初中數(shù)學(xué)模型

目錄

第一章"8”字模型與飛鏢模型.............................................................3

【模型1】角的"8"在型...........................................................3

【模型2】角的飛鏢模型..............................................................4

【模型3】邊的"8"字模型...........................................................5

【模型4】邊的飛鏢模型..............................................................5

第二章角平娟四大模型...............................................................7

【模型11角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線................................................7

【模型2】截取構(gòu)造對(duì)稱全等..........................................................8

【模型3】角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形..............................................10

【模型4】角平級(jí)+謝襟..........................................................11

第三章截長(zhǎng)補(bǔ)短......................................................................13

【模型】截長(zhǎng)補(bǔ)短..................................................................13

第四章手拉手模型....................................................................16

【模型】手拉手....................................................................16

第五章三垂直全等模型................................................................20

【模型】三垂直全等模型............................................................20

第六章將軍飲馬......................................................................23

【模型1】頹線與兩定點(diǎn)...........................................................23

【模型2】角到定點(diǎn)................................................................26

【模型3】?jī)啥c(diǎn)一定長(zhǎng).............................................................29

第七章螞蟻行程......................................................................31

【模型1】立體圖形展開(kāi)的最短路徑...................................................31

第八章中點(diǎn)四大模型..................................................................34

【模型1］倍長(zhǎng)中線或類中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形.......................34

【模型2】已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用"三線合一”..................36

【模型3】已知三角形一邊的中點(diǎn)，可以考慮中位線定理................................38

【模型4】已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線.............................41

第九章半角模型......................................................................43

1

【模型1］倍長(zhǎng)中線或類中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形.......................43

第十章相似模型......................................................................48

【模型1】A、8模型................................................................48

【模型2】共邊共角型..............................................................50

【模型3】一線三角型...............................................................52

【模型4】倒數(shù)型...................................................................54

【模型5】與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單相似.......................................................56

【模型6】相似與旋轉(zhuǎn)..............................................................57

第十一章圓中的輔肋線................................................................59

【模型1】連半徑構(gòu)造等腰三角形....................................................59

【模型2】構(gòu)造直角形..............................................................60

【模型3】與圓的切線有關(guān)的輔助線..................................................62

第十二章輔助圓......................................................................64

【模型1】共端點(diǎn)，等線段模型.......................................................64

【模型2】直角三角形共斜邊模型.....................................................65

2

第一章“8”字模型與飛鏢模型

【模型1】角的“8”字模型

如圖所示，AB、CD相交于點(diǎn)0,連接AD、BC.

i結(jié)論：NA+ND=NB+NC.

模型分析L-----------------------------

“8”字模型往往在幾何綜合題目中推導(dǎo)角度時(shí)用至U.

模型實(shí)例

觀察下列圖形，計(jì)算角度：

(1)如圖①，/A+NB+NC+ND+NE二；

(2)如圖②，/A+/B+/C+ND+/E+/F：

A

牛刀小試

1.(1)如圖①,求NCAD+NB+NC+ND+NE=

(2)如圖②,求NCAD+NB+NACE+/D+NE：

2.如圖，求NA+NB+/C+ND+/E+NF+/G+NH二.

3

【模型2］角的飛鏢模型cc

\如圖所示，有結(jié)論：ND=NA+NB+NC./\/\

稅型分析'

飛鏢模型往往在幾何綜合題目中推導(dǎo)角度時(shí)用到.>

FB

模型實(shí)例

如圖，在四邊形ABCD中，AM、CM分別平分NDAB和/DCB,AM與CM交于M.

360°-ZB+ZD

探究NAMC與NB、ND間的數(shù)量關(guān)系.（NAMC=---------------------）

2

牛刀小試

1.(1)如圖①，求NCAD+/B+NC+/D+NE二；

(2)如圖②，求NCAD+NB+/ACE+ND+NE二.

2.如圖③，求NA+NB+NC+ND+/E+/F二

3.如圖④，求NA+NB+/C+ND二.

圖④

4

【模型3】邊的“8”字模型

如圖所示，AC、BD相交于點(diǎn)。，連接AD、BC.

結(jié)論：AC+BD>AD+BC

在MOAD中,OA+OD>AD.

