多元正態(tài)總體均值向量與協(xié)差陣的假設檢驗

1、本資料來源第三章 多元正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的假設檢驗 3.1 均值向量的檢驗 3.2 協(xié)差陣的檢驗 3.3 附注本章學習目標熟練掌握多元正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的假設檢驗的基本思想、基本步驟以及統(tǒng)計量的選取。掌握 Hotelling 分布和 Wilks 分布的定義。會運用假設檢驗的方法解決實際的問題。假設檢驗的步驟第一步：提出待檢驗的假設 和 ； 第二步：給出檢驗的統(tǒng)計量及它服從的分布；第三步：給定檢驗水平 ，查統(tǒng)計量的分布 表，確定臨界值 ，從而得到否定域；第四步：根據(jù)樣本觀測值計算出統(tǒng)計量的值，看 是否落入否定域中，以便對待判假設檢驗做出決策。 3.1 均值向量的檢驗Hotelling

2、 分布均值向量的檢驗單個正態(tài)總體均值向量的檢驗 協(xié)差陣已知時的檢驗 協(xié)差陣未知時的檢驗兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗 協(xié)差陣相等時 協(xié)差陣不等時多個正態(tài)總體均值向量的檢驗 3.1 均值向量的檢驗 1 Hotelling 分布 定義：設 則統(tǒng)計量 的分布為非中心Hotelling 分布，記為 當 ，稱 服從（中心）Hotelling 分布，記為 。 （這個統(tǒng)計量的分布首先由 Harold Hotelling 提出來的，我國著名統(tǒng)計學家許寶騄先生在1938年用不同的方法也導出了此分布的密度函數(shù)） 在一元統(tǒng)計中，若 來自總體 的樣本，則統(tǒng)計量： 其中 顯然， 與上面給出 的統(tǒng)計量形式類似。 分布是一元統(tǒng)

3、計中 分布的推廣。 基本性質(zhì)： 定理 若令 ，則 2 均值向量的檢驗 設 元正態(tài)總體 ，從總體中抽取容量為 的樣本 已知時均值向量的檢驗 檢驗統(tǒng)計量： 給定檢驗水平 ，查 分布表，可確定出臨界值 ，再用樣本值計算出 ，判斷是否接受 。 思考： 統(tǒng)計量的選取 ，聯(lián)系一元統(tǒng)計為什么取這樣的統(tǒng)計量；二這個統(tǒng)計量為什么服從這樣的分布 。 未知時均值向量的檢驗 檢驗統(tǒng)計量： 其中 給定檢驗水平 ，查 分布表，確定出臨界值 ,判斷是否接受原假設。 統(tǒng)計量的選取：當 未知時，用 的無偏估計 來代替，而樣本離差陣 Hotelling 3 協(xié)差陣相等時，兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗 （1）有共同協(xié)差陣時 檢驗統(tǒng)計

4、量： 給出檢驗水平 ，查表，確定出臨界值。 思考：這個統(tǒng)計量當 時是我們學習過的三大統(tǒng)計量中的哪一個？ 檢驗統(tǒng)計量： 其中： 給定檢驗水平，做出判斷 下述假設檢驗統(tǒng)計量的選取和前面的思路是一樣的，只給出統(tǒng)計量和分布。 4 協(xié)差陣不等時，兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗 分兩種情況： 令檢驗統(tǒng)計量： ，不妨假設 令檢驗統(tǒng)計量： 5 多個正態(tài)總體均值向量的檢驗復習一元方差分析Wilks 分布多個正態(tài)總體均值向量的檢驗 5 多個正態(tài)總體均值向量的檢驗 復習一元方差分析（單因素方差分析） 多元方差分析是一元方差分析的推廣 ，先復習一元方差分析。 Wilks分布 在一元總體中，方差是刻劃隨機變量分散程度的一個

5、重要特征，而方差概念在多變量情況下變?yōu)閰f(xié)差陣。使用一個數(shù)量指標來反映協(xié)差陣所體現(xiàn)的分散程度的方法很多，我們用行列式這種方法。 定義 1 若 ，則稱協(xié)差陣的行列式 為 的廣義方差。稱 為樣本廣義方差。其中 。 定義 2 若 且 和 相互獨立，則稱 為Wilks 統(tǒng)計量， 的分布稱為Wilks 分布，其中 為自由度 在實際應用中，經(jīng)常把 統(tǒng)計量化為 統(tǒng)計量進而化為 統(tǒng)計量，利用 統(tǒng)計量來解決多元統(tǒng)計分析中有關檢驗問題。 得到下面的關系式： 對一些特殊的 統(tǒng)計量可以化為 統(tǒng)計量，而當 ，可用 統(tǒng)計量或 統(tǒng)計量來近似表示。 多個正態(tài)總體均值向量檢驗 給定檢驗水平,查 Wilks 分布表，確定臨界值，作出判斷。 當查 Wilks 分布表不方便時，可用的 或 來近似。 想一想：Wilks分布與 ， 的關系。 3.2 協(xié)差陣的檢驗 一個正態(tài)總體協(xié)差陣檢驗 多個協(xié)差陣相等檢驗 1 一個正態(tài)總體協(xié)差陣檢驗 2. 多個協(xié)差陣相等檢驗 例 1 人的出汗多少與人體內(nèi)鈉和鉀的含量有一定的關系。今測20名健康成年女性的出汗多少 其數(shù)據(jù)如下