蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一第5章5.1.1《平均變化率》教案

1、本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來5.1導(dǎo)數(shù)的概念5.1.1平均變化率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平均變化率的實(shí)際背景.2.理解平均變化率的含義.3.會(huì)求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率，并能用平均變化率解釋一些實(shí)際問題導(dǎo)語恩格斯說“只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅僅表明狀態(tài)，而且也表明過程：運(yùn)動(dòng)”，大家知道，世界充滿著變化，有些變化幾乎不易被人們所察覺，而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼！比如同學(xué)們身高、體重的變化，學(xué)習(xí)成績(jī)的變化，在短時(shí)間內(nèi)不易被發(fā)現(xiàn)；比如火箭的發(fā)射

2、、F1的賽道上，也能讓我們感受到速度與激情一、平均變化率的概念問題如圖，從數(shù)學(xué)的角度刻畫氣溫“陡升”，用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫變量變化的快慢程度？提示陡峭程度反應(yīng)了氣溫變化的快與慢；AB兩點(diǎn)相差31天，氣溫增加了15.1C，則有eq f(18.63.5,321)0.5；而BC兩點(diǎn)相差2天，氣溫增加了14.8C，則有eq f(33.418.6,3432)7.4，我們用比值刻畫了變量變化的快慢程度，比值稱為函數(shù)在某一區(qū)間上的平均變化率平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”知識(shí)梳理1一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間x1，x2上的平均變化率為eq f(fx2fx1,x2x1)

3、.2平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”注意點(diǎn)：(1)函數(shù)在區(qū)間x1，x2上有意義(2)在式子eq f(fx2fx1,x2x1)中，x2x10，而f(x2)f(x1)的值可正、可負(fù)、可為0.(3)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比(4)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化的快慢例1(教材174頁例1改編)巍巍泰山為我國(guó)的五岳之首，有“天下第一山”之美譽(yù)，登泰山在當(dāng)?shù)赜杏谩熬o十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路線圖同樣是登山，但是從A處到B處會(huì)感覺比較輕松，而從B處到C處會(huì)感覺比較吃力試用數(shù)學(xué)語言給出解釋

4、解從A處到B處高度的平均變化率為eq f(100,500)eq f(1,5)，從B處到C處高度的平均變化率為eq f(1510,7050)eq f(1,4)，由eq f(1,4)eq f(1,5)，知山路從B處到C處比從A處到B處陡峭故從A處到B處會(huì)感覺比較輕松，而從B處到C處會(huì)感覺比較吃力反思感悟平均變化率的大小反映了某過程在單位時(shí)間內(nèi)或單位距離內(nèi)的變化的快與慢跟蹤訓(xùn)練1某森林公園在過去的10年里，森林占地面積變化如圖所示，試分別計(jì)算前5年與后5年森林面積的平均變化率解前5年森林面積的平均變化率為eq f(6.52.5,50)0.8(公頃/年)后5年森林面積的平均變化率為eq f(14.56

5、.5,105)1.6(公頃/年)二、實(shí)際問題中的平均變化率例2 (教材174頁例2改編)2020年12月1日22時(shí)57分，嫦娥五號(hào)探測(cè)器從距離月球表面1 500 m處開始實(shí)施動(dòng)力下降，7 500牛變推力發(fā)動(dòng)機(jī)開機(jī)，逐步將探測(cè)器相對(duì)月球縱向速度從約1 500 m/s降為零.14分鐘后，探測(cè)器成功在月球預(yù)選地著陸，記與月球表面距離的平均變化率為v，相對(duì)月球縱向速度的平均變化率為a，則()Aveq f(25,14) m/s，aeq f(25,14) m/s2Bveq f(25,14) m/s，aeq f(25,14) m/s2Cveq f(25,14) m/s，aeq f(25,14) m/s2Dv

6、eq f(25,14) m/s，aeq f(25,14) m/s2答案D解析探測(cè)器與月球表面的距離逐漸減小，所以veq f(01 500,1460)eq f(25,14) m/s；探測(cè)器的速度逐漸減小，所以aeq f(01 500,1460)eq f(25,14) m/s2.反思感悟平均變化率問題在生活中隨處可見，常見的有求某段時(shí)間內(nèi)的平均速度、加速度、膨脹率、經(jīng)濟(jì)效益等分清自變量和因變量是解決此類問題的關(guān)鍵跟蹤訓(xùn)練2蜥蜴的體溫與陽光的照射有關(guān)，其關(guān)系為Teq f(120,t5)15，其中T為體溫(單位：)，t為太陽落山后的時(shí)間(單位：min)，則t0到t10 min，蜥蜴的體溫的平均變化率為

