間和實數(shù)域上的線性空間的維數(shù)和基解:可先用擴充的方法尋求復數(shù)域上的極大無關向量組,進而知道線性空間的維數(shù)。由上例3可知,復數(shù)域作為一個線性空間,在復數(shù)域上是一維的,而實數(shù)域上是二維的?,F(xiàn)任取一非零復數(shù)a + bi。在復數(shù)域上可線性的表示為a + bi = (a + bi)1,這時數(shù)1就是復數(shù)域線性空間的一組基;在實數(shù)域可線性的表示為a + bi = a 1 + b i,這時數(shù) 1與i就是復數(shù)域線性空間的一組基。線性空間作為高等代數(shù)一個重
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