機器人動力學(xué)牛頓歐拉方程剖析課件

1、3.6小節(jié)機器人的桿件的速度山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.6 機器人的桿件的速度基本思路： 已知基座速度和各關(guān)節(jié)的相對速度，從基座速度開始，一步一步遞推出末端執(zhí)行器的速度。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度 機器人桿件的速度包括線速度和角速度，下面介紹如何從i桿件的速度遞推計算i+1桿件的線速度和角速度。 如圖所示，設(shè)已知i桿件的速度為i和vi，i+1桿件繞Zi+1軸旋轉(zhuǎn)的角速度為 。 山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度 則：在i+1坐標系中表示的i+1桿件桿的角速度

2、為： 在i+1坐標系中表示的i+1坐標系原點的線速度為：在i+1中表示的i+1桿的角速度其中 是在i中表示的指向i+1原點的距離。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度例1、一兩桿關(guān)節(jié)機器人如圖所示，計算以關(guān)節(jié)速度為函數(shù)的手尖處的速度。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度解：1、建立坐標系，如圖： 2、求位姿矩陣：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度得：1桿在1中表示的速度山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速

3、度如果在基座坐標系中表示，僅需乘以R03。則：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度例2、試求例1中兩桿關(guān)節(jié)機器人的雅克比矩陣。解：由例1知：則：及山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度 雅克比矩陣的行數(shù)等于笛卡爾空間自由度，列數(shù)等于機器人的關(guān)節(jié)數(shù)。 同理，我們可以求相對基座坐標系的雅克比矩陣。 所以：10山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.4.3、機器人的桿件的速度 雅克比矩陣的逆為： 當手尖沿X方向以速度1m/s運動時，由雅克比逆矩陣可得： 當2=0時，上式分母為零，兩關(guān)節(jié)速度

4、將趨于無窮大，它對應(yīng)機器人的奇異位置。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02第4章 機器人操作動力學(xué)4.1、概述4.2、機器人的牛頓-歐拉動力學(xué)方程4.3、機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.1、概述為什么要研究機器人的動力學(xué)問題？ 1、為了運動桿件，我們必須加速或減速它們，機器人的運動是作用于關(guān)節(jié)上的力矩與其他力或力矩作用的結(jié)果。 2、力或力矩的作用將影響機器人的動態(tài)性能。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.1、概述機器人動力學(xué)研究內(nèi)容：正問題：已知作用在機器人機構(gòu)上的力和力矩，求機器人機構(gòu)各關(guān)節(jié)的位移、

5、速度、加速度，即：F=ma。反問題：已知機器人機構(gòu)各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求作用在各關(guān)節(jié)上的驅(qū)動力或驅(qū)動力矩，即：am=F 。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.1、概述機器人動力學(xué)研究方法：目標：根據(jù)機器人機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點、運動學(xué)和動力學(xué)原理，提出通用、快捷的建立動力學(xué)方程的方法。 數(shù)學(xué)工具：矢量方法、張量方法、旋量方法及矩陣方法等。 力學(xué)原理：動量矩定理、能量守恒定理、牛頓歐拉方程、達朗貝爾原理、虛功原理、拉格朗日方程、哈密爾頓原理、凱恩方程等。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.1、概述幾項假設(shè)： 1、構(gòu)成機器人的各桿件都是剛體，即不考慮桿件

6、的變形。 2、忽略各種間隙等因數(shù)的影響。 3、暫不考慮驅(qū)動系統(tǒng)的動力學(xué)。15山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機械人的牛頓歐拉方程 機器人動力學(xué)的特點： 1、串聯(lián)機器人由多個桿件經(jīng)關(guān)節(jié)軸串聯(lián)構(gòu)成，屬于多體動力學(xué)的研究范疇。 2、各桿件的速度、加速度是關(guān)節(jié)位置及時間的函數(shù)，隨機器人桿件構(gòu)形的不同而改變。 3、機器人動力學(xué)的計算復(fù)雜，多采用數(shù)值遞推的方法計算。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機械人的牛頓歐拉方程我們知道： 剛體運動 =質(zhì)心的平動 + 繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動其中： 質(zhì)心平動：用牛頓方程描述。 繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動：用歐拉方程定義。 它們都涉及到

7、質(zhì)量及其分布，我們先復(fù)習(xí)一下轉(zhuǎn)動慣量的計算。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機械人的牛頓歐拉方程 如圖所示，設(shè)剛體的質(zhì)量為 ，以質(zhì)心為原點的隨體坐標系 下的慣量矩陣 由六個量組成，表示為：一、 慣量矩陣（張量）圖3.1式中：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機械人的牛頓歐拉方程 慣量矩陣中的元素 稱為慣量矩(Mass moments of inertia)，而具有混合指標的元素稱為慣量積(Mass products of inertia)。 對于給定的物體，慣量積的值與建立的坐標系的位置及方向有關(guān)；如果我們選擇的坐標系合適，可使慣量積的