7、_/min.答案1.6解析eq f(T10T0,100)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(120,105)15)blc(rc)(avs4alco1(f(120,05)15),10)1.6(/min)，從t0到t10 min，蜥蜴的體溫的平均變化率為1.6 /min.三、函數(shù)中的平均變化率例3(教材175頁例3、例4改編)(1)計(jì)算函數(shù)yf(x)x2從x1到x1x的平均變化率，其中x的值為：2；1；0.1；0.01；(2)思考：當(dāng)x越來越小時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1x上的平均變化率有怎樣的變化趨勢(shì)？解(1)因?yàn)閒(1x)f(1)(1x)212(x)22x，所以eq f(f1xf

8、1,x)eq f(x22x,x)x2.當(dāng)x2時(shí)，平均變化率為x24，即函數(shù)f(x)x2在區(qū)間1,3上的平均變化率為4；當(dāng)x1時(shí)，平均變化率為x23，即函數(shù)f(x)x2在區(qū)間1,2上的平均變化率為3；當(dāng)x0.1時(shí)，平均變化率為x22.1，即函數(shù)f(x)x2在區(qū)間1,1.1上的平均變化率為2.1；當(dāng)x0.01時(shí)，平均變化率為x22.01，即函數(shù)f(x)x2在區(qū)間1,1.01上的平均變化率為2.01.(2)當(dāng)x越來越小時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1x上的平均變化率逐漸變小，并接近于2.反思感悟求函數(shù)平均變化率的步驟(1)求自變量的改變量x2x1.(2)求函數(shù)值的改變量f(x2)f(x1)(3)求平均變

9、化率eq f(fx2fx1,x2x1).跟蹤訓(xùn)練3(1)求函數(shù)f(x)3x22在區(qū)間2,2.1上的平均變化率；(2)求函數(shù)g(x)3x2在區(qū)間2，1上的平均變化率解(1)函數(shù)f(x)3x22在區(qū)間2,2.1上的平均變化率為eq f(f2.1f2,2.12)eq f(32.1223222,0.1)12.3.(2)函數(shù)g(x)3x2在區(qū)間2，1上的平均變化率為eq f(g1g2,12)eq f(312322,12)eq f(58,12)3.1知識(shí)清單：(1)平均變化率(2)平均變化率的幾何意義及應(yīng)用2方法歸納：轉(zhuǎn)化法3常見誤區(qū)：對(duì)平均變化率的理解不透徹導(dǎo)致出錯(cuò)1如圖，函數(shù)yf(x)在A，B兩點(diǎn)間的

10、平均變化率等于()A1 B1C2 D2答案B解析平均變化率為eq f(13,31)1.故選B.2一物體的運(yùn)動(dòng)方程是S32t，則在2,2.1這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是()A0.4 B2 C0.3 D0.2答案B解析eq xto(v)eq f(S2.1S2,2.12)eq f(7.27,0.1)2.3設(shè)函數(shù)f(x)x21，當(dāng)自變量x由1變到1.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率是()A2.1 B0.21 C1.21 D0.121答案A解析x1.110.1，yf(1.1)f(1)1.121(121)0.21，所以函數(shù)f(x)x21在區(qū)間1,1.1上的平均變化率為eq f(y,x)eq f(f1.1f1,x)eq f

11、(0.21,0.1)2.1.4如圖是某變量變化的折線圖，則該變量在區(qū)間0,2上的平均變化率為_. 答案eq f(3,4)解析由折線圖知，f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(x3,2)，1x1，,x1，1x3，)所以該變量在區(qū)間0,2上的平均變化率為eq f(fblc(rc)(avs4alco1(2)fblc(rc)(avs4alco1(0),20)eq f(3f(3,2),2)eq f(3,4).課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1已知函數(shù)y2eq f(1,x)，當(dāng)x由1變到2時(shí)，函數(shù)值的改變量y等于()A.eq f(1,2) Beq f(1,2) C1 D1答案B解析yeq blc(rc)(avs4

