二階常微分方程的降階解法

1、-. z.航空工業(yè)管理學(xué)院畢業(yè)論文設(shè)計(jì)2015屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)1111062班級(jí) 題 目 二階常微分方程的降階解法 姓 名賈靜靜*111106213 指導(dǎo)教師程春蕊職稱講師2015年4月5號(hào)-. z.二階常微分方程的降階解法摘 要常微分方程是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)非常重要的課題，并在實(shí)踐中廣泛于解決問(wèn)題，分析模型。常微分方程在微分理論中占據(jù)首要位置,普遍應(yīng)用在工程應(yīng)用、科學(xué)研究以及物理學(xué)方面,不少應(yīng)用例都?xì)w結(jié)為二階線性常微分方程的求解問(wèn)題。而正常情況下，常系數(shù)微分方程依據(jù)線性常微分方程的日常理論是可以求解的.不過(guò)對(duì)于變系數(shù)二階線性常微分方程的求解卻有一定程度的困難,迄今為止還沒(méi)有一個(gè)行之有效的普遍

2、方法。本文主要考慮了二階常系數(shù)線性微分方程的降階法。關(guān)于二階常系數(shù)線性微分方程的求解問(wèn)題,首先,我們給出二階齊次常系數(shù)線性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的兩個(gè)特征根；其次，利用積分因子乘以微分方程和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，將二階常系數(shù)線性微分方程化為一階微分形式；最后，將一階微分形式兩邊同時(shí)積分，求解一階線性微分方程，可求得二階常系數(shù)線性微分方程的一個(gè)特解或通解。關(guān)于二階變系數(shù)齊次線性微分方程的求解問(wèn)題，化為恰當(dāng)方程通過(guò)降階法求解二階齊次變系數(shù)微分方程的通解。對(duì)于非齊次線性微分方程，只需再運(yùn)用常數(shù)變易法求出它的一個(gè)特解，問(wèn)題也就相應(yīng)地解決了。關(guān)鍵詞二階常微分方程；降階法；特征根；常數(shù)變易法；一階微分

3、形式-. z.Order reduction method of second order ordinary differential equationsJingjing Jia Chunrui Cheng 111106213 Abstract Ordinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary d

4、ifferential equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application e*amples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal ci

5、rcumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we havent a w

6、ell-established general method.This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficie

7、nt linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly,we should use the integral factor times differential equation and derivative operation and turn two order constant coefficient linear differential equation into t

8、he first order differential equation.Finally, We first order differential and integral form on both sides, solve the first order linear differential equations and find out a special solution or general solution of the second order linear constant coefficient differential equation. We solve the probl

9、em of second order homogeneous linear differential equation with variable coefficients, and should be turned into the appropriate equation, through the order reduction method to solve the second order homogeneous general solution of differential equation with variable coefficients.Solving non-homoge

10、neous linear differential equation, we need to calculate it by applying the method of constant variation of a particular solution, problem is solved accordingly.Keywords second order ordinary differential equation ；Order reduction method; Characteristic root; Constant variation method; A first order

11、 differential form.-. z.目 錄第一章 預(yù)備知識(shí).2第二章 二階常系數(shù)線性微分方程的降階法.5 2.1提出問(wèn)題.5 2.2二階非齊次常系數(shù)線性微分方程的降階法.6 2.3舉例.6 2.4小結(jié).8第三章 二階變系數(shù)線性常微分方程的降階法.9 3.1提出問(wèn)題.10 3.2二階齊次變系數(shù)線性常微分方程的降階法.10 3.2.1求滿足條件1的恰當(dāng)方程的通解.10 3.2.2求滿足條件2的恰當(dāng)方程的通解.12 3.3小結(jié).14第四章 可降階的二階常微分方程.15 4.1 型的微分方程.15 4.2 型的微分方程.15 4.3 型的微分方程.16第五章可降階的高階常微分方程.18-.