8、值為零。這樣的坐標系軸稱為主軸（Principle axes）,相應(yīng)的慣量稱為主慣量。事實上，主慣量是慣量矩陣的三個特征值。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機械人的牛頓歐拉方程平行軸定理（Parallel-axis theorem）: 已知相對于某一原點位于物體質(zhì)心坐標系C的慣量張量，坐標系A(chǔ)平行于坐標系C，則相對于A坐標系的慣量張量為：其中： 為質(zhì)心相對于A坐標系的坐標。20山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機械人的牛頓歐拉方程二、牛頓歐拉方程 我們假設(shè)機器人的每個桿件都為剛體，為了運動桿件，我們必須加速或減速它們，運動桿件所需要的力

9、或力矩是所需加速度和桿件質(zhì)量分布的函數(shù)；牛頓方程和用于轉(zhuǎn)動情況的歐拉方程一起，描述了機器人驅(qū)動力矩、負載力（力矩）、慣量和加速度之間的關(guān)系。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機械人的牛頓歐拉方程 我們先研究質(zhì)心的平動，如圖4.1所示，假設(shè)剛體的質(zhì)量為 ，質(zhì)心在C點，質(zhì)心處的位置矢量用 表示，則質(zhì)心處的加速度為 ；設(shè)剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度用 表示，繞質(zhì)心的角加速度為 ，根據(jù)牛頓方程可得作用在剛體質(zhì)心C處的力為：圖4.1山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機械人的牛頓歐拉方程 根據(jù)三維空間歐拉方程，作用在剛體上的力矩為： 圖4.1 以上兩式合稱

10、為牛頓歐拉方程。式中，M 為作用力對剛體質(zhì)心的矩， 為繞質(zhì)心的角速度和角加速度。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機械人的牛頓歐拉方程三、加速度計算1、線加速度 如圖所示，設(shè)坐標系i與i-1桿固聯(lián)，其原點加速度為ai-1,角速度為i-1;Oi+1隨桿件i相對i坐標系旋轉(zhuǎn)，相對轉(zhuǎn)速為 。P為i桿上任意一點。15山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機械人的牛頓歐拉方程 Pi點的相對速度和加速度為： Pi點的絕對加速度為：erk代入并化簡得：即：上述參數(shù)都是在基礎(chǔ)坐標系中表示的。26山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機

11、械人的牛頓歐拉方程 i+1坐標系原點的加速度為：設(shè)i桿件質(zhì)心為ci,則其加速度為：2、角加速度 i桿的角加速度為：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機械人的牛頓歐拉方程四、作用力和力矩 計算出每個桿件質(zhì)心的加速度后，我們可以應(yīng)用牛頓-歐拉方程來計算作用在每個桿件質(zhì)心的慣性力和慣性力矩。 根據(jù)牛頓-歐拉方程，有：28山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.2 機械人的牛頓歐拉方程圖 2 構(gòu)件受力圖 如圖2所示，將第i個構(gòu)件Li作為隔離體進行分析，作用在其上的力和力矩有： 作用在i桿件上的外力和外力矩，i-1桿件作用在i桿件上的力和力矩，以及i+1桿件

12、作用在i桿件上的力和力矩。29山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.3.1 機械臂的牛頓歐拉方程其中： Fi+1,i構(gòu)件Li+1作用在構(gòu)件Li上的力。Mi+1,i構(gòu)件Li+1作用在構(gòu)件Li上的力矩。Fi-1,i構(gòu)件Li-1作用在構(gòu)件Li上的力。Mi-1,i構(gòu)件Li-1作用在構(gòu)件Li上的力矩。Fi 作用在第i個構(gòu)件Li上的外力簡化到 質(zhì)心C處的合力，即外力的主矢。Mi 作用在第i個構(gòu)件Li上的外力矩簡化到質(zhì)心C處的合力矩，即外力的主矩。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.3.1 機械臂的牛頓歐拉方程 上述力和力矩包括了運動副中的約束反力、驅(qū)動力、摩擦力等