12、alco1(2f(1,2)(21)eq f(1,2).2已知函數(shù)f(x)x22，則該函數(shù)在區(qū)間1,3上的平均變化率為()A4 B3 C2 D1答案A解析f(3)11，f(1)3，該函數(shù)在區(qū)間1,3上的平均變化率為eq f(f3f1,31)eq f(113,31)4.3甲、乙兩廠污水的排放量W與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，則治污效果較好的是()A甲廠 B乙廠 C兩廠一樣 D不確定答案B解析在t0處，雖然有W甲(t0)W乙(t0)，但W甲(t0t)s1s0，t1t00，所以eq f(s2s0,t1t0)eq f(s1s0,t1t0)，故C正確，D錯(cuò)誤7若函數(shù)f(x)x2x在區(qū)間eq blcrc(avs4

13、alco1(2，t)上的平均變化率為2，則t_.答案58已知函數(shù)ysin x在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(0，f(,6)，eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,2)上的平均變化率分別為k1，k2，那么k1，k2的大小關(guān)系為_答案k1k2解析當(dāng)xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,6)時(shí)，平均變化率k1eq f(sin f(,6)sin 0,f(,6)eq f(3,)，當(dāng)xeq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,2)時(shí)，平均變化率k2eq f(sin f(,2)sin f(,3),f(,2)f(,3)eq f(32r(3),)，k1k2

14、.9已知函數(shù)f(x)x23x在0，m上的平均變化率是函數(shù)g(x)2x1在1,4上的平均變化率的3倍，求實(shí)數(shù)m的值解函數(shù)g(x)在1,4上的平均變化率為eq f(g4g1,41)eq f(93,3)2.函數(shù)f(x)在0，m上的平均變化率為eq f(fmf0,m0)eq f(m23m,m)m3.令m323，得m3.10為了檢測(cè)甲、乙兩輛車的剎車性能，分別對(duì)兩輛車進(jìn)行了測(cè)試，甲車從25 m/s到0 m/s花了5 s，乙車從18 m/s到0 m/s花了4 s，試比較兩輛車的剎車性能解甲車速度的平均變化率為eq f(025,5)5(m/s2)乙車速度的平均變化率為eq f(018,4)4.5(m/s2)

15、，平均變化率為負(fù)值說明速度在減少，因?yàn)閯x車后，甲車的速度變化相對(duì)較快，所以甲車的剎車性能較好11函數(shù)f(x)的圖象如圖，則函數(shù)f(x)在下列區(qū)間上平均變化率最大的是()A.eq blcrc(avs4alco1(1，2) B.eq blcrc(avs4alco1(2，3) C.eq blcrc(avs4alco1(3，4) D.eq blcrc(avs4alco1(4，7)答案C解析函數(shù)f(x)在區(qū)間上的平均變化率為eq f(y,x)，由函數(shù)圖象可得，在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(4，7)上，eq f(y,x)0且x相同，由圖象可知函數(shù)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(3

16、，4)上的eq f(y,x)最大所以函數(shù)f(x)在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(3，4)上的平均變化率最大12已知函數(shù)f(x)x2x的圖象上一點(diǎn)(1，2)及鄰近一點(diǎn)(1x，2y)，則eq f(y,x)等于()A3 B3x(x)2C3(x)2 D3x答案D解析yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(2)3x(x)2eq f(y,x)3x.13某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況.加油時(shí)間加油量(升)加油時(shí)累計(jì)里程(千米)2021年10月1日1235 0002021年10月15日6035 600注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程在這段時(shí)間內(nèi)，該車

17、每100千米平均耗油量為()A6升 B8升 C10升 D12升答案C解析由題意知第二次加油量即為這段時(shí)間的耗油量V60(升)，這段時(shí)間的行駛里程數(shù)S35 60035 000600(千米)，故這段時(shí)間，該車每100千米平均耗油量為eq f(60,600)10010(升)，故選C.14某人服藥后，人吸收藥物的情況可以用血液中藥物的濃度c(單位：mg/mL)來表示，它是時(shí)間t(單位：min)的函數(shù)，表示cc(t)，下表給出了c(t)的一些函數(shù)值：t/min0102030405060708090c(t)/(mg/mL)0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服藥后3070 min這段時(shí)間內(nèi)，藥物濃度的平均變化率為_mg/(mLmin)答案0.002解析eq f(c70c30,7030)eq f(0.900.98,40)0.002mg/(mLmin)15將半徑為R的球加熱，若半徑從R1到Rm時(shí)球的體積膨脹率為eq f(28,3)，則m的值為_答案2解析體積的增加量Veq f(