12、 z.5.1 型的方程.18 5.2 型的方程.185.3 的方程.195.4 型的方程.20總結(jié).21 致.22 參考文獻(xiàn).23-. z.二階常微分方程的降階解法班級(jí)*1111062 賈靜靜 指導(dǎo)教師 程春蕊 職稱 講師第一章 預(yù)備知識(shí) 1.只有自變量、未知函數(shù)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分構(gòu)成的關(guān)系式，就是微分方程。通過(guò)求解微分方程求出未知函數(shù)。當(dāng)在微分方程中只有一個(gè)自變量時(shí)，我們便稱為常微分方程。 2.考慮一階線性微分方程 1.1其中在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù)。如果則式(1.1)變?yōu)?1.2 式1.2稱為一階齊次線性微分方程。如果則稱式(1.1)為一階非齊次線性微分方程。式1.2是變量別離方程，我們

13、可以求得它的通解為 1.3這里是任意常數(shù)。 下面探討非齊次線性方程1.1通解的求法。不難看出,(1.2)是(1.1)的特殊情形,可以想像一下：在1.3)中，將常數(shù)變易為的待定函數(shù)。令 1.4微分，得 1.5將1.4，1.5代入1.1，得到即 積分后得到.這里是任意常數(shù)。將上式代入(1.4)得到方程(2.1)的通解這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方式，我們通常稱為常數(shù)變易法。3.別離變量法一階微分方程的顯式形式是和 (1.6) 別離變量法主要是用于解顯式形式中變量可別離的方程和(1)方程 (1.7)用乘以等式兩端，得到,這樣變量與別離了。再將兩端取不定積分，得,其中是任意常數(shù)。這個(gè)式子已經(jīng)不含導(dǎo)數(shù)或微

14、分了，它具有形式稱為方程(1.7)的通積分。如果還能從中解出,則稱為方程(1.7)的通解。注意：假設(shè)存在*個(gè)使時(shí)，從式(1.7)可知，也是方程的解，它在乘因子時(shí)被喪失了，應(yīng)補(bǔ)入通解或通積分表達(dá)式中。(2)方程 1.8 同方程(1.7)一樣，兩邊同乘以別離變量，再取不定積分，得到通積分,還要注意可能喪失的解。變量代換法有些方程，通?？梢酝ㄟ^(guò)引入適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，化為變量已別離型方程或其他解法的方程。(1)齊次方程 1.9對(duì)于此類方程，我們可以引入變量代換，化原方程為，這樣，變量就可以別離了。(2)方程 1.10這里且這類方程我們分三類情況討論：時(shí)：它就是齊次方程，上面已經(jīng)討論了。時(shí)，此時(shí)有，如果，

15、設(shè),則原方程可寫成引進(jìn)代換,上式可以化為這時(shí)已經(jīng)變成變量可別離的方程了。假設(shè)，則由前面的假定有，這時(shí)，令，則原方程可以化為如下的可別離變量方程：時(shí)，我們用下例來(lái)說(shuō)明解法的一般步驟。(3)方程 1.11這類方程可以引入變量代換，到達(dá)別離變量的目的。令，就有。代入原方程，得，即,到達(dá)了別離變量的目的。第二章 二階常系數(shù)線性微分方程的降階法2.1提出問(wèn)題二階常系數(shù)線性微分方 2.1式中：為函數(shù)，為函數(shù)；為未知函數(shù)，稱式(2.1)為二階常系數(shù)線性微分方程。如果稱式(2.1)為二階非齊次常系數(shù)線性微分方程；如果，稱式(2.1)為二階齊次常系數(shù)線性微分方程，即 2.2 對(duì)于二階齊次常系數(shù)線性微分方程2.2

16、的求解，通常是運(yùn)用特征根法，特殊的情況下(當(dāng)即不存在時(shí))，可能運(yùn)用變量代換法，將二階方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程，即令，代入公式(2.2)(時(shí))，可得即,兩邊同時(shí)積分，得，即再代入到中，得到即為時(shí)方程(2.2)的通解。 關(guān)于二階非齊次常系數(shù)線性微分方程(2.1)的求解，通常首先會(huì)討論非齊次項(xiàng)的情形，主要有兩種類型：形如與形如其中為次多項(xiàng)式。利用待定系數(shù)法可以求得一個(gè)特解。對(duì)于非齊次項(xiàng)是一般的情形，用待定系數(shù)法顯得無(wú)能為力。在本文中，對(duì)于一般的非齊次項(xiàng)，利用降階法，求出其微分方程的一個(gè)特解或通解。2.2二階非齊次常系數(shù)線性微分方程的降階法二階非齊次常系數(shù)線性微分方程的降階法的步驟為：步驟1 寫出二階齊

