線性空間線性空間的定義及性質(zhì)知識預(yù)備集合籠統(tǒng)的說

1、第一講線性空間一、 線性空間的定義及性質(zhì)知識預(yù)備集合：籠統(tǒng)的說是指一些事物（或者對象）組成的整體。集合的表示：枚舉、表達式集合的運算：并（I），交（，|）另外，集合的“和”（+）:并不是嚴格意義上集合的運算，因為 它限定了集合中元素須有可加性。數(shù)域：一種數(shù)集，對四則運算封閉（除數(shù)不為零）。比如有理 數(shù)域、實數(shù)域（R）和復(fù)數(shù)域（C）。實數(shù)域和復(fù)數(shù)域是工程上較常用 的兩個數(shù)域。線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是學習現(xiàn)代矩陣論的 重要基礎(chǔ)。1 .線性空間的定義：設(shè)V是一個非空集合，其元素用X, 7,z等表示；K是一個數(shù)域， 其元素用k,l,m等表示。如果V滿足如下8條性質(zhì)，分兩類:（I）在V中

2、定義一個“加法”運算，即當x, y g V時，有唯一的和 x + y g V （封閉性），且加法運算滿足下列性質(zhì)：（1）結(jié)合律 x + （y + z） = （x + y） + z ；（2）交換律 x + y = y + x ；（3）零元律 存在零元素O，使x + O = x ；（4）負元律 對于任一元素x e V，存在一元素y e V，使x + y = O， 且稱y為x的負元素，記為（-x）。則有x + （-x） = 0。（II）在V中定義一個“數(shù)乘”運算，即當x e V,k e K時，有唯一 的kx e V （封閉性），且數(shù)乘運算滿足下列性質(zhì)：（5） 數(shù)因子分配律k（x + y） = kx

3、+ ky ；（6） 分配律（k +1）x = kx + lx ；（7） 結(jié)合律k（lx） = （kl）x ；（8） 恒等律1 x = x ；則稱V為數(shù)域K上的線性空間。注意以下幾點：1）線性空間是基于一定數(shù)域來的。同一個集合，對于不同數(shù)域， 就可能構(gòu)成不同的線性空間，甚至對有的數(shù)域能構(gòu)成線性空間，而對 其他數(shù)域不能構(gòu)成線性空間。2）兩種運算、八條性質(zhì)。數(shù)域K中的運算是具體的四則運算， 而V中所定義的加法運算和數(shù)乘運算則是抽象的、形式的。3）除了兩種運算和八條性質(zhì)外，還應(yīng)注意唯一性、封閉性是否 滿足。當數(shù)域K為實數(shù)域時，V就稱為實線性空間；K為復(fù)數(shù)域，V 就稱為復(fù)線性空間。例1設(shè)R+=全體正實數(shù)

4、，其“加法”及“數(shù)乘”運算定義為xEy = xy ，k x = xk證明：R是實數(shù)域R上的線性空間。證明首先需要證明兩種運算的唯一性和封閉性唯一性和封閉性唯一性顯然若x 0,y 0, k e R，則有x 田y = xy e R +，k。x = xk e R + 封閉性得證。八條性質(zhì)（1）xEE （y EEz） = x （yz） = （xy） z = （x 田y）田 z（2）x 田y = xy = yx = yEx（3） 1 是零兀素xEE 1 = x -1 = x xEEO = x T xO = x T O = 1（4） 1x是 x 的負元素x 田 1x = x . 1x = 1x + y =

5、 O（5） k。（xEEy） = （xy）k =xkyk = （k。x） （k。y）數(shù)因子分配律（6）（k +1）。 x = xk+1 = xkxi = （k。x）EE（l。x）分配律（7） k。（l。x） = （xi）k = xki = （kl）。x結(jié)合律（8）1。x = x 1 = x恒等律由此可證，R +是實數(shù)域R上的線性空間。2 .定理：線性空間具有如下性質(zhì)（1）零元素是唯一的，任一元素的負元素也是唯一的。（2）如下恒等式成立：0 x = O，（-1）x = （-x）。證明（1）采用反證法：零元素是唯一的。設(shè)存在兩個零元素O1和O2，則由于O1和O均為零元素，按零元律有2交換律O +

6、O 2 = O1= O + O = O 2所以O(shè)1 = O2即O和O相同，與假設(shè)相矛盾，故只有一個零元素。12任一元素的負元素也是唯一的。假設(shè)Vx e V，存在兩個負元素j和z，則根據(jù)負元律有x + y = O = x + zy = y + O = y + (x + z) = (y + x) + z = O + z = z零元律結(jié)合律零元律即y和z相同，故負元素唯一。(2)：設(shè) w = 0 x，貝U x + w = 1 x + 0 x = (1 + 0)x = x，故 w = O。恒等律：設(shè) w = (-1)x，則 x + w = 1 x + (-1)x = 0 x = O，故 w = -x。