在XOBC中,OB+OOBC.

^OA+OD+OB+OOAD+BC

=>AC+BD>AD+BC

（利用兩邊之和大于第三邊）

模型實(shí)例

如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)。

求證：⑴AB+BC+CD+AAAC+BD；

(2)AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.

5

A

【模型4］邊的飛鏢模型

「譴焉背星-ABMC>BO+CO.

延長(zhǎng)BO交AC于D

在RABD中,AB+AD>BD=BO+OD.

在bODC中,OD+DOOC.

=>AB+AD+OD+DC>BO+OD+OC

=>AB+AD+DC>BO+OC

=>AB+AC>BO+OC

（利用兩邊之和大于第三邊）

6

模型實(shí)例

如圖，點(diǎn)。為三角形內(nèi)部一點(diǎn).

求證：(1)2(AO+BO+C。)>AB+BC+AC；

(2)AB+BC+AC>AO+BO+CO.

牛刀小試

1.如圖，在△ABC中，D、E在BC邊上，且BD=CE

求證：AB+AC>AD+AE

2.觀察圖形并探究下列各問(wèn)題，寫出你所觀察得到的結(jié)論，并說(shuō)明理由

(1)如圖①，ZiABC中，P為邊BC上一點(diǎn)，請(qǐng)比較BP+PC與AB+AC的大小，并說(shuō)明理

由；

(2)如圖②，將(1)中的點(diǎn)P移至AABC內(nèi)，請(qǐng)比較aBPC的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的大

小，并說(shuō)明理由；

(3)圖③將(2)中的點(diǎn)P變?yōu)镻i、Pz，請(qǐng)比較四邊形BPiP2c的周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)的大

小，并說(shuō)明理由.

7

第二章角平分線四大模型

【模型1】角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線

一加甌不氯ZMONai-MF

PA_LOM于點(diǎn)A,PBLON于點(diǎn)B

結(jié)論：PB=PA

模型分析

利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、

角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進(jìn)而可以快速找到解題的突破口.

模型實(shí)例

(1)如圖①，在aABC中，ZC=90°,AD平分/CAB,BC=6,BD=4,那么點(diǎn)D到直線

AB的距離是；

(2)如圖②，Z1=Z2,Z3=Z4

求證：AP平分NBAC

牛刀小試

如圖，在四邊形ABCD中，BC>AB,AD=DC,BD平分NABC求證：NBAD+NBCD=180

8

2.如圖，AABC的外角/ACD的平分線CP與內(nèi)角/ABC的平分線BP交于點(diǎn)P,若/BPC=40°,則

ZCAP=.

【模型2】截取構(gòu)造對(duì)稱全等

;如圖，P是/MON的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線0M上任意一點(diǎn),

:在ON上截取OB=OA,連接PB.

I結(jié)論：△OPB^4OPA

、

模型分析

利用角平分線圖形的對(duì)稱性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱全等三角形，可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)

應(yīng)角相等。利用對(duì)稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。

模型實(shí)例

(1)如圖①所示，在AABC中，AD是aABC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意

一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說(shuō)明理由；

(2)如圖②所示，AD是△ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較PC-PB與AC-AB

的大小，并說(shuō)明理由.

9

牛刀小試

1.已知，在aABC中，NB=2/C,AD是NBAC的平分線，AB=16,BD=8.

求線段AC的長(zhǎng).

2.已知，在aABC中，AB=AC,ZA=108°,BD平分/ABC.求證：BC=AB+CD.

3.如圖所示，在△ABC中，ZA=100°,NA=40°,BD是NABC的平分線，延長(zhǎng)BD至E,

DE=AD.求證：BC=AB+CE.

1

【模型3］角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形M,

;如圖，P是NMO的平分線上一點(diǎn)，APLOP于P點(diǎn)，延長(zhǎng)AP于點(diǎn)B./A——

【結(jié)論：^AOB是等腰三角形；

模型分析

構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，

進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來(lái)。

模型實(shí)例

如圖，已知等腰直角三角形ABC中，NA=90°,AB=AC,BD平分NABC,CE1BD,垂

足為E.求證：BD=2CE.

牛刀小試

1.如圖，在△ABC中，BE是角平分線，AD1BE,垂足為D.

