數(shù)字信號(hào)處理：dsp07 線性時(shí)不變?yōu)V波器與系統(tǒng)（續(xù)）

1、數(shù)字信號(hào)處理4.線性時(shí)不變?yōu)V波器與系統(tǒng)（續(xù)） 8/11/20221馬盡文4.4 有理系統(tǒng)及其時(shí)間響應(yīng)函數(shù)A.有理系統(tǒng) 在反饋系統(tǒng)中，若令 則此時(shí)的反饋系統(tǒng)被稱為有理系統(tǒng)或有理濾波器，也被 稱遞歸系統(tǒng)或遞歸濾波器。 根據(jù)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，則8/11/20222馬盡文4.4有理系統(tǒng)及其時(shí)間響應(yīng)函數(shù) 為 的有理函數(shù)，因此，該系統(tǒng)稱為有理系統(tǒng)。 由于 ，得 對(duì)應(yīng)于信號(hào)（時(shí)域），則 線性組合 遞歸B.穩(wěn)定有理系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)8/11/20223馬盡文4.4有理系統(tǒng)及其時(shí)間響應(yīng)函數(shù) 有理系統(tǒng)的Z變換為 其中分子和分母多項(xiàng)式無(wú)公因子，對(duì)穩(wěn)定的有理系統(tǒng)而 言，系統(tǒng)本身的能量是有限的，即 這就要求分母多項(xiàng)式 在

2、單位圓上無(wú)根。 有理分式 可分解為8/11/20224馬盡文4.4有理系統(tǒng)及其時(shí)間響應(yīng)函數(shù) 其中 為分母 的 重根，當(dāng) 時(shí)，分解式中第一項(xiàng)不存在（或?yàn)?）。如何由分解式得到穩(wěn)定系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)？關(guān)鍵在于使用等比級(jí)數(shù)公式。 例1.設(shè)穩(wěn)定系統(tǒng)的Z變換為 求該系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù) 。 解：對(duì) 進(jìn)行分解得8/11/20225馬盡文4.4有理系統(tǒng)及其時(shí)間響應(yīng)函數(shù)由于 ，所以由于 ，所以 所以8/11/20226馬盡文4.4有理系統(tǒng)及其時(shí)間響應(yīng)函數(shù)例2.設(shè)穩(wěn)定線性系統(tǒng)的輸入信號(hào) 和輸出信號(hào) 有如 下關(guān)系 求系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)。 解：在關(guān)系式兩邊做Z變換。 由此可得8/11/20227馬盡文4.4有理系統(tǒng)及

3、其時(shí)間響應(yīng)函數(shù) 由于 有 因此得時(shí)間響應(yīng)函數(shù)8/11/20228馬盡文4.5差分方程的單向序列的解法 考慮差分方程 類似的方程還有A.有理系統(tǒng)和差分方程8/11/20229馬盡文 注意：1. 該系統(tǒng)是一個(gè)有理系統(tǒng)。若它滿足一定的條件，如穩(wěn)定性條件，則輸出 由輸入 唯一確定。 2. 差分方程的解一般情況并不由 完全確定。4.5差分方程的單向序列的解法B.單向序列和單向序列的Z變換 對(duì)于一個(gè)序列 ，若存在整數(shù) ，使 或者我們只對(duì)下列 的值感興趣 則稱 為正單向序列。8/11/202210馬盡文4.5差分方程的單向序列的解法 正單向序列 組成的冪級(jí)數(shù)： 稱為正單向序列的Z變換。 例 注意：這里的Z變

4、換與前面基于頻譜的Z變換不同，那里 即 。 顯然， 并不是 的頻譜，因?yàn)樾盘?hào) 的 頻譜并不存在。8/11/202211馬盡文4.5差分方程的單向序列的解法 類似地，可以定義負(fù)單向序列 和負(fù)單向序列的Z變換C.差分方程的解法 一、標(biāo)準(zhǔn)差分方程的解法 由于當(dāng) 時(shí)， 的值不影響方程的解，當(dāng) 時(shí)， 的值也不影響方程的解，因此可令 和8/11/202212馬盡文4.5差分方程的單向序列的解法 在該條件下， 可由方程得到： 因此得到全部n的方程 令 則8/11/202213馬盡文4.5差分方程的單向序列的解法 在上式中，為了求得 ，常要作有理式分解。但要注 意，展成冪級(jí)數(shù)時(shí)一定要展成正單向冪級(jí)數(shù)。 例1.

5、（斐波那契數(shù)）新生的兔子隔一個(gè)月后就有生育能力 ，每對(duì)（一雌一雄）有生育能力的兔子每月恰好生 一對(duì)兔子。設(shè)第0個(gè)月沒(méi)有小兔，第1個(gè)月一對(duì)小兔 ，由這對(duì)小兔開(kāi)始繁衍，第n個(gè)月有 對(duì)兔子，求 ？8/11/202214馬盡文4.5差分方程的單向序列的解法 解：第n月的兔子由第n-1月的兔子演變而來(lái)。 n-1月的兔子：沒(méi)有生育能力 有生育能力 即 令 和 ，則8/11/202215馬盡文4.5差分方程的單向序列的解法 這樣就得到 作正單向序列Z變換得 解出 令 因此8/11/202216馬盡文4.5差分方程的單向序列的解法 作如下分解 參數(shù) 和 滿足 由此得 將正單向序列Z變換 展成正向冪級(jí)數(shù) 則得到8/11/202217馬盡文4.5差分方程的單向序列的解法 二、一般方程的解法 該方程可以轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，類似地求解。下面介紹另 一種求解方法。 令正單向序列Z變換為 對(duì)于正整數(shù) ，我們有8/11/202218馬盡文4.5差分方程的單向序列的解法差分方程兩邊同乘 ，并對(duì) 由 到 求和，得 根據(jù)前面的等式得8/11/202219馬盡文 將 展成正向冪級(jí)數(shù)，就可得到差分方程的解 。4.5差分方程的單向序列的解法 解出 例2. 已知 其中 ，求 ？ （0輸入響應(yīng)） （輸入響應(yīng)）8/11/202220馬盡文4.5差分方程的單向序列的解法 解出 再由差分方程得 由此