7、3.線性相關(guān)性線性空間中相關(guān)性概念與線性代數(shù)中向量組線性相關(guān)性概念類似。線性組合： Vx , x ,x e V, c , c ,c e K12 m12 mcx + c x + c x =Z cx112 2m mi ii=1稱為元素組x 1,x2 .,xm的一個線性組合。線性表示：V中某個元素x可表示為其中某個元素組的線性組合，則稱x可由該元素組線性表示。線性相關(guān)性：如果存在一組不全為零的數(shù)C1, c2 ., cm K，使得對 于元素x 1, X2,x G V有Y c X = 0 i i i=1則稱元素組X 1,X2 .,xm線性相關(guān)，否則稱其線性無關(guān)。線性相關(guān)性概 念是個非常重要的概念，有了線

8、性相關(guān)性才有下面的線性空間的維 數(shù)、基和坐標。4 .線性空間的維數(shù)定義：線性空間V中最大線性無關(guān)元素組所含元素個數(shù)稱為V的維 數(shù)，記為dim V。本課程只考慮有限維情況，對于無限維情況不涉及。例2.全體mXn階實矩陣的集合構(gòu)成一個實線性空間（對于矩陣加 法和數(shù)對矩陣的數(shù)乘運算），求其維數(shù)。解一個直接的方法就是找一個最大線性無關(guān)組，其元素盡可能簡 單。令氣為這樣的一個mXn階矩陣，其（i,j）元素為1，其余元素為 零。顯然，這樣的矩陣共有mXn個，構(gòu)成一個具有mXn個元素的 線性無關(guān)元素組E 1I,E 12,E 1 ;E21,E22 ,E2 ；.；E 1,E 2,E 。另 一方面，還需說明元素個

9、數(shù)最大。對于任意的A = （%）噸，都可由以 上元素組線性表示，A = a E t a E - A = 0i,j即Eli = 1,2,m;j = 1,2.,mJ構(gòu)成了最大線性無關(guān)元素組，所以該空間 的維數(shù)為mXno二、線性空間的基與坐標基的定義：設(shè)V是數(shù)域k上的線性空間，七,七.,七（r 1）是屬于V的r個任意元素，如果它滿足（1）X1，七,七線性無關(guān)；（2）V中任一向量x均可由七,x2,七線性表示。則稱X ,X,X為V的一個基，并稱X ,X,X為該基的基元素。12 r12 r基正是V中最大線性無關(guān)元素組；V的維數(shù)正是基中所含元素的個數(shù)?；遣晃ㄒ坏?，但不同的基所含元素個數(shù)相等。例3考慮全體復(fù)

10、數(shù)所形成的集合。如果K = C （復(fù)數(shù)域），則該集 合對復(fù)數(shù)加法和復(fù)數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間，其基可取為1，空 間維數(shù)為1;如果取K = R （實數(shù)域），則該集合對復(fù)數(shù)加法及 實數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘構(gòu)成線性空間，其基可取為h,i，空間維數(shù) 為2o數(shù)域K兩種運算基一般元素空間類 型維數(shù)復(fù)數(shù)域C(1)復(fù)數(shù)加法；(2)復(fù)數(shù) 對復(fù)數(shù)的數(shù) 乘4c = c 1復(fù)線性 空間1實數(shù)域R(1)復(fù)數(shù)加法；(2)實數(shù) 對復(fù)數(shù)的數(shù) 乘h, ic = a -1 + b - i實線性 空間22.坐標的定義：稱線性空間Vn的一個基七,七. , X為Vn的一個坐標系，Vx e Vn，它在該基下的線性表示為： & x (& e K,x

11、e Vn,i = 1,2,n)i i iii=1則稱& , & . , &為X在該坐標系中的坐標或分量，記為(& , g . , g)T12 n12 n討論：(1) 一般來說，線性空間及其元素是抽象的對象，不同空間的 元素完全可以具有千差萬別的類別及性質(zhì)。但坐標表示卻把它 們統(tǒng)一了起來，坐標表示把這種差別留給了基和基元素，由坐 標所組成的新向量僅由數(shù)域中的數(shù)表示出來。(2)更進一步，原本抽象的“加法”及“數(shù)乘”經(jīng)過坐標表示 就演化為向量加法及數(shù)對向量的數(shù)乘。x + y = (g x +g x + + g x ) + (n x +n x + +n x )111 2 2n n 11 2 2n n=

12、(g 1 +n1) x1 +(g2 +n2) x 2 + +(g n +n n )xn正對應(yīng)尤-(勺良 ，勺) t x+y = (& +n，& +n ，& +n )y -(七,七，七)1122 n n2。kx - k(女 + 女 + . + 6) - (kg 1)x 1 + (k2)x2 + + (kg )xt (kgkg2 .,kgn)正對應(yīng) x = (g ,g ,g ) t kx = (kg , kg ,kg )12 n123顯然，同一元素在不同坐標系中的坐標是不同的。后面我們還要研究這一變換關(guān)系。三、基變換與坐標變換基是不唯一的，因此，需要研究基改變時坐標變換的規(guī)律。設(shè)x ,x .,x是心的舊基，y ,y .,y是Vn的新基，由于兩者都是 12 n12 n基，所以可以相互線性表示y - c xi-1(i -1,2 ,n)y,y ,y J- x，x ,x12 n12 nc11c21c12c22c1nc2nc n1c n2cnn其中C稱為過渡矩陣，上式就給出了基變換關(guān)系，可以證明，C是可 逆的。設(shè)x e Vn，它在舊基下的線性表示