13、引起的作用力和作用力矩。 作用在第i個構(gòu)件上的所有力化簡到質(zhì)心的總的合力為：它們都在基礎(chǔ)坐標系中表示。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.3.1 機械臂的牛頓歐拉方程相對于質(zhì)心的總的合力矩Mi為： 最后，為了便于遞推計算，重新安排力和力矩計算公式為： 山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.3.1 機械臂的牛頓歐拉方程 i桿件需要的關(guān)節(jié)力矩為相鄰桿件作用于它的力矩的Z分量，即：牛頓-歐拉方程的遞推算法： 由兩部分組成：首先，從1號桿到n號桿，向前遞推計算各桿的速度和加速度。然后，再從n號桿到1號桿，向后遞推計算作用力和力矩，以及關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩。 算法過程總

14、結(jié)如下：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.3.1 機械臂的牛頓歐拉方程向前遞推：i: 06向后遞推：i: 61慣性力慣性力矩條件：基礎(chǔ)桿件和各關(guān)節(jié)的角速度和角加速度已知山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/023.3.1 機械臂的牛頓歐拉方程 引力對桿件作用的影響可以通過設(shè)置 來實現(xiàn)，這里，G為引力常數(shù)。 上面給出了關(guān)節(jié)型機器人的動力學(xué)計算方法，對于移動關(guān)節(jié)可以推導(dǎo)相應(yīng)的方程。 對一些相對簡單的問題，用上述方法，也可能得到閉式解析結(jié)果。 上述遞推算法是一種通用算法，可以用于任意自由度數(shù)的關(guān)節(jié)型機器人。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓

15、歐拉方程實例圖 3 平面兩自由度機器人機構(gòu)例1 如圖3所示的平面兩自由度機器人機構(gòu)。連桿L1質(zhì)心為C1，質(zhì)量為m1，驅(qū)動力矩為m1=0 0 m11T，角速度為1=0 0 1T,加速度為1=0 0 1T; 連桿L2質(zhì)心為C2，質(zhì)量為m2，驅(qū)動力矩為m2=0 0 m22T，角速度為2=0 0 2T,加速度為2=0 0 2T，山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例 選取關(guān)節(jié)O和關(guān)節(jié)A處的轉(zhuǎn)角1和2為系統(tǒng)的廣義坐標，可以寫出連桿L1的牛頓歐拉方程為:連桿L2的牛頓歐拉方程為:式中:重力驅(qū)動力矩山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例由以上幾

16、式消去桿件間作用力，可解得:考慮質(zhì)心位置：求導(dǎo)得：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例另外：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例有：即：對m22可同樣寫出矩陣方程。代入加速度分量，得：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例化簡可得： 上式即為各桿件關(guān)節(jié)的驅(qū)動力計算公式，它是一個以角加速度為變量、變系數(shù)的非線性動力學(xué)方程。山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例以上兩式進一步寫成：式中： 系數(shù)是位置的函數(shù)山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方

17、程實例 例2：如圖所示為兩桿平面機器人，為了簡單起見，我們假設(shè)每個桿件的質(zhì)量集中于桿件的尾部，其大小為m1和m2。解：每個桿件的質(zhì)量中心矢量為： 由于點質(zhì)量假設(shè)，每個桿件相對質(zhì)心的慣性張量為零，即：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例末端執(zhí)行器上無作用力，所以：基座靜止，因此：考慮到引力，我們使用：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例應(yīng)用遞推公式有：向前：1桿件：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例2桿件：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例山東大學(xué)機械工程學(xué)

18、院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例向后遞推：2桿件：1桿件：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02牛頓歐拉方程實例取力矩的Z分量，得到關(guān)節(jié)力矩：山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02稱 為慣量陣， 是離心力、科氏力等相關(guān)部分， 為重力部分。特點：多變量、時變、非線性、強耦合。機器人機構(gòu)動力學(xué)方程 通常，機器人的動力學(xué)方程常寫為抽象的形式：其中： 為廣義坐標向量， 為廣義力向量。 山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介 拉格朗日方程是基于能量項對系統(tǒng)變量及時間的微分而建立的。對于簡單系統(tǒng)拉格朗日方程法相較于牛頓歐拉方程法更顯復(fù)雜，然而隨著系統(tǒng)復(fù)雜程度的增加，拉格朗日方程法建立系統(tǒng)運動微分方程變得相對簡單。 山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/02拉格朗日函數(shù)為系統(tǒng)的動能 和位能 之差 即：4.3 機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介系統(tǒng)拉格朗日方程為： 式中： 系統(tǒng)的廣義坐標數(shù)作用在第i個廣義坐標上的廣義 力或廣義力矩第i個廣義坐標第i個廣義速度山東大學(xué)機械工程學(xué)院機電工程研究所2010/09/024.3 機器人拉格朗日動力學(xué)方程簡介步驟： 1、速度分析，求出速度的平方。 山東大學(xué)機械工程學(xué)院