求證：Z2=Z1+ZC.

2.如圖,在AABC中，NABG3/C,AD是/BAC的平分線，BEJ_AD于點(diǎn)E.

求證：BE=,(AC-AB).

2

10

【模型4］角平分線+平行線

圖，P是NMO山平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P祀PQ〃ON,交0M于點(diǎn)Q、多/p一

結(jié)論：^POQ是等腰三角形

模型分析

有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明

結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。

模型實(shí)例

解答下列問(wèn)題：

(1)如圖①所示，在aABC中，EF〃BC,點(diǎn)D在EF上，BD、CD分別平分NABC、

NACB,寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖②所示，BD平分/ABC、CD平分/ACG,DE〃BC交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,

線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由。

(3)如圖③所示，BD、CD分別為外角/CBM、/BCN的平分線，，DE〃BC交AB延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,直接寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系？

11

牛刀小試A

1.如圖，在△ABC中，/ABC、/ACB的平分線交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF〃BC,

交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N.若BM+CN=9,則線段MN的長(zhǎng)為.

2.如圖，在aABC中，AD平分/BAC,點(diǎn)E、F分別在BD、AD上，EF〃AB,且

DE=CD.求證：EF-AC

3.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,點(diǎn)E在CD上，且AE平分/BAD,

BE平分NABC.求證：AD=AB-BC

12

第三章截長(zhǎng)補(bǔ)短

【模型】截長(zhǎng)補(bǔ)短A'BCD

:如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在EFMB+CD,'?O

1可以考慮截長(zhǎng)補(bǔ)短法.：i_______?___________

［羲氐法：如圖②，在EF上截取EGMB,再證明GF=CD.：Q

；、補(bǔ)短法:如圖③，延長(zhǎng)AB至H點(diǎn)，使BH二CD,再證明AH二EF.；?-------1...................>

、_______________________________________________________」A3II

模型分析?

截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長(zhǎng)，指在長(zhǎng)線段中截取一段等于

已知線段；補(bǔ)短，指將短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線段。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角

形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明過(guò)程。

模型實(shí)例

例1.如圖，已知在aABC中，ZC=2ZB,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D.

求證：AB=AC+CD

例2.如圖，已知0D平分NAOB,DCLOA于點(diǎn)C,

求證：A0+B0=2C0

13

牛刀小試

1.如圖，在中，NBAC=60°,AD是NBAC的平分線，且AGAB+BD

求NABC的度數(shù)

2.如圖，在△ABC中，/ABC=60°,AD、CE分別平分/BAC、ZACB

求證：AC=AE+Cb

3.如圖，ZABC+ZBCD=180°,BE、CE分別平分/ABC、ZBCb

求證：AB+CD=BC

4.如圖，在中，/ABC=90°,AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D,ZC=30°,

BEJ_AD于點(diǎn)E.求證：AC-AB=2BE

14

5.如圖，RtZXABC中，AGBC,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,CE1_AD交AD于F點(diǎn),

交AB于點(diǎn)E.求證：AD=2DF+CE

J

6.如圖，五邊形ABCDE中，AB=AC,BC+DE二CD,ZB+ZE=180°

求證：AD平分/CDE

A

A

15

第四章手拉手模型

【模型】手拉手

如圖，△ABC是等腰三角形、AADE是等腰三角形,AB=AC,AD二AE,NBAC=NDAE二a

結(jié)論：MBCDMDE,ABAb^ACAE（轉(zhuǎn)成雙）

模型分析

手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)。

模型實(shí)例

例1.如圖，△ADC與△EDC都為等腰直角三角形，連接AG、CE,相交于點(diǎn)H,

問(wèn)：（1）AG與CE是否相等？（2）AG與CE之間的夾角為多少度？

16

例2.如圖，直線AB的同一側(cè)作4ABD和aBCE都為等邊三角形，連接AE、CD,二者

交點(diǎn)為H.求證：

(1)AABE^ADBC；

(2)AE=DC；

(3)/DHA=60°；

(4)Z\AGB名△DFB；

(5)AEGB^ACFB；

(6)連接GF,GF〃AC；

(7)連接HB,HB平分NAHC.

