經(jīng)濟數(shù)學基礎講義 第1章 函數(shù)

1、 第1章 函數(shù)礙1.1 函數(shù)概搬念靶1.1.1 函皚數(shù)的邦定義岸同學們從入小學敗到高中畢業(yè)一直擺要學習數(shù)學，在隘這一階段所面對埃的數(shù)學對象的特柏點是：所討論的叭量在研究問題的擺過程中保持不變捌只是從未知到艾已知例如解方岸程或方程組，求挨得的解都是固定霸不變的又如討巴論三角形，它的稗邊長也是固定不百變的量這些量把叫做常量耙常量八暗只取固定值的量啊這門課程中討論辦的量在研究問題暗的過程中不是保熬持不變的如圓懊的面積與半徑的藹關系：S =r 2芭考慮半徑八r按可以變化的過程版面積和半徑叫辦做變量笆變量愛唉可取不同值的量敗變域壩哀變量的取值范圍澳我們考慮問題的扮過程中，不僅是疤一個變量，可能斑有幾個變

2、量比挨如兩個變量，要癌研究的是兩個變背量之間有什么關哎系，什么性質(zhì)艾函數(shù)就是變量之巴間確定的對應關靶系比如股市中背的股指曲線，就礙是時間與股票指捌數(shù)之間的對應關案系又如銀行中邦的利率表骯存期背六個月礙一年氨二年懊三年霸五年哀年利率伴(%)耙5.40版7.47敗7.92阿8.28敖9.00盎它反映的是存款愛存期與存款利率扒之間的對應關系芭襖這幾個例子反映皚的都是兩個變量霸之間的確定的對靶應關系函數(shù)的吧定義是：扳定義1.1般 設阿x拌, 藹y班是兩個變量，般x矮的變域為捌D哎，如果存在一個絆對應規(guī)則胺f背，使得對哀D癌內(nèi)的每一個值叭x笆都有唯一的奧y岸值與半x扮對應，則背這個對應規(guī)則翱f瓣 暗稱為

3、定義在集合斑D絆上的一個啊函數(shù)扒，并將由對應規(guī)笆則百f案 霸所確定的皚x拜與翱y壩之間的對應關系熬，記為俺：案，稱拌x挨為自變量，百y把為因變量或函數(shù)巴值，邦D芭為定義域襖集合八稱為函數(shù)的昂值域敖巴我們要研究的是按如何發(fā)現(xiàn)和確定壩變量之間的對應柏關系芭例搬1班百求函數(shù)絆的定義域奧 板解：般，求函數(shù)的定義笆域就是使表達式熬有意義的襖由對數(shù)函數(shù)的吧性質(zhì)得到隘，即埃由分式的性質(zhì)百得到爸，即昂，即伴 綜合起來得拜出所求函數(shù)的定斑義域為鞍拔例爸2百安設國際航空信件耙的郵資百與重量爸的關系是求解：阿用百3拌替代，由第一個跋關系式表示，得爸到罷，同樣可以得到鞍矮用啊20爸替代，由第二個扳關系式表示，得拜到埃

4、1.1.2 有愛關函數(shù)的幾點解班釋把1.凹函數(shù)的表示法八如何表示函數(shù)關昂系是需要我們不俺斷研究和發(fā)現(xiàn)的瓣常用的方法有阿三種：一種是用把一個數(shù)學公式來稗表示，叫做皚解析法拔；一種是用坐標哀系中的曲線反映按兩個變量之間的敗函數(shù)關系，叫做白圖示法傲；還有一種方法癌是用一個表格反昂映兩個變量之間啊的函數(shù)關系，叫埃做艾表格法昂一般經(jīng)常使用岸的就是這三種方百法2.函數(shù)的記號拌在考慮一個問題吧的過程中，百f扮 敖表示一個確定的扳對應關系，在之佰后考慮這個問題懊的過程中，敖f澳 吧自始至終表示同阿樣的對應關系熬比如壩，它反映的就是白這樣一種對應關埃系：吧，等式左端的函罷數(shù)括號中帶入一扒個量，表示要對伴其進行等

5、式右端叭的運算如：熬，又如吧：把無論左端帶入什昂么，都對它進行叭同樣的運算.奧隘1.1.3 俺函數(shù)的基本性質(zhì)辦下面把在中學里敗大家已經(jīng)知道的愛函數(shù)的基本屬性案復習一下，也就癌是：函數(shù)的單調(diào)皚性、奇偶性、有艾界性、周期性襖當一個變量增加白時另一個變量也盎跟著增加， 這擺樣的函數(shù)就叫做暗單調(diào)增加的函數(shù)八從圖形上看這疤條曲線，曲線上般的點岸x挨在增加的時候，愛它所對應的縱坐傲標唉y芭也在增加，這樣啊的函數(shù)是單調(diào)增扳加的 單調(diào)減奧少是相反的，隨版著癌x胺的增加相對應的愛y奧在減少，這樣的霸函數(shù)是單調(diào)減少唉的，正如圖形中唉演示的這樣如版果函數(shù)當癌x背在增加的時候，翱它所對應的靶y霸不是增加，也不吧是減少

6、，這樣的癌函數(shù)就不具有單壩調(diào)性板例啊1搬 判斷函數(shù)絆f暗(懊x疤)斑笆x盎2案當柏x 骯0壩時的單調(diào)性班 愛分析：斑可以利用單調(diào)性霸的定義，證明對熬任意的阿x絆1 擺 盎x把2巴，有澳f八(盎x靶1凹)白 巴叭f敗(凹x板2安)背哀解：伴當邦x 笆0時，對任意罷的扒x扒2 矮0，有啊（當笆x癌1 瓣 俺x唉2 班0時，在不等辦式癌x絆1 半 按x拌2瓣兩端同乘以背x頒1埃或疤x爸2扳，顯澳然有哎，氨，氨由不等式的傳遞壩性就得到斑）扒由定義可知拔f阿(拜x柏)版笆x奧2柏當埃x扳 岸0頒時是單調(diào)增加的佰癌一個函數(shù)的圖形哀如果關于跋y疤軸對稱，這樣的俺函數(shù)就稱為偶函氨數(shù)從圖形上來唉分析，曲線上任罷

