數(shù)學(xué)本質(zhì)概念-機(jī)率

1、數(shù)學(xué)本質(zhì)概念機(jī)率 林奕爵、陳雯津1壹、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)一、機(jī)率的起源 未完成的賭金分配 法國貴族梅雷（Mere）與賭友投擲骰子，各押32個(gè)金幣為賭注，並約定好如果誰先贏得3局，就可以把賭金全部拿走。在梅雷贏得2局，賭友僅贏得1局時(shí)，梅雷突然有事，不得不中斷賭局。致而產(chǎn)生未完成的賭金分配的問題。一、機(jī)率的起源 賭友：我再贏2局或梅雷再贏1局，即可把賭金 拿走，所以，我有權(quán)拿走全部賭金的 1/3，而梅雷可拿走全部賭金的2/3。梅雷：即使下一局賭友贏了，也只是處於平 手狀況，因而我有權(quán)拿走全部賭金的 1/2，而在下下一局雙方皆有一半贏的 機(jī)會(huì)，所以，我又可以再拿走剩下賭金 的1/2。所以賭友可以拿走全部賭金

2、的 1/4，而我可拿走全部賭金的3/4。 一、機(jī)率的起源二、機(jī)率的定義（一）古典機(jī)率（或稱理論機(jī)率） 基本假設(shè)：對(duì)於一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的所有可 能出現(xiàn)結(jié)果，在沒有理由來預(yù)期或偏好 某一結(jié)果時(shí)，每一個(gè)結(jié)果的地位都相同， 皆應(yīng)視為機(jī)會(huì)均等（equi-probable）。 （一）古典機(jī)率（或稱理論機(jī)率） 定義：若一試驗(yàn)的可能結(jié)果為n個(gè)具有相等可能性的事件，而其中m個(gè)是有利於事件A的發(fā)生，則事件A發(fā)生的機(jī)率P（A）為 m （ 利於事件A發(fā)生的事件數(shù)目）P（A） n （可能事件的數(shù)目） （一）古典機(jī)率（或稱理論機(jī)率） 性質(zhì)：1、絕不可能發(fā)生的事件，其機(jī)率可表示成 P（） 0。2.、一定發(fā)生的必然事件S，其機(jī)率

3、可表示成P （S） 1。3、若A為S的一事件，則P（A）大於等於0， 小於等於1。4、當(dāng)事件S之中僅有一個(gè)能成為試驗(yàn)的結(jié)果時(shí)， 則稱這些事件是互斥或矛盾的，同時(shí)這些 事件又形成事件S的一個(gè)完整體系。 5、餘事件的機(jī)率：若AS為一件事，則P （A）1P（A）。（一）古典機(jī)率（或稱理論機(jī)率） 常用的演算規(guī)則： 1、加法：在一個(gè)試驗(yàn)中，若A、B兩事件互斥，則至少有一個(gè)事件A或B發(fā)生的機(jī)率為P（AB）P（A）P（B）。2、乘法：在一個(gè)試驗(yàn)中，若A、B兩事件互相獨(dú)立，則事件A與B同時(shí)發(fā)生的機(jī)率為P（AB）P（A）P（B）。（一）古典機(jī)率（或稱理論機(jī)率） 3、除法：在一個(gè)試驗(yàn)中，若P（B）0，則在B已發(fā)生

4、的假設(shè)下，重估A 發(fā)生的機(jī)率為 P（A B） P（A B） P（B） 這叫做A對(duì)B的條件機(jī)率（Conditional probability）。4、0或1之機(jī)率：絕不發(fā)生的不可能事件的機(jī)率為0，一定發(fā)生的必然事件的機(jī)率為1。 （一）古典機(jī)率（或稱理論機(jī)率） 舉例：投擲一顆公正的骰子，因?yàn)轺蛔佑辛?，所以?種互斥事件，而出現(xiàn)奇數(shù)的機(jī)率如下：1，2，3，4，5，6（為樣本空間） 3 1 P（A） 6 2註：樣本空間：是隨機(jī)試驗(yàn)或隨機(jī)觀察行動(dòng)後所有可能結(jié)果（outcome）之集合。（二）經(jīng)驗(yàn)或次數(shù)機(jī)率隨機(jī)結(jié)果的長期行為，著重於重複實(shí)驗(yàn)作觀測(cè)的經(jīng)驗(yàn)，是以頻率說（Frequency theory）來解

5、釋機(jī)率。此乃為了彌補(bǔ)古典機(jī)率不夠一般性的缺點(diǎn)，由於古典機(jī)率無法用來描述一個(gè)有無限可能性結(jié)果的實(shí)驗(yàn)。 （二）經(jīng)驗(yàn)或次數(shù)機(jī)率定義：一個(gè)實(shí)驗(yàn)試驗(yàn)n次之後，出現(xiàn)A事件的機(jī)率可表示成n（A），當(dāng)n（A）愈大時(shí)，其出現(xiàn)的相對(duì)頻率便漸趨穩(wěn)定，而實(shí)驗(yàn)次數(shù)趨近於無限時(shí)，事件A所發(fā)生的極限值即被定義為該事件所發(fā)生的機(jī)率。舉例：投擲一枚錢幣，樣本空間有正反兩面。假設(shè)我們投擲10000次，其正反兩面出現(xiàn)的機(jī)會(huì)將會(huì)比較接近1：1，所以我們可以說：我們投擲一枚錢幣，其出現(xiàn)正面和反面的機(jī)率皆為1/2（此即為大數(shù)法則的概念）。 （三）主觀或直覺機(jī)率基本假設(shè)：每一個(gè)人對(duì)任何事件都持有信仰度。 定義：一個(gè)人對(duì)一個(gè)事件信仰度的表白