牛刀小試

1.如圖，在△ABC中，AB=CB,/ABC=90°,F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在

BC上,且AE=CF.

(1)求證：BE二BF；

(2)若NCAE=30°,求NACF度數(shù).

17

2.如圖，4ABD與aBCE都為等邊三角形，連接AE與CD,延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)

H.證明：

(1)AE=DC；

(2)/AHD=60°；

(3)連接HB,HB平分/AHC.

3.在線段AE同側(cè)作等邊△CDE(NACE<120°),點(diǎn)P與點(diǎn)M分別是線段BE和AD的

中點(diǎn).求證：△CPM是等邊三角形.

18

4,將等腰Rtz^ABC和等腰RtZXADE按圖①方式放置，NA=90°，AD邊與AB邊重合，

AB=2AD=4.將aADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度a(0°<a<180°)，BD的延長(zhǎng)線

交CE于P.

(1)如圖②，證明：BD=CE,BD1CE；

(2)如圖③，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)ADJ_BD時(shí)，求出CP的長(zhǎng)?

19

第五章三垂直全等模型

【模型】三垂直全等模型

如圖，/D=/BCA=NE=90°,BC=AC?

結(jié)論：RtABCD^RtACAE?

說(shuō)到三垂直模型，不得不說(shuō)一下弦圖，弦圖的運(yùn)用在初中直角三角形中占有舉足輕重

的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求邊長(zhǎng)，相似求邊長(zhǎng)都會(huì)用到從弦圖中支離出來(lái)的

一部分幾何圖形去求解。圖①和圖②就是我們經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到的兩種弦圖。

W0

三垂直圖形變形如下圖③、圖④，這也是由弦圖演變而來(lái)的。

模型實(shí)例

例1.如圖，AB±BC,CD±BC,AE1DE,AE=DE。

求證：AB+CD=BCo

例2.如圖，ZACB-9O0,AC=BC,BE±CE于點(diǎn)D,AD=2.5cm,BE=0.8cm。

求DE的長(zhǎng)。

20

例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰RtAABC有兩個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,

熱搜精練

1.如圖,正方形ABCD,BE=CF?

求證：(1)AE=BF；

(2)AE±BFo

2.直線/上有三個(gè)正方形a、b、c,

若a、c的面積分別是5和11,

則b的面積是。

3.已知，4ABC中，ZBAC-9O0,AB=AC,點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)(BP<CP),

分別過(guò)B、C作BELAP于點(diǎn)E、CF±AP于點(diǎn)F。

(1)求證：EF=CF-BE；

(2)若P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在

某種確定的數(shù)量關(guān)系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論。

4.如圖,在直角梯形ABCD中，AD/7BC,AB1BC,AD=2,BC=3,設(shè)NBCD=a,

以D為旋轉(zhuǎn)中心，將腰DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE。

(1)當(dāng)0=45°時(shí)，求AEAD的面積；

(2)當(dāng)0=30°時(shí)，求4EAD的面積；

(3)當(dāng)0°<?<90°時(shí)，猜想4EAD的面積與c

大小有無(wú)關(guān)系？若有關(guān)，寫出4EAD的面積S#

與a的關(guān)系式；若無(wú)關(guān)，請(qǐng)證明結(jié)論。\

5.如圖，向4ABC的外側(cè)作正方形ABDE、正方形ACFG,

過(guò)點(diǎn)A作AH_LBC于H,AH的反向延長(zhǎng)線與EG交于點(diǎn)

P。求證：BC=2AP。

22

第六章將軍飲馬

“將軍飲馬”問(wèn)題主要利用構(gòu)造對(duì)稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形

周長(zhǎng)等一類最值問(wèn)題，會(huì)與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年

的中考和競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。

【模型1］定直線與兩定點(diǎn)

模型作法結(jié)論

A

Z,

-----------------1

RPA+PB的最

*

R小。

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線/異側(cè)連接AB交直線/于點(diǎn)P,點(diǎn)

時(shí)，在直線/上找一點(diǎn)P,使P即為所求作的點(diǎn)。

PA+PB最小。

BB

*A

------------------------------------------1:.???P

PA+PB的最小

值為AB'。

R*

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線/同側(cè)作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)

