《數(shù)值計算方法》試題集及答案教程文件

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。數(shù)值計算方法試題集及答案-數(shù)值計算方法復(fù)習(xí)試題一、填空題：1、，則A的LU分解為。答案：2、已知，則用辛普生（辛卜生）公式計算求得,用三點式求得。答案：2.367，0.253、，則過這三點的二次插值多項式中的系數(shù)為，拉格朗日插值多項式為。答案：-1，4、近似值關(guān)于真值有(2)位有效數(shù)字；5、設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是()；答案6、對,差商(1),(0)；7、計算方法主要研究(截斷)誤差和(舍入)誤差；8、用二分法求非線性方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為()；9、求解一階

2、常微分方程初值問題=f(x,y)，y(x0)=y0的改進(jìn)的歐拉公式為()；10、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，則二次Newton插值多項式中x2系數(shù)為(0.15)；兩點式高斯型求積公式()，代數(shù)精度為(5)；解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)。為了使計算的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達(dá)式改寫為，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式改寫為。用二分法求方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為0.5，1,進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為0.5，0.75。計算積分,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為0.4268，用辛卜生公式計算求得的近似

3、值為0.4309，梯形公式的代數(shù)精度為1，辛卜生公式的代數(shù)精度為3。求解方程組的高斯塞德爾迭代格式為，該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑=。設(shè),則，的二次牛頓插值多項式為。求積公式的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具有()次代數(shù)精度。已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求(12)。設(shè)f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三點式求(2.5)。21、如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（10）次。22、已知是三次樣條函數(shù)，則=(3)，=（3），=（1）。23、是以整數(shù)點為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則(1)，()，當(dāng)時()。24、解初值問題的改

4、進(jìn)歐拉法是2階方法。25、區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到_2_階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。26、改變函數(shù)()的形式，使計算結(jié)果較精確。27、若用二分法求方程在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分10次。28、設(shè)是3次樣條函數(shù)，則a=3,b=-3,c=1。29、若用復(fù)化梯形公式計算，要求誤差不超過，利用余項公式估計，至少用477個求積節(jié)點。30、寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩陣為，此迭代法是否收斂收斂。31、設(shè),則9。32、設(shè)矩陣的，則。33、若，則差商3。34、數(shù)值積分公式的代數(shù)精度為2。線性方程組的最小二乘解為。36、設(shè)矩陣分解為，則。二、單項選擇題：Jaco

5、bi迭代法解方程組的必要條件是（C）。AA的各階順序主子式不為零BCD2、設(shè)，則為(C)A2B5C7D33、三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為(B)。A2B5C3D44、求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是(B)。A對稱陣B正定矩陣C任意陣D各階順序主子式均不為零5、舍入誤差是(A)產(chǎn)生的誤差。只取有限位數(shù)B模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C觀察與測量D數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實際值6、3.141580是的有(B)位有效數(shù)字的近似值。A6B5C4D77、用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是(C)誤差。A模型B觀測C截斷D舍入8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是(A)。A控制舍

6、入誤差B減小方法誤差C防止計算時溢出D簡化計算9、用1+近似表示所產(chǎn)生的誤差是(D)誤差。A舍入B觀測C模型D截斷10、-3247500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效數(shù)字。A5B6C7D811、設(shè)f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為(A)。A05B05C2D-212、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C)。A3B4C5D213、(D)的3位有效數(shù)字是0.236102。(A)0.0023549103(B)2354.82102(C)235.418(D)235.5410114、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x=(x)，則f(

7、x)=0的根是(B)。(A)y=(x)與x軸交點的橫坐標(biāo)(B)y=x與y=(x)交點的橫坐標(biāo)(C)y=x與x軸的交點的橫坐標(biāo)(D)y=x與y=(x)的交點15、用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為(A)。(A)4(B)3(C)4(D)916、拉格朗日插值多項式的余項是(B),牛頓插值多項式的余項是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B)(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D)17、等距二點求導(dǎo)公式f(x1)(A)。18、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初始值x0滿足

8、(A),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。19、為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A)。(A)(B)(C)(D)20、求解初值問題歐拉法的局部截斷誤差是();改進(jìn)歐拉法的局部截斷誤差是();四階龍格庫塔法的局部截斷誤差是(A)(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(D)O(h5)21、解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（）。（1）,(2),(3),(4)22、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當(dāng)系數(shù)是負(fù)值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應(yīng)用中，當(dāng)（）時的牛頓-柯特斯求積公

9、式不使用。（1），（2），（3），（4），23、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次24、若用二階中點公式求解初值問題，試問為保證該公式絕對穩(wěn)定，步長的取值范圍為（）。(1),(2),(3),(4)25、取計算，下列方法中哪種最好？（）(A)；(B)；(C)；(D)。26、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。27、由下列數(shù)表進(jìn)行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（）1.52.53.5-10.52.55.08.

