蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一第4章4.2.2《等差數(shù)列的通項公式》教案

1、本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來42.2等差數(shù)列的通項公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等差數(shù)列的通項公式，能利用等差數(shù)列的通項公式進(jìn)行基本的運算.2.能在實際問題中抽象出等差數(shù)列，并解決一些簡單的問題導(dǎo)語同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)過數(shù)列的通項公式，我們是根據(jù)一個數(shù)列的前幾項猜測或歸納出的這個數(shù)列的通項公式，但對于等差數(shù)列，就像是“一去二三里，煙村四五家，亭臺六七座，八九十枝花”一樣富有規(guī)律性和連續(xù)性，我們今天就一起來探討等差數(shù)列的通項公式一、等差數(shù)列的通項公式問題你能根據(jù)等差數(shù)

2、列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？提示設(shè)一個等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，由等差數(shù)列的定義可知，anan1d(n2)，思路一：anan1d，故有a2a1d，a3a2da12d，a4a3da13d，歸納可得，ana1(n1)d(n2)思路二：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d，左右兩邊分別相加可得，ana1(n1)d，即ana1(n1)d(n2)知識梳理首項為a1，公差為d的等差數(shù)列an的通項公式為ana1(n1)d.注意點：(1)已知首項a1和公差d，便可寫出通項公式；(2)等差數(shù)列的通項公式是an，a1，d，n四個變量之間的關(guān)系，知三求一二、等差數(shù)列中的基本計算例1在等差數(shù)列an中

3、，(1)已知a51，a82，求a1與d；(2)已知a1a612，a47，求an.解(1)由題意知eq blcrc (avs4alco1(a151d1，,a181d2，)解得eq blcrc (avs4alco1(a15，,d1.)(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意知eq blcrc (avs4alco1(a1a161d12，,a141d7，)解得eq blcrc (avs4alco1(a11，,d2.)所以ana1(n1)d1(n1)22n1，nN*. 反思感悟等差數(shù)列通項公式的求法與應(yīng)用技巧(1)等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項公式，只需求出首項與公差即可(2)等

4、差數(shù)列an的通項公式ana1(n1)d中共含有四個參數(shù)，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個數(shù)，那么就可以由通項公式求出第四個數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列an中，求解下列各題：(1)已知公差deq f(1,3)，a78，則a1_.(2)已知a30，a72a41，則公差d_.(3)已知an的前3項依次為2,6,10，則a15_.答案(1)10(2)eq f(1,2)(3)58解析(1)由a7a16d，得8a16eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，故a110.(2)設(shè)首項為a1，公差為d，則eq blcrc (avs4alco

5、1(a12d0，,a16d2a13d1，)解得eq blcrc (avs4alco1(a11，,df(1,2).)(3)由題意得，d624，把a(bǔ)12，d4代入ana1(n1)d，得an2(n1)44n2，a15415258.三、等差數(shù)列的實際應(yīng)用例2某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第一年可獲利200萬元，從第二年起由于市場競爭方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？解設(shè)從第一年起，第n年的利潤為an萬元，則a1200，an1an20(nN*)，每年的利潤構(gòu)成一個等差數(shù)列an，從而ana1(n1)d200(n

6、1)(20)22020n.若an0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損由an22020n11，即從第12年起，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損反思感悟解決實際應(yīng)用問題，首先要認(rèn)真領(lǐng)會題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時，則這組數(shù)成等差數(shù)列合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關(guān)鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數(shù)等關(guān)鍵的問題跟蹤訓(xùn)練2一架飛機(jī)在起飛時，第一秒滑行了2 m，以后每秒都比前一秒多滑行4 m，又知離地前一秒滑行了58 m，則這架飛機(jī)起飛所用的時間為_秒答案15解析飛機(jī)起飛前每秒滑行的距離組成等差數(shù)列，記為an，其中a12，d4，an58，代入等差數(shù)列的通項公式ana1

7、(n1)d，得24(n1)58，所以n15(秒)1知識清單：(1)等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)(2)等差數(shù)列基本量的運算(3)等差數(shù)列的實際應(yīng)用2方法歸納：定義法，累加法，公式法3常見誤區(qū)：實際問題中項數(shù)的確定1在等差數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)中，a3a932，a24，則a10等于()A25 B28 C31 D34答案B解析因為在等差數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)中，a3a932，a24，所以2a110d32，a1d4，解得a11，d3，所以a10a19d28.2設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a25，a1a316，則數(shù)列an的通項公式為()A3n1 B3n1

8、 C2n9 D2n1答案B解析設(shè)公差為d，d0，則eq blcrc (avs4alco1(a1d5，,a1a12d16，)解得a12，d3，ana1(n1)d2(n1)33n1.32 020是數(shù)列2,4,6,8，的第()A1 008項 B1 009項 C1 010項D2 020項答案C解析數(shù)列2,4,6,8，為等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列為eq blcrc(avs4alco1(an)，由等差數(shù)列2,4,6可知其首項為2，公差為2，通項公式為an2(n1)22n，令2n2 020，n1 010.4某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4 km(不含4 km)計費10元如果某人乘坐

