《復變函數、積分變換、矢量分析與場論》教學大綱

1、復變函數、積分變換、矢量分析與場論課程名稱：復變函數、積分變換、矢量分析與場論（Complex function Integral Transformation vector analysis Field Theory）課程編碼：071026學 分：3分總 學 時：48學時，其中，理論學時：48學時適用專業(yè)：地球物理學、勘查技術與工程先修課程：高等數學一、課程的性質、目的與任務復變函數、積分變換、矢量分析與場論是勘查技術與工程、地球物理學本科專業(yè)一門重要的學科基礎理論課其教學目的是使學生系統(tǒng)地獲得復變函數、積分變換、矢量分析與場論中必要的基礎理論和常用的運算方法，培養(yǎng)學生比較熟練的運算能力，能

2、熟練運用積分變換和場論知識解決一些問題，為后繼課程和進一步擴大數學知識打下必要的基礎其任務是教會學生掌握復數與復變函數、解析函數、復變函數的積分、復級數、留數、傅立葉變換、拉普拉斯變換、場論等基本理論和基本運算能力。二、教學基本要求通過本課程的學習，學生應能在掌握基本知識、基本方法的基礎上，能把專業(yè)課上遇到的相關問題轉化為本課程中相應的模型，并能正確應用相關知識和方法解決問題通過對本課程的學習，要求學生系統(tǒng)地獲得復變函數、積分變換和場論的基本知識，切實掌握所涉及的基本概念、基本理論和基本方法，具有較熟練的運算能力和初步解決實際問題的能力，為后繼課程的學習奠定良好的數學基礎。具體要求學生做到：1

3、了解復函數的微積分處理方法；2掌握解析函數的判定定理；3熟練掌握復函數積分定理，柯西積分公式與高階導數公式；4掌握函數在圓環(huán)域內展開成洛朗級數的方法；5熟練掌握留數定理及其應用；6了解Fourier變換的定義，掌握其性質并能應用它們解決一些實際問題；7了解Laplace變換的定義，掌握其性質并能應用它們求解微分方程的定解問題；8知道數量場的梯度及性質，矢量場的散度及物理意義，矢量場的旋度及物理意義，三種重要的矢量場（有勢場、管形場、調和場）。了解三度（梯度、散度、旋度）與兩量（通量、環(huán)量）之間的關系。三、教學內容與學時分配復變函數24學時第一章 復數與復變函數 （4學時）本章重點和難點：復數、

4、復平面、模與輻角的概念；復數的各種表示法及運算；復變函數以及映射的概念。難點是復變函數與二元實函數的關系第一節(jié) 復數及其代數運算復數的概念；復數的代數運算。第二節(jié) 復數的幾何表示復平面；復球面。第三節(jié) 復數的乘冪與方根乘積與商；冪與根。第四節(jié) 區(qū)域區(qū)域的概念；單連通域與多連通域。第五節(jié) 復變函數復變函數的定義；映射的概念。第六節(jié) 復變函數的極限和連續(xù)性函數的極限；函數的連續(xù)性。第二章 解析函數 （4學時）本章重點和難點：復變函數的導數以及解析函數的概念；連續(xù)、可導、解析之間的關系及求導方法；函數可導與解析的判別法；柯西-黎曼方程；初等函數。難點是柯西-黎曼方程的推導第一節(jié) 解析函數的概念復變函

5、數的導數與微分；解析函數的概念。第二節(jié) 函數解析的充要條件第三節(jié) 初等函數指數函數；對數函數；乘冪與冪函數；三角函數與雙曲函數；反三角函數與反雙曲函數。第三章 復變函數的積分 （6學時）本章重點和難點：復積分定義；柯西-古薩定理；變上限積分函數的性質；復合閉路定理；柯西積分公式及高階導數公式。難點是共軛調和函數的求法第一節(jié) 復變函數積分的概念積分的定義；積分存在的條件及積分的計算法；積分的性質。 第二節(jié) 柯西古薩（CauchyGoursat）基本定理第三節(jié) 復合閉路定理第四節(jié)原函數與不定積分第五節(jié) 柯西積分公式第六節(jié) 解析函數的高階導數第七節(jié) 解析函數與調和函數的關系第四章 級數 （4學時）本

