載流圓線圈周圍磁場(chǎng)分布

1、載流圓線圈周圍磁場(chǎng)分布應(yīng).雨孟雨物理工程學(xué)院11級(jí)物理學(xué)類三班Email: HYPERLINK mailto:1240123245 1240123245摘要：本文第一次在直角坐標(biāo)系中直接從磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算公式畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，精 確求解了圓電流空間任一點(diǎn)磁場(chǎng)分布。并通過(guò)數(shù)值模擬，給出了圓電流周圍磁場(chǎng)的空間分布 情況。關(guān)鍵詞：載流圓線圈、橢圓積分、磁感應(yīng)強(qiáng)度、數(shù)值模擬。引言圓電流的磁場(chǎng)分布是電磁學(xué)中一個(gè)重要而典型的問(wèn)題，不少學(xué)者進(jìn)行求解此方面問(wèn)題時(shí) 一般采用矢勢(shì)方法，而即使采用最為基本的畢奧-薩伐爾定律求解時(shí)，求解的也是簡(jiǎn)化后的 磁場(chǎng)在固定平面內(nèi)的分布，而非整個(gè)三維空間內(nèi)的分布。究其原因，在

2、于積分的復(fù)雜性。即 使求解磁場(chǎng)在平面內(nèi)的分布，也涉及復(fù)雜的橢圓積分，因此對(duì)于磁場(chǎng)在三維空間任意處的分 布，很多學(xué)者避而不答。本文僅采用最為基本的畢奧-薩伐爾定律，通過(guò)一系列變量替換直 接在直角系給出了磁場(chǎng)分布的級(jí)數(shù)形式解。本文與己發(fā)文章閉合載流導(dǎo)線周闈磁感應(yīng)強(qiáng)度的空間分布（物理學(xué)刊27期）、一個(gè)重要公式在電磁學(xué)中的應(yīng)用161 （物理學(xué)刊29期）同屬姊妹篇。第一篇文章提出了解決 該問(wèn)題的一般方法，并推廣到任意形狀的閉合載流線圈，同時(shí)作為例子計(jì)算了過(guò)垂直載流圓 線圈環(huán)面中心直線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。第二篇文章是對(duì)第一篇文章的進(jìn)一步探索，運(yùn)用橢圓積 分精確求解了載流圓線圈在其所在整個(gè)平面的強(qiáng)度分布情況。本

3、文是前兩篇文章的更深一步 探索，最終精確求解了載流圓線圈在空間任意處的分布情況。通過(guò)這三篇文章，希望給大家 帶來(lái)的不僅僅是問(wèn)題的答案，更為重要的是將作者一步步探索問(wèn)題的過(guò)程呈獻(xiàn)給大家，希望 能給大家未來(lái)的學(xué)習(xí)和研究帶來(lái)幫助。1 .載流圓線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度這里直接引用文章【5】、6】中的結(jié)果：BX 5 !尸xde_ 了 /?(/?-xcos6-zsin0)xdeIR(-ysmO) ,B. =x xdO 4萬(wàn)! 尸其中 r =+ = +）+ z - 2R（xcos 2+ z sin 0）2.積分公式求解分析式中的積分不難發(fā)現(xiàn)，積分的困難就在于分母的復(fù)雜性。而分母可以表示為下面 的形式：3dO(1 +

4、a sniO + b cos 0)2dO引入新的因此本文就先從最基本的積分形式入手。令Zo= J3引入新的 （l+-sin+bcose）2參量9,并滿足tan=-,參量9,并滿足tan=-,則a2/rL = J3 (1 + sin Z?cos 0)2dOd(0+(p)J L 2c （l + J（r+b- sm（0+0）2作第二次變量替換，引入角度變量。=3+0-m、數(shù)值變量R,并作替換律-Jcr+b2 ,則可得,3欠f , aT (1 +A - cos。)?寫成一般形式，即曲 PW a (I-m2 smV)2 TOC o 1-5 h z 甘4/2 , k2 1 z n 13;z其中：P = =

5、(2 + 行 22 + k-2222對(duì)/。的進(jìn)一步求解過(guò)程如下:； W . V dtJ t = suw | 1r1-xdta(l-m2 sin2 wV順(l-t2yx(l-m2t21-xdt: X (1-/Z7- siir i/ydi/t = sm- x(-一)1 m- iI L 1一廠以上兩式相減，考慮到cl - 1 廣 7 /-（廣，一2廣 + 1）V（心一）=JtZUlp出nrt （1-尸網(wǎng)-仍）ZUlpz?72(/H2r4-2r+1) f nrr (1-sm2 /-x J i x：= xsm/?x _二i-nr 力 ,、：八-nrl-/suraa (l-r)2(l-/n-r)2 r(l

6、-sina)Ui m2 wz-smax-=xM()l-nr sin- a 1 - nr由此得到a (1-m2 sin?！?2=x f (1 - nr sm2 i/)2di/ + xA/(q,/7)1 - nr i1-nrCt=-rP) + nrM (a, fi)l-/?rL = tS 如前()對(duì)比式中出現(xiàn)的積分，引入?yún)⒘?,匕并令_ 2r sinOdO r - ( cos OdO1 = J% = JI0 (l + osinO + bcos。)？ 0 (l + osinO + bcosC則由7 dO； ndy/ . z/0 + al + bl/0 + al + bl2bl i + Cll X0

