一題多解專題：向量在平面幾何中的應(yīng)用

1、 一題多解專題五：向量在平面幾何中的應(yīng)用解三角形與向量知識(shí)綜合問(wèn)題的方法：(1)解三角形的問(wèn)題中含有向量時(shí)，通常需要把邊長(zhǎng)與向量的模相聯(lián)系，三角形的內(nèi)角與向 量夾角相聯(lián)系，注意向量夾角與三角形內(nèi)角的相等關(guān)系或互補(bǔ)關(guān)系.(2)應(yīng)用余弦定理求出未知的邊長(zhǎng)和角，從而易于求出向量的有關(guān)問(wèn)題.例：若等邊ABC的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足，則 _.思路點(diǎn)撥：一種方法是建立平面直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可;另一種方 法是將用表示,然后用數(shù)量積的定義計(jì)算.圖(1)方法一:以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立如圖(1)所示的 平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件可知 設(shè)，則 由得： ，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，.

2、方法二：由于 又是邊長(zhǎng)為的等邊三角形， ，特別提醒:用向量知識(shí)解決平面幾何問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)若可以建立平面直角坐標(biāo)系，則建系后用向量的坐標(biāo)運(yùn)算較容易解決.(2)若不易建系，則先選取一組基底，基底中的向量最好可知模及兩者之間的夾角，然后將 問(wèn)題中出現(xiàn)的向量用基底表示，再用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律等進(jìn)行計(jì)算.針對(duì)性練習(xí)：1.在正三角形ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AB=3，BD=1，則=_.圖（2） 解析:方法一：如圖（2）所示，B=60， 由余弦定理得AD2=32+12-231cos 60=7, AD=， 再由余弦定理得cos BAD=， 所以.方法二： = =9+31.2.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_(kāi).圖（3）【解析】方法一：如圖(3)所示，以AB，AD所在直線分別為x,y軸 建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(t,0)，0t1，則 ， C(1，1)， =(t,-1), =(0,-1),=1. 方法二：選取作為基向量，設(shè)， 則=-t=0+1=1.3. 如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，求證：AFDE .圖（2） 證明：方法一：設(shè)則 = 又且a2=b2,ab=0. =0,AFDE. 方法二：以AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)AB=2,則A(0,0),E(1,0),D(0,