9、該市的出租車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，則需要支付車費_元答案23.2解析根據(jù)題意知，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以可以建立一個等差數(shù)列an來計算車費令a111.2，表示4 km處的車費，公差d1.2，那么當(dāng)出租車行至14 km處時，n11，此時需要支付車費a1111.2(111)1.223.2(元)課時對點練1數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)中，a15，an1an3，那么這個數(shù)列的通項公式是()A3n1 B3n2C3n2 D3n1答案B解析因為an1an3，所以數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(

10、an)是以5為首項，3為公差的等差數(shù)列，則an53eq blc(rc)(avs4alco1(n1)3n2，nN*.2九章算術(shù)有如下問題：“今有金棰，長五尺斬本一尺，重四斤斬末一尺，重二斤問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)在有一根金棰，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下一尺，重4斤；在細(xì)的一端截下一尺，重2斤，問各尺依次重多少？”按這一問題的題設(shè)，假設(shè)金棰由粗到細(xì)各尺質(zhì)量依次成等差數(shù)列，則從粗端開始的第二尺的質(zhì)量是()A.eq f(7,3)斤 B.eq f(7,2)斤C.eq f(5,2)斤 D3斤答案B解析依題意，得金棰由粗到細(xì)各尺質(zhì)量構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)首項為a14，則a52，設(shè)公差為d，

11、則244d，解得deq f(1,2)，所以a24eq f(1,2)eq f(7,2).3已知在等差數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)中，a11，d3，則當(dāng)an298時，n等于()A90 B96 C98 D100答案D解析由題意知13(n1)298，解得n100.4(多選)已知在等差數(shù)列an中，a12，且a4a8aeq oal(2,3)，則公差d等于()A0 B.eq f(1,2) C1 D2答案AB解析根據(jù)題意知，a4a8aeq oal(2,3)a13da17d(a12d)2.又a12，則410d(22d)2，解得deq f(1,2)或d0.5在數(shù)列an中，若eq r(an1)e

12、q r(an)eq r(2)，a18，則數(shù)列an的通項公式為()Aan2(n1)2 Ban4(n1)Can8n2 Dan4n(n1)答案A解析由題意得eq r(an1)eq r(an)eq r(2)，故數(shù)列eq r(an)是首項為eq r(a1)2eq r(2)，公差為eq r(2)的等差數(shù)列，所以eq r(an)2eq r(2)eq r(2)(n1)eq r(2)neq r(2)，故an2(n1)2.6在數(shù)列an中，an1eq f(an,13an)，a12，則a20等于()A.eq f(115,2) B.eq f(8,115) C.eq f(16,115) D.eq f(2,115)答案D解

13、析對an1eq f(an,13an)取倒數(shù)得eq f(1,an1)eq f(1,an)3，eq f(1,an1)eq f(1,an)3，eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是以eq f(1,2)為首項，3為公差的等差數(shù)列eq f(1,an)eq f(1,2)(n1)33neq f(5,2)eq f(6n5,2)，aneq f(2,6n5)，a20eq f(2,115).7在等差數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)中，若a24，a42，則a6_.答案0解析由題意知，eq blcrc (avs4alco1(a2a1d4，,a4a13d2，)解得eq blcrc (avs

14、4alco1(d1，,a15.)a6a15d0.8體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報數(shù)如果冬冬報17，阿奇報150，每位同學(xué)報的數(shù)都比前一位多7，則隊伍里一共有_人答案20解析由題意知，每位同學(xué)報的數(shù)是一個等差數(shù)列，其中首項為17，公差為7，末項為150，設(shè)末項為第n項，則177(n1)150，解得n20，則隊伍里一共有20人9在等差數(shù)列an中，(1)已知a12，d3，n10，求an；(2)已知a13，an21，d2，求n.解(1)a10a1(101)d29329.(2)由ana1(n1)d，得32(n1)21，解得n10.10在等差數(shù)列an中，a1a58

15、，a47.(1)求數(shù)列的第10項；(2)問112是數(shù)列an的第幾項？(3)在80到110之間有多少項？解設(shè)數(shù)列an的公差為d，則eq blcrc (avs4alco1(a1a14d8，,a13d7，)解得eq blcrc (avs4alco1(a12，,d3，)(1)a10a19d22725.(2)an2(n1)33n5，由1123n5，解得n39.所以112是數(shù)列an的第39項(3)由803n5110，解得28eq f(1,3)n0，)解得eq f(8,3)0，則an_.答案eq r(4n3)(nN*)解析由aeq oal(2,n1)aeq oal(2,n)4，知數(shù)列aeq oal(2,n)

16、成等差數(shù)列，且aeq oal(2,1)1，aeq oal(2,n)1(n1)44n3(nN*)又an0，aneq r(4n3)(nN*)15意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他撰寫的算盤全書中提出一個數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，這個數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，該數(shù)列與自然界的許多現(xiàn)象有密切關(guān)系，在科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，該數(shù)列an滿足a1a21，an2anan1(nN*)，則該數(shù)列的前1 000項中，為奇數(shù)的項共有()A333項 B334項C666項 D667項答案D解析因為a1a21為奇數(shù)，a32為偶數(shù)，a43，a55為奇數(shù)，a68為偶數(shù)，依此類推，a9，a12，a999為偶數(shù)由99933(n1)3n，可得為偶數(shù)的項共有333項，那么為奇數(shù)的項共有667項16某商場用如下方法促銷某品牌的上衣：原銷售價為每件280元，改為買一件的單價為265元，買兩件的單價為250元，依