6、。欲知 一個(gè)人對(duì)一個(gè)事件所持的機(jī)率最好是考察他的 行為，尤其是他在打賭行為中願(yuàn)冒的風(fēng)險(xiǎn)。舉例：預(yù)測(cè)明天下雨的機(jī)率為85%；預(yù)測(cè)明天通過檢測(cè)的機(jī)率是60%等。貳、認(rèn)知結(jié)構(gòu)關(guān)於兒童的機(jī)率認(rèn)知發(fā)展 一、Piaget & Inhelder理論 （一）第一階段：兒童無法區(qū)分事件之 必然性和可能性。1、常以所觀察的多量作為預(yù)測(cè)判斷而完 全忽略了群體的比值。 2、不具有操作可逆性的特徵。3、沒有隨機(jī)的概念。 貳、認(rèn)知結(jié)構(gòu)關(guān)於兒童的機(jī)率認(rèn)知發(fā)展一、Piaget & Inhelder理論（二）第二階段：已能認(rèn)清事件之必然 性和可能性，但仍無法以有系統(tǒng) 的方式去產(chǎn)生一個(gè)有系列性的機(jī) 率概念。 （三）第三階段：開始

7、發(fā)展組合分析才 能，並瞭解相對(duì)次數(shù)的極限機(jī)率 。貳、認(rèn)知結(jié)構(gòu)關(guān)於兒童的機(jī)率認(rèn)知發(fā)展二、Jones、Langrall、Thornton、Mogill & Tarr的機(jī)率思考層次架構(gòu) 層次一：主觀的思考層次。層次二：過渡的層次。學(xué)童思考是界於 主觀的和質(zhì)樸的量化思考之間。層次三：非正式量化的層次。層次四：學(xué)生能以分?jǐn)?shù)表示機(jī)率值，並 完全使用最位移策略去描 述結(jié)果。 貳、認(rèn)知結(jié)構(gòu)關(guān)於兒童的機(jī)率認(rèn)知發(fā)展三、Fischbein的兒童機(jī)率直觀概念理論（一）一種直觀是一種認(rèn)知的信仰。 （二）直觀(intuition) 是一種每個(gè)人自然而發(fā)的、幾乎是本能的信念，不證自明。 （三）直觀可分為原始直觀和二階直觀。

8、原始直觀教學(xué)尚未介入前所具有的觀念信仰；二階直觀經(jīng)過被建構(gòu)我們所接受且能應(yīng)用 的認(rèn)知信仰。 參、綱要結(jié)構(gòu) 各時(shí)期 版本項(xiàng)目民國64年課程標(biāo)準(zhǔn)民國82年課程標(biāo)準(zhǔn)民國89年九年一貫課程民國92年九年一貫課程綱要 教材主題統(tǒng)計(jì)與圖表統(tǒng)計(jì)圖表統(tǒng)計(jì)與機(jī)率統(tǒng)計(jì)與機(jī)率 適用學(xué)年級(jí)別第六學(xué)年度 第六學(xué)年度第三學(xué)習(xí)階段（國小六年級(jí)國中一年級(jí)） （下延至九年級(jí)） 教材綱要能力指標(biāo) 機(jī)率的初步概念。從遊戲中了解機(jī)率的初步概念：（1）部份與全 體（2）大數(shù)法則D-3-3能運(yùn)用生活經(jīng)驗(yàn)來瞭解機(jī)會(huì)。 無國小階段機(jī)率教材發(fā)展表參、綱要結(jié)構(gòu) 第四階段能力指標(biāo)統(tǒng)計(jì)與機(jī)率D-4-04 能在具體情境中認(rèn)識(shí)機(jī)率的概念。分年細(xì)目9-d

9、-09 能以具體情境介紹機(jī)率的概念。9-d-10 能進(jìn)行簡單的實(shí)驗(yàn)以了解抽象的 不確定性、隨機(jī)性質(zhì)等初步概念。肆、迷思概念 一、賭徒錯(cuò)覺問題。二、量大機(jī)率就大的概念。例題：有甲乙兩抽獎(jiǎng)箱，甲袋內(nèi)有1張白色籤和1張黑色籤；乙袋有50張白色籤和50張黑色籤，請(qǐng)問要抽哪一袋抽中白色籤機(jī)會(huì)比較大？ 迷思概念：有些孩子以為籤多重抽機(jī)會(huì)較多，卻忽略了總共簽數(shù)與白籤的比例關(guān)係。策略：比值概念在機(jī)率概念理解上是相當(dāng)重要。 肆、迷思概念三、不可能、可能、必然事件的概念。丟一公平骰子，丟出後點(diǎn)數(shù)大於7的機(jī)率有多少？ 那點(diǎn)數(shù)小於7之機(jī)率又是多少？ 伍、教學(xué)策略 一、透過實(shí)際的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)手 來操作；過程中教師以質(zhì)問代替講 述，以釐清學(xué)生概念。 二、同學(xué)透過合作學(xué)習(xí)，協(xié)助檢驗(yàn)自己 機(jī)率的基本信念。三、藉由機(jī)率遊戲?qū)W習(xí)：猜拳、擲骰子 和抽球 。四、透過引導(dǎo)學(xué)生繪出樹狀圖，列出可 能發(fā)生的情況 。陸、範(fàn)例一、小丸子說長大結(jié)婚後總共要生兩個(gè)孩子，請(qǐng)問兩胎都是男孩子的機(jī)率為？ 1、二分之一 2、四分之一陸、範(fàn)例二、小花的爸爸都會(huì)買每期的樂透採，但到目前從來沒有中獎(jiǎng)過，今天他說我在已經(jīng)沒中獎(jiǎng)那麼多次了，所