6、章重點和難點：冪級數收斂的條件；收斂半徑的求法；泰勒展開定理及五個基本初等函數的泰勒展開式；洛朗展開定理。難點是在圓環(huán)域內把函數展開成洛朗級數第一節(jié) 復數項級數復數列的極限；級數概念。第二節(jié) 冪級數冪級數概念；收斂圓與收斂半徑；收斂半徑的求法；冪級數的運算和性質。第三節(jié) 泰勒級數第四節(jié) 洛朗級數第五章 留數 （6學時）本章重點和難點：孤立奇點的概念及其分類；留數的概念及計算方法；留數定理及計算閉路積分的方法。難點是應用留數計算實積分的圍道積分法第一節(jié) 孤立奇點可去奇點；極點；本性奇點；函數的零點與極點的關系；函數在無窮遠點的性態(tài)。第二節(jié) 留數留數的定義及留數定理；留數的計算規(guī)則；在無窮遠點的留

7、數。第三節(jié) 留數在定積分計算上的應用三角函數有理分式的積分；有理分式的積分；有理分式與三角函數乘積的積分。積分變換 14學時第一章 傅里葉變換 （8學時）本章重點和難點：傅氏積分定理；傅氏變換及其逆變換的概念；的概念和性質，傅氏變換的線性、位移、積分以及微分性質，卷積的概念及卷積定理。難點是傅氏變換的應用第一節(jié) Fourier積分 第二節(jié) Fourier變換Fourier變換的概念；單位脈沖函數及其Fourier變換；非周期函數的頻譜。 第三節(jié) Fourier變換的性質線性性質；位移性質；微分性質；積分性質；乘積定理；能量積分。第四節(jié) 卷積與卷積定理第五節(jié) Fourier變換的應用微分、積分方

8、程的Fourier變換解法；偏微分方程的Fourier變換解法。第二章 Laplace變換 （6學時）本章重點和難點：拉氏變換及其逆變換的概念；拉氏變換的線性、相似、積分、位移以及延遲性質；反演積分公式及計算像原函數的方法；卷積的概念及卷積定理。難點是線性微分方程（組）的拉氏變換解法第一節(jié) Laplace變換的概念問題的提出；Laplace變換的存在定理。第二節(jié) Laplace變換的性質線性性質；微分性質；積分性質；位移性質；延遲性質。 第三節(jié) Laplace逆變換第四節(jié) 卷積卷積的概念；卷積定理。第五節(jié) Laplace變換的應用微分、積分方程的Laplace變換解法；偏微分方程的Laplac

9、e變換解法。矢量分析與場論10學時第一章 矢量分析 （2學時）本章重點和難點：矢性函數、矢端曲線的概念；矢性函數極限及連續(xù)性概念；矢性函數的導數與積分的求法。難點是導矢的幾何意義與物理意義第一節(jié) 矢性函數矢性函數的概念；矢端曲線；矢性函數的極限和連續(xù)性。第二節(jié) 矢性函數的導數與微分矢性函數的導數；導矢的幾何意義；矢性函數的微分；矢性函數的導數公式。第三節(jié) 矢性函數的積分矢性函數的不定積分；矢性函數的定積分。第二章 場論 (7學時)本章重點和難點：數量場的梯度及性質；矢量場的散度及物理意義；矢量場的旋度及物理意義；三種重要的矢量場（有勢場、管形場、調和場）。難點是三度（梯度、散度、旋度）與兩量（

10、通量、環(huán)量）之間的關系第一節(jié) 場場的概念；數量場的等值面；矢量場的矢量線。第二節(jié) 數量場的方向導數和梯度方向導數；梯度。第三節(jié) 矢量場的通量及散度通量；散度。第四節(jié) 矢量場的環(huán)量及旋度環(huán)量；旋度。第五節(jié) 幾種重要的矢量場有勢場；管形場；調和場。第三章 哈密頓算子 (1學時)本章重點和難點：哈米爾頓算子WRHamilton的記號及運算規(guī)則；用算子進行一些簡單的計算及證明四、大綱說明本大綱適用于地球物理學和勘查技術與工程本科專業(yè)教學總學時數為48學時，理論講授48學時，課堂教學以馬柏林、李丹衡、晏華輝主編、復旦大學出版社出版的復變函數與積分變換(2008年修改版)，謝樹藝編、高等教育出版社出版的矢量分析與場論（2012年第四版）為主要教材；王綿森編、高等教育出版社出版的復變函數（2008年），東南大學數學系張元林編、高等教育出版社出版積分變換（2012年第五版）為主要參考書，按照本大綱的內容進行教學。本課程的內容涉及高等數學課程的知識。五、教學參考書教材:1 馬柏林，李丹衡，晏華輝復變函數與積分變換M修改版上海：復旦大學出版社，2008年.2 謝樹藝矢量分析與場論M第四版北京：高等教育出版社，2012年.參考書：1 王綿森復變函數M北京：高等教育出版社，2008年.2 張元林積分變換M第五