時(shí)，在直線/上找一點(diǎn)P,使B',連接AB'交直線于點(diǎn)

PA+PB最小。P,點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。

?A

g

|PA-P月的

P

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線/同側(cè)最大值為AB。

時(shí)，在直線/上找一點(diǎn)P,使連接AB并延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)

卜4一尸引最大。P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。

/

----------------1_.??????:__________.|PA-P月的

?———!-----------------------1

RPi

B最大值為

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線/同側(cè)作點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)AB'。

時(shí)，在直線/上找一點(diǎn)P,使B',連接AB'并延長(zhǎng)交直

口一產(chǎn)耳最大。線于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求作

的點(diǎn)。

23

A

*

B\PA-P^

的最小值為

0。

當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線/

同側(cè)時(shí)，在直線/上找一點(diǎn)的垂直平分線交直線/于點(diǎn)

P,使|出一尸4最小。P,點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。

模型實(shí)例

例1.如圖，正方形ABCD的面積是12,Z^ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在

對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,則PD+PE的最小值為o

例2.如圖，已知aABC為等腰直角三角形，AC=BC=4,ZBCD=15°,P為CD

上的動(dòng)點(diǎn)，則-尸耳的最大值是多少？

熱搜精練

1.如圖，在AABC中，AC=BC=2,ZACB-9O0,D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊

上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值是。

24

2.如圖，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,y）,當(dāng)AABC的周長(zhǎng)最短時(shí)，求y的值。

y

A(3,0)

B(2,0)

3.如圖,正方形ABCD中，AB-7,M是DC上的一點(diǎn)，且DM-3,N是AC上的一

動(dòng)點(diǎn),求|DN-MN|的最小值與最大值。

25

【模型2］角到定點(diǎn)

模型作法結(jié)論

△PCD周長(zhǎng)最小為

P'P"。

點(diǎn)P在NAOB的內(nèi)

分別作點(diǎn)P關(guān)于

部，在0B上找點(diǎn)D,在

OA、0B的對(duì)稱點(diǎn)P'、

0A上找點(diǎn)C,使得4PCD

P”，連接

周長(zhǎng)最小。

P'P”,交OA、0B

于點(diǎn)CD,點(diǎn)C、D即為

所求。

PC+CD的最小值為

P'Co

點(diǎn)P在NAOB的內(nèi)作點(diǎn)P關(guān)于0B的對(duì)

部，在0B上找點(diǎn)D,在稱點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)P'作

0A上找點(diǎn)C,使得P'C±OA交OB于點(diǎn)C,

PD+CD最小。點(diǎn)CD即為所求。

PC+CD+DQ的最小值

為P'Q',所以四邊形

PQDC的周長(zhǎng)的最小值為

P'Q'+PQo

點(diǎn)P、Q在/AOB的分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于

內(nèi)部，在0B上找點(diǎn)D,OA、0B的對(duì)稱點(diǎn)P'、

在0A上找點(diǎn)C,使得四Q',連接P'Q',交

邊形PQDC周長(zhǎng)最小。OA、0B于點(diǎn)C、D,點(diǎn)

C、D即為所求。

模型實(shí)例

26

例1.如圖，ZAOB=30°,ZAOB內(nèi)有一定點(diǎn)P,且0P=10,在()A上有一

點(diǎn)Q,0B上有一點(diǎn)R。若APaR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是多少？

熱搜精練

1.如圖，ZM0N=40°,P為NM0N內(nèi)一定點(diǎn)，A為0M上的點(diǎn)，B為ON上的點(diǎn),

當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)：

(1)找到A、B點(diǎn)，保留作圖痕跡；

(2)求此時(shí)NAPB等于多少度。如果NM0N=。，ZAPB又等于多少度？

2.如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=110°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分別

找一點(diǎn)M、N,使aAMN周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)NAMN+NANM的度數(shù)。

27

3.如圖，在x軸上找一點(diǎn)C,在），軸上找一點(diǎn)D,使AD+CD+BC最小，并

求直線CD的解析式及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)。

4.如圖NM0N=20°,A、B分別為射線OM、ON上兩定點(diǎn)，且0A=2,0B=4,

點(diǎn)P、Q分別為射線OM、ON上兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AQ+PQ+PB

的最小值是多少？

B

28

【模型3］兩定點(diǎn)一定長(zhǎng)

模型作法結(jié)論

_d__d_

A*~?