17、次常系數(shù)線性微分方程(2.2)的特征方程，即,求出特征方程的兩個(gè)特征根且步驟2 用乘以式(2.1)的兩邊，得 2.3利用關(guān)系式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，將式(2.3)化為一階微分形式，即 (2.4)步驟3 對(duì)于式(2.4)的兩邊同時(shí)積分，可將二階線性微分方程化為一階線性微分方程，有 2.5步驟4 求解一階線性微分方程2.5，令，當(dāng)時(shí)，通解為當(dāng)時(shí)，通解為一個(gè)特解公式為 (2.6)其中2.3舉例通過(guò)具體例子說(shuō)明降階法求微分方程解的詳細(xì)計(jì)算過(guò)程。例1 求微分方程滿足條件的解解 令，于是，把它們代入原方程，得,別離變量并積分，得，代回到，有再以條件代入上式，得于是，兩邊同時(shí)再積分，得將條件代入上式，得故原方程的解

18、為例2 求微分方程的一個(gè)通解。解 步驟1 寫出特征方程，即 其特征根為 步驟2 用乘以微分方程的兩邊，得上式可化為如下的一階微分形式 (2.7) 步驟3 對(duì)于式(2.7)的兩邊同時(shí)積分，可將二階線性微分方程化為一階線性微分方程，有 (2.8) 步驟4，求解一階線性微分方程(2.8),通解為例3 求微分方程的通解。解 步驟1 寫出特征方程，即， 特征根為步驟2 用乘以方程的兩邊，得上式可化為如下的一階微分形式 2.9步驟3 對(duì)于式2.9的兩邊同時(shí)積分，可將二階線性微分方程化為一階線性微分方程，有 (2.10)步驟4 求解一階線性微分方程2.10，通解為 2.4 小結(jié) 上面2個(gè)例子中，例1是常見(jiàn)的

19、非齊次項(xiàng)的微分方程的兩種類型，如果利用待定系數(shù)法求解，計(jì)算量比擬大、比擬繁瑣，例2不是常見(jiàn)的非齊次項(xiàng)的微分方程的類型，利用待定系數(shù)法無(wú)法求解，利用降階法計(jì)算比擬簡(jiǎn)單和方便.特別地對(duì)于一般的非齊次項(xiàng)的常系數(shù)線性微分方程，運(yùn)用降階法都能得到求解，同時(shí)給出了一般的非齊次項(xiàng)的常系數(shù)線性微分方程求特解的一個(gè)公式，即公式(2.6)，因此降階法在實(shí)際運(yùn)用中有用。第三章 二階變系數(shù)線性常微分方程的降階法3.1提出問(wèn)題二階變系數(shù)線性常微分方程的一般形式 (3.1) 其中是的函數(shù)；是未知函數(shù)，是自變量，我們稱式(3.1)為二階變系數(shù)線性微分方程。如果，則稱式(3.1)為二階非齊次變系數(shù)線性微分方程；如果則稱(3.

20、1)為二階齊次變系數(shù)線性微分方程，即 (3.2)3.2二階齊次變系數(shù)線性常微分方程的降階法二階齊次變系數(shù)微分方程的通解可通過(guò)降階法化為恰當(dāng)方程求通解。引入概念假設(shè)二階變系數(shù)齊次微分方程滿足以下條件1和條件2中的系數(shù)限制的條件時(shí)，所得到的方程就是恰當(dāng)方程。 怎樣運(yùn)用恰當(dāng)方程通過(guò)降階法求解方程的通解？我們首先觀察二階變系數(shù)齊次線性微分方程的系數(shù)，將系數(shù)化為滿足恰當(dāng)方程的系數(shù)形式，其次將轉(zhuǎn)化后的的系數(shù)形式代入方程，再運(yùn)用變量代換，經(jīng)過(guò)降階法，化方程為熟悉的一階方程，最終積分求得方程的通解。3.2.1求滿足條件1的恰當(dāng)方程的通解條件1 二階變系數(shù)線性常微分方程(3.2)，對(duì)于系數(shù)假設(shè)滿足 (3.3)這

