第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽大綱

1、第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽大綱為了進(jìn)一步推動高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，激勵大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，更好地實(shí)現(xiàn)“中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”的目標(biāo)，特制訂本大綱。自首屆全國大學(xué)生生數(shù)學(xué)競賽2009年舉辦以來，目前已成為全國影響最大、參加人數(shù)最多的大學(xué)生學(xué)科競賽,目前已舉辦三屆。一、競賽的性質(zhì)和參賽對象“中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”的目的是：激勵大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步推動高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革和建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才。“中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”的參賽對象為大學(xué)本科二年級及二年級以上的在校大學(xué)生。二、競賽的內(nèi)容中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽

2、（非數(shù)學(xué)專業(yè)類）競賽內(nèi)容為大學(xué)本科理工科專業(yè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，具體內(nèi)容如下：一、函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)的概念及表示法、簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立.函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形、初等函數(shù).數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的左極限與右極限.無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系、無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較.極限的四則運(yùn)算、極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則、兩個重要極限.函數(shù)的連續(xù)性（含左連續(xù)與右連續(xù)）、函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一

3、元函數(shù)微分學(xué)1. 導(dǎo)數(shù)和微分的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系、平面曲線的切線和法線.2. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算、一階微分形式的不變性.3. 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法.4. 高階導(dǎo)數(shù)的概念、分段函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、某些簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).5. 微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必達(dá)(LHospital)法則與求未定式極限.7. 函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函數(shù)圖形的描繪.8. 函數(shù)最大值和最小值及其簡單應(yīng)用.9. 弧微分、

4、曲率、曲率半徑.三、一元函數(shù)積分學(xué)原函數(shù)和不定積分的概念.不定積分的基本性質(zhì)、基本積分公式.定積分的概念和基本性質(zhì)、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法.有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分.廣義積分.定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函數(shù)的平均值四.常微分方程常微分方程的基本概念：微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等.變量可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利(Bernoull

5、i)方程、全微分方程.可用簡單的變量代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程： .線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理.二階常系數(shù)齊次線性微分方程、高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程.簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積微分方程的簡單應(yīng)用五、無窮級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和、級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件.幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法、交錯級數(shù)與萊布尼茨(Leibniz)判別法.任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念.冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）、收斂域與和

6、函數(shù).冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)、簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法.初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.六、向量代數(shù)和空間解析幾何向量的概念、向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積和向量積、向量的混合積.兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算、單位向量、方向數(shù)與方向余弦.曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離.球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形.空間曲線的參數(shù)方程和一般方程、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程.七、多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義.二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法.二階偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度.空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線.多元函數(shù)極值和條件極值、拉格朗日乘數(shù)法、多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用.八、多元函數(shù)積分學(xué)二重積分和三重積分的概念及性質(zhì)、二重積分的計算(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))、三重積分的計算(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)).格林(