*AA,

B

*

------------------1

：M/、

AM+MN+NB最小為

Az/Bo

如圖，在直線/上找AM

M、N兩

點(diǎn)（M在左），使得將點(diǎn)A向右平移d個(gè)

AM+MN+NB最小，且MN=d。單位到A',作A'關(guān)于直

線/的對(duì)稱點(diǎn)A",連接A"B

交直線/于點(diǎn)N,將點(diǎn)N向

左平移d個(gè)單位到M,點(diǎn)

M、N即為所求。

A

?

-------------------------------------L.——匕

_I

*2

AM+MN+NB的最小值

?

RR為A'B+d。

如圖，11//12,/1,12將點(diǎn)A向下平移d個(gè)

之間距離為d,在小4分單位到A，,連接A，B交

別找M、N兩點(diǎn)，使得MNJ.直線4于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向上

Z,,且AM+MN+NB最小。平移d個(gè)單位到M,點(diǎn)M、

N即為所求。

模型實(shí)例

例1.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示，

點(diǎn)A在犬軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，且0A=6,004,

D為0C中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在線段0A上，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，EF=2。

當(dāng)四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。

29

熱搜精練

1.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)0在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在，

X軸、y軸的正半軸上，A(3,0),B(0,4),D為邊OB的中點(diǎn)。

(1)若E為邊0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求aCDE的周長(zhǎng)最小值；

(2)若E、F為邊0A上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=1,當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的

坐標(biāo)。

2.村莊A和村莊B位于一條小何的兩側(cè)，若河岸彼此平行，要架設(shè)一座與河岸垂直的橋,

橋址應(yīng)如何選擇，才使A與B之間的距離最短？

30

第七章螞蟻行程

［模型1］立體圖形展開(kāi)的最短路徑

模型分析

上圖為無(wú)底的圓柱體側(cè)面展開(kāi)圖，如圖螞蟻從點(diǎn)A沿圓柱表面爬行一周。到點(diǎn)B的最

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短路徑就是展開(kāi)圖中AB'的長(zhǎng)，AB'=yjAA'+A'B'o做此類題日的關(guān)鍵就是，正確展開(kāi)

立體圖形，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”或“兩邊之和大于第三邊”準(zhǔn)確找出最短路徑。

模型實(shí)例

例1.有一圓柱體油罐，已知油罐底面周長(zhǎng)是12m,高AB是5m,要從點(diǎn)A處開(kāi)始繞油罐一

周建造房子，正好到達(dá)A點(diǎn)的正上方B處，問(wèn)梯子最短有多長(zhǎng)？

例2.如圖，一直圓錐的母線長(zhǎng)為QA=8,底面圓的半徑r=2,若一只小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā),

繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到A點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短

路線長(zhǎng)是?

31

例3.已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為30cm、20cm、10cm,一只螞蟻從A

處出發(fā)到B處覓食，求它所走的最短路徑。（結(jié)果保留根號(hào)）

熱搜精練

1.有一個(gè)圓錐體如圖，高4cm,底面半徑5cm,A處有一螞蟻，若螞蟻欲沿側(cè)面爬行到C處,

求螞蟻爬行的最短距離。

2.如圖，圓錐體的高為8cm,底面周長(zhǎng)為4cm,小螞蟻在圓柱表面爬行，從A點(diǎn)到B點(diǎn),

路線如圖，則最短路程為。

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3.桌上有一個(gè)圓柱形無(wú)蓋玻璃杯，高為12厘米，底面周長(zhǎng)18厘米，在杯口

內(nèi)壁離杯口距離3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲22杯子外壁，當(dāng)它正好在蜜糖相

對(duì)方向離桌面3厘米的B處時(shí)，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖，問(wèn)小蟲至少爬多少厘米才能到達(dá)蜜糖

所在的位置。

4.已知0為圓錐頂點(diǎn)，OA、0B為圓錐的母線，C為0B的中點(diǎn)，一只小螞蟻

從點(diǎn)C開(kāi)始沿圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)A,另一只小螞蟻也從C點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐側(cè)面爬行到點(diǎn)B,

