人教版（B版2019課標）高中數(shù)學必修二6.1.3向量的減法 課件

1、向量的減法1.相反向量定義：如果兩個向量大小相等，方向相反，那么稱這兩個向量是相反向量。性質(zhì)：（1）對于相反向量有：a+（-a）=0。（2）若a，b互為相反向量，則a=-b，a+b=0。（3）零向量的相反向量仍是零向量?！舅伎肌坑腥苏f：相反向量即方向相反的向量，定義中“大小相等”是多余的，對嗎？提示：不對，相反向量要從“?！迸c“方向”兩個方面去理解，不是僅方向相反，還必須大小相等。2.向量的減法（1）定義：平面上任意兩個向量a，b，如果向量x滿足b+x=a，則稱x為向量a，b的差，記作x=a-b。（2）作法：在平面內(nèi)任取一點O，作 =a， =b，則向量a-b= ，如圖所示。a-b可以表示為從向

2、量b的終點指向向量a的終點的向量。（3）向量減法的三角形法則：當向量a，b不共線時，向量a，b，a-b正好能構成一個三角形，因此求兩向量差的作圖方法也常稱為向量作差的三角形法則。（4）a-b=a+（-b）?！舅伎肌浚?）由向量減法作圖方法，求差的兩個向量的起點是怎樣的？差向量的方向如何？提示：求差的兩個向量是共起點的，差向量連接兩向量終點，方向指向被減向量。（2）由向量減法的定義，你認為向量的減法與加法有何聯(lián)系？提示：向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算。利用相反向量的定義， ，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法。【素養(yǎng)小測】1.思維辨析（對的打“”，錯的打“”）（1）兩向量首尾相連，和向量由第一個向量的始點

3、指向第二個向量的終點。（）（2）向量a-b當它們起點重合時可以看作從向量b的終點指向向量a的終點的向量。（）（3）相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量。（）（4）向量 與向量 是相反向量。（）【提示】（1）。由向量加法的三角形法則知正確。（2）。由向量減法法則知正確。（3）。由平行向量與相反向量的定義可知，相反向量必為平行向量，平行向量不一定是相反向量。（4）。向量 與向量 長度相等，方向相反。2.在ABC中，若 =a， =b，則 等于（）A.aB.a+bC.b-aD.a-b【解析】選D。 =a-b。3.設b是a的相反向量，則下列說法正確的有_。a與b的長度必相等；ab；a與b一定

4、不相等；a是b的相反向量。【解析】因為0的相反向量是0，故說法不正確。其他均正確。答案：類型一向量的減法【典例】1.（2019汕頭高一檢測）在ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點，則 等于（）2.如圖，已知向量a，b，c，求作a-b-c?！舅季S引】1.結合圖形，利用向量減法的三角形法則求解。2.先作a-b，再作（a-b）-c即可?！窘馕觥?.選D。如圖所示，2.如圖，以A為起點分別作向量 ，使 =a， =b。連接CB，得向量 ，再以點C為起點作向量 ，使 =c。連接DB，得向量 。則向量 即為所求作的向量a-b-c?！緝?nèi)化悟】（1）作向量減法時若所給向量不共起點，應如何解決？提示：

5、平移向量使它們共起點。（2）在本例2中能否先作向量b+c，再作a-（b+c）呢？提示：可以?！绢愵}通】1.作兩向量的差的步驟2.求兩個向量的減法的注意點可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+（-b）即可。向量減法的三角形法則對共線向量也適用?！玖暰毱啤肯铝杏嬎阏_的是（）【解析】選B。根據(jù)向量減法的三角形法則，顯然有【加練固】如圖所示，O是四邊形ABCD內(nèi)任一點，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a，b，c，d的方向（用箭頭表示），使a+b= ，c-d= ，并畫出b-c和a+d?！窘馕觥恳驗閍+b= ，c-d= ，所以a= ，b= ，c= ，d= 。如圖所示， 作平行四邊形

6、OBEC，平行四邊形ODFA。根據(jù)平行四邊形法則可得b-c= ，a+d= 。類型二向量的加減法運算【典例】1.（2019衡水高一檢測）下列各式：其中結果為零向量的個數(shù)是（）A.1個B.2個C.3個D.4個2.（2019臨沂高一檢測）設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外， 則| |=（）A.8B.4C.2D.1【思維引】利用三角形法則或平行四邊形法則求解。【解析】1.選D。 =0； =0； =0； =0。2.選C。由 可知， 垂直，故ABC為直角三角形，| |即斜邊BC的中線，所以| |=2?！緝?nèi)化悟】1.用起止點表示的幾個向量的和差化簡問題的常見形式有兩種：首尾相連且求和，起點相同且求差。