21、些函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，則把此類方程稱為恰當(dāng)方程。假設(shè)方程(3.2)的系數(shù)滿足條件1的(3.3),則方程是恰當(dāng)方程。將其代入方程(3.2),就可以得到 (3.4)將上式通過(guò)變形得： (3.5)利用變量代換，令 (3.6)則有 (3.7)解方程(3.7)得： (3.8)把(3.8)代入(3.6)，得 (3.9)解得： (3.10)則方程的通解為： (3.11)其中為任意常數(shù)。例4 求微分方程的通解。解 令則系數(shù)滿足條件1，則是恰當(dāng)方程。將其帶入原方程就可以得到 (3.12)將上式通過(guò)變形得： (3.13) 利用變量代換，令 (3.14) 則有 (3.15) 解方程(3.15)，得：(3.16)把式3

22、.16代入3.14，得 (3.17)解得： (3.18) 則方程的通解為： 3.19其中為任意常數(shù)所以原方程的解為：3.2.2求滿足條件2的恰當(dāng)方程的通解條件2 二階變系數(shù)線性微分方程(3.2),對(duì)于系數(shù)，假設(shè)滿足，其中為一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)，則把此類方程稱為恰當(dāng)方程。假設(shè)方程(3.2)的系數(shù)滿足條件2，將其代入方程(3.2)，可得：將上式兩邊同時(shí)減去，整理得到：進(jìn)一步可得：解得：(其中為任意常數(shù)) (3.20)假設(shè)方程滿足條件2中的條件，且則方程(3.2)的通解為 (3.21)(其中為任意常數(shù)) 例5 求方程的通解。解 令，則可得可見(jiàn)系數(shù)滿足條件2且滿足條件2中的2，即則可由通解公式得所求原方

23、程的解為：(其中為任意常數(shù)) 3.3小結(jié)二階變系數(shù)齊次線性微分方程轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程，通過(guò)對(duì)觀測(cè)方程的系數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)變量代換的方法解決降階方程解的問(wèn)題，使這個(gè)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單可行，這個(gè)方法對(duì)于滿足條件的二階變系數(shù)齊次方程適用性強(qiáng)，然而不具普遍性，并且對(duì)于那些相對(duì)復(fù)雜的系數(shù)我們也很難一眼看出它們之間的關(guān)系，這對(duì)我們解決問(wèn)題具有必然的局限性。對(duì)于二階變系數(shù)非齊次線性微分方程，先利用上述的方法求出二階齊次變系數(shù)線性微分方程的通解，再運(yùn)用常數(shù)變易法求出它的一個(gè)特解，問(wèn)題也就解決了。 可降解的二階微分方程3.1 型的微分方程對(duì)于方程 4.1只需積分兩次，就能求出解。積分一次，得到 4.2再積分一次，得到

24、4.3其中為任意常數(shù)這就是方程的通解。例6 求方程的通解。解 積分一次，得到, 再積分一次，得到其中為任意常數(shù)這就是方程的通解。4.2 型的微分方程 (4.5)這類方程的特點(diǎn)是方程中不明顯含有未知函數(shù)，為了降階，我們作變量代換： , (4.6)于是 (4.7)方程化為對(duì)的一階微分方程 (4.8)假設(shè)能求得方程(4.8)的通解 (4.9)其中是任意常數(shù)，是它的變?cè)暮瘮?shù)，則將它代入(4.5)后，得到。由此得方程的通解為。例7 解解 令于是，把它們代入方程，得到別離變量并積分，得 再將其代入有 ,再將條件代入上式，得于是再積分，得.將條件代入上式，得故得方程的解為.4.3 型的微分方程 這類方程的

25、特點(diǎn)是方程中不明顯含有未知函數(shù)，為了降階，我們作變量代換： (4.10) 引進(jìn)新的未知函數(shù)，但是在更換時(shí)，不能再使用(4.7)式。因?yàn)槿绻褂?4.7)式的話，將它和(4.11)代入(4.10)后，(4.10)化成是對(duì)的一階微分方程。當(dāng)然也不能認(rèn)為是對(duì)的一階微分方程。令(4.10)之后的意圖是要使在方程中徹底地不出現(xiàn)，而把作為自變量來(lái)處理。即從(4.10)按下面的方法算得： (4.11)將(4.10)和(4.11)代入(4.9)，于是(4.9)可化為 (4.12)這是一個(gè)對(duì)的一階微分方程。如果能求得(4.12)的通解： (4.13)則將它們代入(4.11),得到別離變量并積分，得即為原方程的通