7、(1 + qsin0+6cos0)2 a (1-m2sin2/)2 節(jié)，(l + osmO + /?cos。) A=J =00 (l + asin+Z?cos6)2其中：=2蟲(chóng)Q + k罕得到結(jié)果_a(pK(nua)-I0) _b(p KWi,a,)_ I。)7, rscr +lr -。-+Zr2 d77 Ry-IRy9r令。= d ；b = 一一，則對(duì)式整理，得到以下結(jié)果 R- + r + y- + - R- + 廠 +）廣 + r-IRy9rb、=*rx 12(R- + x2 + y2 + f)-B產(chǎn)字xr x 。-xl2 - z/J71 (R2 + x2 + y2 +B：=改xr x4”

8、 (R2 + x2 + y2 + z2y以上結(jié)果便是求解得到的載流圓線圈周圍任意處空間磁感應(yīng)強(qiáng)度分布，當(dāng)然上式還不 算是最終結(jié)果，因?yàn)槭街兴婕暗牟煌耆珯E圓積分的具體形式E（m,a，D）,K（mq,Q）還沒(méi)有確定，以下便是對(duì)其具體形式的求解。首先確定參數(shù)的取值范圍由b x tan（/）= = 得71 7T 71-石- 0 /? 12 +妃3. E(m,a,/3)、K(m,a,們的計(jì)算P fixE(m, a,) = J (1 - nr sm2 wVW = J (1 一 ，x sin2n y/)di/a- a 2 n.Qn=l Z - a又由于2/-1I2n = j sky/dy/ = -j si

9、n ”d(cos#)=-cos w sm2,z-1 w + (2/? - l)j sm2,/V cos2 wW =-cos x sin2n1 w + (2 - l)/2n_2 + (1- 2)7 新從而得到cossin2/V 2n -1=；+ ； 72n-22/?2/7_sin21111/ (2/? -1) suf-3 w(2 一 1)(2 一 3)cos( 227 - 2)+ 2/7(2/? - 2)2，42n(2n - 2)=5 虻匕冬耍W.+Qkw)+2n 2， 2)(2)!！(2)!！ 0=(2-M(2-(2S2)“瑚5 + 生里/0h (2)!(2一(2燈1)!(2)!！ 0+ .十

10、-cos p sinEE P) + 僉片(“ 2)將上式帶入到式中，得到E(m,a,/3(2)!！ (2-l)!(2-(2U2)!K人DJLJLJL(2)!(2 (2k + l)!由于3 ,些亡X也己當(dāng)(0 _ Q) _弟艾四亡n=i ji-o 2 n 2g(2S)Q_cos”sin2gi)f (1 - TwsinW) -11 f 2 J ,J(1 -臉3)如=扁(此*心)如dE(m,a,0) 1 pdm ？, (1 廣 sinu)-J(l一7-surv) 2如)=、，十/，a從而可以確定出 、m 、 dE(m,a、/3)K (m,a,/3) = E(my a, ft) - mdm綜上所述，已

11、是嚴(yán)格意義上的精確解。至此，載流圓線圈周圍任意處空間磁感應(yīng)強(qiáng)度 分布己由嚴(yán)格給出。4.結(jié)果分析雖然結(jié)果己由上文給出，但式結(jié)果依然比較復(fù)雜，先對(duì)其進(jìn)一步簡(jiǎn)化?？紤]到, I k2 , 山滬 (2 1)!(2 (2k + 2)!,疔 1八 .-Z1 nr nr . - (1 一 nr siir ay (1- + sin cp)-p 小 nr、 nrnr cos 、o = / J (1 _ - )+cos 9；:r)1 -nr 42 zl nr 廣.-(1- +5.數(shù)值模擬綜合上式、，用軟件Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬，相關(guān)取值如下:/h = 12.5663706144x107 H廠/ = LA; R =

12、 0. Im首先對(duì)式中的旦進(jìn)行數(shù)值模擬，由于目標(biāo)函數(shù)攻是關(guān)于空間變量X、），、Z的三元 函數(shù),實(shí)際模擬時(shí)本文采用降維方法：固定其中一個(gè)空間變量Z ,對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行三維模擬。 并通過(guò)令變量Z取不同的數(shù)值進(jìn)行多次模擬，比較結(jié)果的差異，從而得到國(guó)的空間分布。當(dāng)Z分別取0, 4, 10, 20時(shí)，磁場(chǎng)分量的分布如下列圖所示。對(duì)式中的鳥(niǎo)進(jìn)行數(shù)值模擬,當(dāng)對(duì)式中的鳥(niǎo)進(jìn)行數(shù)值模擬,當(dāng)z分別取0,4,10,20時(shí)，磁場(chǎng)。.分布如下列圖所示:40 40-43 .4340 40-43 .43同理，磁場(chǎng)札分布如下列圖所示:*10860.4020.0?同理，磁場(chǎng)札分布如下列圖所示:*10860.4020.0?參考文獻(xiàn):

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