7、一點關于矮y癌軸的對稱點也在邦曲線盎上捌面，這條曲線所鞍描繪的函數(shù)就是罷偶函數(shù)從解析哀式上看，如果有翱f版(跋x懊)傲f白(愛x唉)搬，柏f矮(藹x埃)就叫做偶函數(shù)擺翱一個函數(shù)的圖形靶如果關于原點對白稱，這樣的函數(shù)案就稱為奇函數(shù)叭曲線上任一點關安于原點的對稱點懊也在曲線上面，挨這條曲線所描繪扳的函數(shù)就是奇函澳數(shù)從解析式上襖看，如果有頒f愛(拔x背)襖f吧(吧x爸)絆，斑f把(凹x氨)就叫做奇函數(shù)案芭例瓣2挨 判斷下列函數(shù)熬的奇偶性：靶 辦 白（1）邦y藹靶x暗3按1（2俺）癌y跋哀x扒cos岸 x啊解：（1）取 靶x板1，1，艾f 吧(1)0，傲f 拜(1)2爸，顯然班f 絆(1) 八f 背(

8、1)瓣，俺由此可知昂y懊拔x氨3愛1 不是奇函佰數(shù)又顯然跋f 扒(1) 叭f 矮(1)挨，拔由此可知壩y跋鞍x俺3敗1 不是偶函吧數(shù)盎（2）因為拜y哎愛x敖是奇函數(shù)，巴 y壩cos般x靶 是偶函數(shù)，而敗奇函數(shù)和偶函數(shù)盎的乘積是奇函數(shù)搬襖所以埃y扒百x癌sin邦 x安 是奇函數(shù)拜如果自變量在定罷義域中變化時，斑函數(shù)值始終在一壩個有限的區(qū)間內(nèi)扳變化，如圖形中唉演示的，無論怎扳樣變化，都有巴M 吧 哎f熬(挨x扒) 班M伴，癌這條曲線所反映凹的函數(shù)就是有界笆函數(shù)盎如果存在一個正辦數(shù)澳T鞍，對任意的自變跋量吧x白，有安f靶(頒x 叭+ 暗T 班)藹f辦(奧x柏)版，班這樣的函數(shù)就叫挨做周期函數(shù) 疤從圖

9、形上反映，百這個函數(shù)在相隔芭為壩T靶的任意兩點上函岸數(shù)值都是一樣的礙也可以這樣來熬看，從任意一點背出發(fā)，以長度傲T岸為間隔劃分區(qū)間埃，在每個區(qū)間上巴的函數(shù)圖形都是翱可以完全重合的艾唉1.2扒 幾般類壩基本初等函數(shù)拜我們在中學的學稗習中已經(jīng)認識了昂一些函數(shù)， 這奧些函數(shù)是非?；瓯镜?，有這樣幾白類：埃1. 班常數(shù)函數(shù)：按y哀 = 敗c埃這個函數(shù)在它阿的定義域中的取胺值始終是一個常般數(shù)，它在直角坐挨標系中的圖形就奧是一條水平線拌2. 熬冪函數(shù)：叭y鞍 = 傲x爸霸，(爸拜班R 傲)以笆x案為底，指數(shù)是一跋個常數(shù)叭當埃 斑= 1時就是笆y扒 = 啊x搬，它的圖形是過骯原點且平分一、氨三象限的直艾線；

10、當鞍藹=2時就是般y扒 = 罷x瓣2拜，它的圖形是過班原點且開口向上唉的拋物皚線；當爸敗=3時就是愛y版 = 霸x絆3八，它的圖形是過哎原點的立方曲線案般3. 艾指數(shù)函數(shù)：瓣y癌 = 稗a昂x矮，( 礙a 盎0，罷a般1)底數(shù)是哀常數(shù)，指數(shù)是變敖量例如背y案 = e般x礙，啊y扳 = 2 挨x靶，澳y班 = (疤) 按x岸 敗所有指數(shù)函數(shù)的唉圖形都瓣過(0,1)點百，當搬a翱1時，函數(shù)單芭調(diào)增加，當疤a俺0，拌a拜1)以頒a疤為底的骯x暗的對胺數(shù)例如佰 凹y把 = ln罷x耙，矮y叭 = log 奧2半x稗，翱y礙 =八所有對數(shù)函數(shù)翱的圖形都過(1鞍,0)點，當按a哎1時，函數(shù)單暗調(diào)增加；當吧a佰 0奧 瓣盈利（2） 癌L捌(耙q捌) 0頒 懊虧損（3） 澳L拜(把q笆) = 0案 敗盈虧平衡氨滿足捌L跋(稗q搬) = 0芭的白q跋0巴稱為板盈虧平衡點拌（又稱百保本點吧）靶在假設成本函數(shù)拌和收入函數(shù)都是岸線性函數(shù)的情況伴下來做一些分析襖： qO把C俺 = 瓣c敖0柏 + 凹c埃唉q瓣，懊R 愛= 艾pq它們的圖形是般兩條直線的交點背表示收入與成本扳相等，唉q案0隘就是盈虧平衡點奧埃如果兩條直線出絆現(xiàn)了下面這種情奧況 qO qO胺此時兩條直線沒奧有交點，也就是疤沒有盈虧平衡點邦為了找到盈虧礙平衡點，我們可