26、積分。例8 求解方程。解 因?yàn)榉匠滩幻黠@含有，因此可令，于是，原方程化為由此可得由(即)，得常數(shù)，即由得到的解已經(jīng)包含在上式中，因此常數(shù)這個(gè)解不需要另行寫出。第五章 可降階的高階常微分方程對(duì)于*些特殊類型的高階方程，我們可以采用降階法求解，即把高階方程的求解問(wèn)題通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為較低階的方程來(lái)求解。下面我們主要介紹幾類較容易降階的高階微分方程的求解方法。5.1 型的方程微分方程 (5.1)的右端函數(shù)僅含自變量，兩邊積分，得到一個(gè)階方程再積分，得這樣連續(xù)積分次，即可得到方程(5.1)的含有個(gè)任意常數(shù)的通解。例9 求方程的通解。解 對(duì)所給方程連續(xù)積分三次，得這就是所求的通解，其中為任意常數(shù)。5.2

27、 型的方程對(duì)于方程 (5.2)只要作變量代換就可以降階為關(guān)于的階方程 5.3如果能夠求得方程(5.3)的通解再解放程經(jīng)過(guò)次積分，便得到方程(5.3)的通解其中為任意常數(shù)。特別地，假設(shè)二階方程不顯含未知函數(shù)，(即的情形)，則用變量代換便可以把方程化為一階方程。例10 求方程的通解。解 令方程化為,這是一階方程，別離變量且積分后得即從而其中為任意常數(shù)，這就是原方程的解。5.3 的方程方程 (5.4)的一個(gè)特點(diǎn)是不顯含自變量，如果令，則可以將方程降低一階，這時(shí)看作的函數(shù)，這樣，就有 顯然，導(dǎo)數(shù)可以由對(duì)的不高于階的導(dǎo)數(shù)來(lái)表示，因而將其代入式(5.4)后，方程就降了一階。 特別地，假設(shè)二階方程不顯含自變

28、量，則經(jīng)上述變量代換后它就化為一階方程了。例11 求方程的通解。解 令，則，代入方程，得 當(dāng)時(shí)，方程為 變量別離后兩邊積分，得即 所以原方程的通解為 當(dāng)時(shí)，顯然是解，它被包含在通解中(對(duì)應(yīng)于)5.4 型的方程 假設(shè)方程 (5.5)的左端是*個(gè)函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)，則方程(5.5)可化為這樣我們就可以把方程(5.5)降低一階，成為之后再設(shè)法求解這個(gè)方程。例11也可以這樣求解：原方程可以寫為，從而，即，兩邊積分，即得通解例12 求方程的通解。解 方程的兩端乘以因子，則有即從而則可以求得通解為(為任意常數(shù))?？偨Y(jié) 本文主要討論二階線性微分方程的降階解法，在方程滿足特定條件下，巧妙地求解二階變系數(shù)齊次微分方程

29、的通解。主要是通過(guò)常數(shù)變易法，運(yùn)用恰當(dāng)方程通過(guò)降階法，使得變系數(shù)齊次微分方程的解法變得有效可行。使用這種方法，我們需要準(zhǔn)確把握題目的隱含條件，對(duì)應(yīng)于找到相應(yīng)的解決方案，然后進(jìn)入方程的常見(jiàn)形式解決方程的解，使得二階變系數(shù)齊次微分方程解法變得更容易理解。文章中的降階方法盡管能夠解決很多二階常系數(shù)及變系數(shù)齊次微分方程，然而卻不具普遍適用性，對(duì)于不少的二階變系數(shù)方程的解法必定具有局限性，依舊需要大家今后在這一課題上繼續(xù)努力鉆研。本文在解題過(guò)程當(dāng)中也利用了解決方程問(wèn)題常用的一些方法，常數(shù)變易法、變量代換法、降階法等讓我們對(duì)于這些方法的研究有了更廣泛運(yùn)用和更深刻的理解。致 至此,我的這篇論文根本完成:光陰如梭,我在大學(xué)的四年歲月也即將敲響完畢的鐘聲。即將辭別學(xué)校，離別教師及同學(xué)，步入社會(huì)， 站在人生的又一個(gè)新的起點(diǎn)上, 我的心中難免思緒萬(wàn)千, 一種離別的傷感之情在心中隱隱作痛，同時(shí)也滿懷對(duì)大家深深的感恩之情。 剛開(kāi)場(chǎng)拿到論文題目的時(shí)候，思索萬(wàn)千也不知道從何下筆，幸虧