10、011.5(A)；(B)；(C)；(D)。28、形如的高斯（Gauss）型求積公式的代數(shù)精度為（）(A)；(B)；(C)；(D)。29、計算的Newton迭代格式為()(A)；(B)；(C)；(D)。30、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實根，要求誤差限為，則對分次數(shù)至少為()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。31、經(jīng)典的四階龍格庫塔公式的局部截斷誤差為()(A)；(B)；(C)；(D)。32、設(shè)是以為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則()(A)；（B）；（C）；（D）。33、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()次代數(shù)精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。34、已知是三次樣條

11、函數(shù)，則的值為()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是()(A)；(B)；(C)；(D)。36、由下列數(shù)據(jù)012341243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。37、5個節(jié)點的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非題（認(rèn)為正確的在后面的括弧中打，否則打）已知觀察值,用最小二乘法求n次擬合多項式時，的次數(shù)n可以任意取。()用1-近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。()表示在節(jié)點x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。()4、牛頓插值多項式的優(yōu)點

12、是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果。()5、矩陣A=具有嚴(yán)格對角占優(yōu)。()四、計算題：用高斯-塞德爾方法解方程組，取，迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計算)。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。答案：是精確成立，即得求積公式為當(dāng)時，公式顯然精確成立；當(dāng)時，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，

13、并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案：差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-104、取步長，用預(yù)估-校正法解常微分方程初值問題答案：解：即n01234500.20.40.60.81.011.825.879610.713719.422435.02795、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為6、已知區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220

14、.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最?。坎⑶笤摻浦?。答案：解：應(yīng)選三個節(jié)點，使誤差盡量小，即應(yīng)使盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點最好，實際計算結(jié)果，且7、構(gòu)造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。答案：解：令.且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程變形為則當(dāng)時，故迭代格式收斂。取，計算結(jié)果列表如下：n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且滿足.所以.8利用矩陣的LU分解法解方程組。答案：解：令

15、得，得.9對方程組試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由；取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)故對應(yīng)的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得：.10、已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。解：當(dāng)0 x1時，ex，則，且有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差.由，只要即可，解得所以，因此至少需將0,168等份。11、用列主元素消元法求解方程組。解：回代得。12、取節(jié)點,求函數(shù)在區(qū)間0,1上的二次插值多項式,并估計誤差。解：

16、又故截斷誤差。13、用歐拉方法求在點處的近似值。解：等價于()記,取,.則由歐拉公式,可得,14、給定方程1)分析該方程存在幾個根；2)用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；說明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程（1）改寫為（2）作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2)將方程（2）改寫為構(gòu)造迭代格式計算結(jié)果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463)，當(dāng)時，且所以迭代格式對任意均收斂。15、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7,計算三次，保留五位小數(shù)。解：是的正

17、根，牛頓迭代公式為，即取x0=1.7,列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f(1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：17、n=3,用復(fù)合梯形公式求的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計。解：，時，至少有兩位有效數(shù)字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組=，取x(0)=(0,0,0)T,列表計算三次，保留三位小數(shù)。解：Gauss-Seidel迭代格式為：系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)T，列表計算如下:11.6670.889-2.195

18、22.3980.867-2.38332.4610.359-2.52619、用預(yù)估校正法求解(0 x1)，h=0。2，取兩位小數(shù)。解：預(yù)估校正公式為其中，h=0.2，代入上式得：123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.4220、（8分）用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解：解方程組其中解得：所以，21、（15分）用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計算時，試用余項估計其誤差。用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計算出該積分的近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等

19、價形式（1）對應(yīng)迭代格式；(2)對應(yīng)迭代格式；（3）對應(yīng)迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。解：（1），故收斂；（2），故收斂；（3），故發(fā)散。選擇（1）：，23、（8分）已知方程組，其中，列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，24、1、（15分）取步長，求解初值問題用改進(jìn)的歐拉法求的值；用經(jīng)典的四階龍格庫塔法求的值。解：改進(jìn)的歐拉法：所以；經(jīng)典的四階龍格庫塔法：，所以。25、數(shù)值積分公式形如試確定參數(shù)使公式代數(shù)精度盡量高；（2

20、）設(shè)，推導(dǎo)余項公式，并估計誤差。解：將分布代入公式得：構(gòu)造Hermite插值多項式滿足其中則有：，26、用二步法求解常微分方程的初值問題時，如何選擇參數(shù)使方法階數(shù)盡可能高，并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的解：所以主項：該方法是二階的。27、（10分）已知數(shù)值積分公式為：，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：顯然精確成立；時，；時，；時，；時，；所以，其代數(shù)精確度為3。28、（8分）已知求的迭代公式為：證明：對一切，且序列是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂。證明：故對一切。又所以，即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂。29、（9分）數(shù)值求積公式是否

21、為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？解：是。因為在基點1、2處的插值多項式為。其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫出求方程在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(6分)，n=0,1,2,對任意的初值,迭代公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532、(10分)用復(fù)化S

22、impson公式計算積分的近似值，要求誤差限為?；蚶糜囗棧?，33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程組：3.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.333300001.93759.687534、(8分)求方程組的最小二乘解。，若用Householder變換，則：最小二乘解：(-1.33333，2.00000)T.35、(8分)已知常微分方程的初值問題：用改進(jìn)的Euler方法計算的近似值，取步長。，36、(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：取f(x)=1,x，令公式準(zhǔn)確成立，得：，f(x)=x2時，公式左右=1/4;f(x)=x3時，公式左=1/5,公式右=5/24公式的代數(shù)精度=237、（15分）已知方程組，其中，（1）寫出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判斷（1）中兩種方法的收斂性，如果均收斂，說明哪一種方法收斂更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式Gauss-Seidel迭代法的分量形式（2）Jacobi迭代法的迭代矩陣為，Jacobi迭代法收斂Gauss-Seidel迭代法的