它們所爬行的最短路線的痕跡如圖所示，若沿0A剪開(kāi)，則得到的圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為

5.如圖，一只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)3個(gè)面爬行

到點(diǎn)B,如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則最短距離為o

33

6.如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方體木箱，點(diǎn)Q在上底面的棱上，AQ=2,一只

螞蟻從P點(diǎn)出發(fā)沿木箱表面爬行到點(diǎn)Q,求螞蟻爬行的最短路線。

7.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm、3cm和1cm,A和B是

這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物。請(qǐng)你想一想，

這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？

第八章中點(diǎn)四大模型

【模型1】倍長(zhǎng)中線或類中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形

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模型分析

如圖①，AD是4ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E使DE=AD,易證：aADC0AEDB(SAS)?

如圖②，D是BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)FD至點(diǎn)E使DE=FD,易證：

△FDB^AFDC(SAS)。當(dāng)遇見(jiàn)中線或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長(zhǎng)中線或類中線，構(gòu)造全

等三角形，目的是對(duì)已知條件中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移。

模型實(shí)例

例1.如圖，已知在AABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，連接

BE并延長(zhǎng)AC于點(diǎn)F,AF=EF,求證：AC=BE。

熱搜精練

1.如圖，在△ABC中，AB=12,AC=20,求BC邊上中線AD的范圍。

35

2.如圖，在AABC中，D是BC的中點(diǎn)，DM±DN,如果￡加2+。丫2=￡療+0出

求證：期二:9密+人^卜

【模型2】已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線合一”

模型分析

等腰三角形中有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊的中線，利用等腰三角形“三線

合一”的性質(zhì)得到角相等或邊相等，為解題創(chuàng)造更多的條件，當(dāng)看見(jiàn)等腰三

角形的時(shí)候，就應(yīng)想到：“邊等、角等、三線合一”。

模型實(shí)例

例1.如圖，在4ABC中，AB=AC-5,BC=6,M為BC的中點(diǎn)，MN1AC于點(diǎn)N,

求MN的長(zhǎng)度。

36

熱搜精練

1.如圖，在4ABC中，AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，AE±DE,AF±DF,且AE=AF。

求證：ZEDB=ZFDC?

2.已知RtAABC中，AC=BC,ZC=90°,D為AB邊的中點(diǎn)，ZEDF=90°,

ZEDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB(或它們的延長(zhǎng)線)于E、F。

(1)當(dāng)NEDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到DELAC于E時(shí)(如圖①)，

(2)當(dāng)/EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖②和圖③這兩種情況下，

上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，STQEF、SQF、S

ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明。

37

【模型3］已知三角形一邊的中點(diǎn)，可以考慮中位線定理

模型分析

在三角形中，如果有中點(diǎn)，可構(gòu)造三角形的中位線，利用三角形中位線

的性質(zhì)定理：DE〃BC,且。E=18。來(lái)解題，中位線定理既有線段之間的位

2

置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系，該模型可以解決相等，線段之間的倍半、相等及平行

問(wèn)題。。

模型實(shí)例

例1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF

并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、No

求證：ZBME=ZCNEo

38

熱搜精練

1.(1)如圖①，BD、CE分別是aABC的外角平分，過(guò)點(diǎn)A作ADJ_BD、

AE±CE,垂足分別為D、E,連接DE。

求證：DE〃BC,DE=J(AB+BC+AC)；

2

(2)如圖②，BD、CE分別是aABC的內(nèi)角平分，其它條件不變。上述結(jié)論是否成立？

(3)如圖③，BD是4ABC的內(nèi)角平分，CE是ZXABC的外角平分，其它條件不變。DE與BC

還平行嗎？它與aABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)其中一種情況進(jìn)

行證明。

39

2.問(wèn)題一：如圖①，在四邊形ACBD中，AB與CD相交于點(diǎn)0,AB=CD,E、F分別是BC、AD

的中點(diǎn)，連接EF分別交DC、AB于點(diǎn)M、N,判斷△0MN的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；

問(wèn)題二：如圖②，在aABC中，AOAB,點(diǎn)D在AC上，AB=CD,E、F分別是BC、

AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G