7、如果不滿足以上形式時應怎樣處理？提示：（1）使用交換律、結合律。（2）用相反向量進行轉(zhuǎn)化。（3）使用相等向量進行替換。2.平行四邊形ABCD中，| |與| |分別是指什么？提示： 分別是指兩條對角線的長?！绢愵}通】向量減法運算的常用方法【發(fā)散拓】已知向量a，b，那么|a|-|b|與|ab|及|a|+|b|三者具有什么樣的大小關系？【提示】它們之間的關系為|a|-|b|ab|a|+|b|。（1）當a，b有一個為零向量時，不等式顯然成立。（2）當a，b不共線時，作 =a， =b，則a+b= ，如圖（1）所示，根據(jù)三角形的性質(zhì)，有|a|-|b|a+b|a|+|b|。同理可證|a|-|b|a-b|b|

8、，作法同上，如圖（3）所示，此時|a+b|=|a|-|b|。綜上所述，得不等式|a|-|b|ab|a|+|b|。【延伸練】若| |=8，| |=5，則| |的取值范圍是_?！窘馕觥坑?及三角不等式，得 又因為 =8，所以3| |=| |13，即| |3，13。答案：3，13【習練破】化簡下列各式：【解析】（1）方法一：原式=方法二：原式=（2）方法一：原式=方法二：原式=【加練固】下列各式中不能化簡為 的是（）【解析】選D。選項A中， 選項B中， 選項C中，類型三向量加減運算幾何意義的應用角度1利用已知向量表示未知向量【典例】如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且 =

9、a， =b， =c，試用向量a，b，c表示向量【思維引】由平行四邊形的性質(zhì)可知 =c，由向量的減法可知： 由向量的加法可知【解析】因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以 =c， =b-a，故 =b-a+c?！舅仞B(yǎng)探】本例主要考查平面向量的加法、減法運算，利用已知向量表示未知向量，突出考查直觀想象的核心素養(yǎng)。本例中的條件“點B是該平行四邊形外一點”若換為“點B是該平行四邊形內(nèi)一點”，其他條件不變，其結論又如何呢？【解析】如圖，因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以 =c， =b-a， =b-a+c。角度2求解或證明幾何問題【典例】（2019臨沂高一檢測）已知非零向量a，b滿足|a|= +1，|b|=

10、 -1，且|a-b|=4，則|a+b|的值為_?！舅季S引】作出圖形，利用向量加減法的幾何意義求解?！窘馕觥咳鐖D，令 =a， =b，則| |=|a-b|。以OA與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則| |=|a+b|。由于（ +1）2+（ -1）2=42。 故 ，所以OAB是AOB為90的直角三角形，從而OAOB，所以平行四邊形OACB是矩形。根據(jù)矩形的對角線相等有 =4，即|a+b|=4。答案：4【內(nèi)化悟】|a|，|b|，|a-b|，|a+b|表示什么幾何圖形中的哪些幾何量？提示：平行四邊形的兩條鄰邊及其兩條對角線?！绢愵}通】1.解決用已知向量表示未知向量問題的思路應搞清楚圖形中的相等向量、相反

11、向量、平行向量以及構成三角形三向量之間的關系，確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道。2.利用向量加、減法求解或證明問題的一般步驟：（1）由題意作出相對應的幾何圖形，構造有關向量。（2）利用三角形法則和平行四邊形法則、對向量的加、減法進行運算。（3）構造三角形（一般是直角三角形），利用三角形的邊、角關系解題?！玖暰毱啤?.在菱形ABCD中，DAB=60，| |=2，則| |=_?！窘馕觥恳驗镈AB=60，AB=AD，所以ABD為等邊三角形。又因為| |=2，所以OB=1。在RtAOB中，所以答案：22.如圖，在ABC中，D，E分別為邊AC，BC上的任意一點，O為AE，BD的交點，已知 =a， =b， =c， =e，用a，b，c，e表示向量 。【解析】在OBE中，有 =e-c，在ABO中， =e-