物理答案固體物理6

1、6.5 晶體能帶的對稱性一、 En(k)函數(shù)的對稱性 晶體點群對稱操作的算符T()，物理意義：對于任意函數(shù)f(r)，有其中，1是的逆操作，其定義為1 r點經操作后變換到r點。 晶體中電子運動的哈密頓量為：將T()和H同時作用在任意函數(shù)f(r)上，2在正交變換下形式不變，電子的勢能函數(shù)U(r) 具有與晶格相同的對稱性：由于f(r)是任意函數(shù)，所以T()與H可對易 若n,k(r)是晶體波動方程的解，那么，T() n,k(r)也是方程的解，且n,k(r)與T() n,k(r)有相同的能量本征值。在晶體中電子運動的本征態(tài)波函數(shù)為Bloch函數(shù)n：能帶標記，k：簡約波矢，對應的能量本征值：En(k) 由

2、于是正交變換，由于 仍以格矢Rl為周期，可以改寫為這表明，用T()作用在Bloch函數(shù)的結果只是將簡約波矢k變換到另一個簡約波矢k。根據(jù)上面的推論，它們應具有相同的能量本征值。 證明了在k空間中En(k)具有與晶體點群完全相同的對稱性。上式對所有晶體點群的對稱操作 都成立。晶體中電子運動的哈密頓算符由于H是實算符，H*H，晶體中所以，如果n,k(r)是方程的解，那么*n,k(r)也是方程的解，且這兩個解具有相同的能量本征值。取復共軛：用k取代k，得 這個結論與晶體的點群對稱性無關，而是時間反演對稱性的結果。對于同一能帶，有來源于晶格的周期性來源于晶體的點群對稱性來源于時間反演對稱性PPPkxk

3、y二維正方晶格的點群是C4V(4mm)，點群的階數(shù)：8只需研究清楚簡約區(qū)中 1/8 空間中電子的能量狀態(tài)，就可以知道整個k空間中的能量狀態(tài)了。以二維正方晶格為例：立方晶系的Oh(m3m)點群（48階），只需研究(1/48)b即可。這部分體積稱為簡約區(qū)的不可約體積。二、波矢星和波矢群對所有晶體點群的對稱操作，可得到一組k，它們都是等價的，都具有相同的能量本征值。我們將這組k的集合稱為波矢星。1. 所有的k k，或k kGl（除為單位元素外） 這時， k是布里淵區(qū)中的一般點，這時k星中的等價波矢量數(shù)目等于晶體點群中的元素數(shù)（即點群的 階數(shù)）。如二維正方晶格的C4V（4mm）點群（8階），在第一布里

4、淵區(qū)的一般位置k，可以得到8個等價的波矢量k組成k星。 對于簡單立方晶格的Oh群，有48個對稱操作，那么在簡約區(qū)中的一般位置k，可以得到48個等價的波矢量組成波矢星。2. 在晶體點群中存在某些對稱操作，使得或在這種情況下，k一定是處在簡約區(qū)中的特殊位置（如對稱點、對稱軸或對稱面）上。這時波矢星中所包含的等價波矢量數(shù)目就少于晶體點群的階數(shù)，而只是它的一個分數(shù)。k可以證明：k星中的等價波矢量數(shù)波矢群的階數(shù)晶體點群的階數(shù)操作的集合構成一個群，稱為波矢群，或稱為群。 波矢群也是晶體點群的一種，而且一定是這種晶體點群的子群，或者就是晶體點群本身。以二維正方晶格C4V（4mm）為例：XZMkxky-/a/

5、a-/a12mxmy在它的簡約區(qū)（即第一布里淵區(qū)）中有六種具有波矢群的對稱點或對稱軸：特殊位置kk星中等價k數(shù) 群波矢群階數(shù)波矢群中的對稱操作點(0, 0)1C4V84z，mx，my，1，2X點(/a, 0)2C2V42z， mx，myR點(/a, /a)1C4V84z，mx，my，1，2軸(k, 0)4CS2my軸(k, k)4CS22Z軸(/a, k)4CS2mxMXRZST簡單立方晶格Oh (m3m)點群：特殊位置k群點(0, 0, 0)Oh (m3m)X點(/a, 0, 0)D4h (4/mmm)M點(/a, /a, 0)D4h (4/mmm)R點(/a, /a, /a)Oh (m3m

6、)軸(k, 0, 0)C4V (4mm)Z軸(/a, k, 0)C2V (mm2)軸(k, k, 0)C2V (mm2)S軸(/a, k, k)C2V (mm2)T軸(/a, /a, k)C4V (4mm)軸(k, k, k)C3V (3m)二、自由電子的能帶（空格點模型）自由電子的能量為k為廣延波矢，不一定在簡約區(qū)中，一定可以找到唯一一個倒格矢Gn，使得k為簡約波矢1. 一維情況k為簡約波矢取k的單位：En(0)(k)的單位:第一能帶：n=1，n=0相應波函數(shù)：第二能帶：n=2，n=1相應波函數(shù)：第三能帶：n=3，n=1相應波函數(shù)：0141492. 二維情況：例：二維正方晶格的簡約區(qū)中沿X（

7、即kx）軸作出En(0)(k)曲線。取kx、ky的單位:En(0)(k)的單位：XZMkxky-/a/a-/a在X軸上，ky=0相應的波函數(shù):當n1和n2的絕對值最小時，相應的能量最低。（第一布里淵區(qū)）（單）相應的波函數(shù)：第一近鄰倒格點：（單）波函數(shù)：0141（雙）波函數(shù)：（單）波函數(shù)：第二近鄰倒格點：（雙）相應的波函數(shù)：494585（雙）相應的波函數(shù)：(0,0)(1,0)(1,0)（1）1，(1,1)(0,1) (0,1)(1,1) (1,1)813LXU,KLXU,KEnergy (eV)LXU,K6.6 能態(tài)密度和費米面一、能態(tài)密度1. 定義能態(tài)密度：dSdkkxkyEE+dEdZ：能量

8、在EE+dE兩等能面間的能態(tài)數(shù)（考慮了電子自旋）能態(tài)密度：能帶中單位能量間隔內的電子能態(tài)數(shù)。dZ=2(k)(k空間中能量在EE+dE兩等能面間的體積)2. 近自由電子的能態(tài)密度對于自由電子：能量為E的等能面是半徑為在球面上的球面 在近自由電子情況下，周期場的影響主要表現(xiàn)在布里淵區(qū)邊界附近，而離布里淵區(qū)邊界較遠處，周期場對電子運動的影響很小。 以簡單立方晶體為例，考察第一布里淵區(qū)中等能面的一個二維截面。在布里淵區(qū)邊界面的內側：對自由電子：EP(0)=EQ(0)考慮周期場的影響：EQ(0) EQ ，EP(0)EP在布里淵區(qū)邊界面的外側：對自由電子：EN(0)=EM(0),考慮周期場影響：EM(0)

9、 EQEM ENPQQMMN0Gn近自由電子的等能面近自由電子的能態(tài)密度EAkxkyACN(E)EECEBN(E)EECEB當EC EB時：出現(xiàn)能帶重疊 3. 緊束縛近似的能態(tài)密度以簡單立方晶格s帶為例: 在k=0，即能帶底附近，等能面近似為球面，隨著E的增大，等能面明顯偏離球面。N(E)E0E06J1E02J1E0+6J1E0+2J1E()E(X)E(M)E(R) 在、X、M和R點處，kE=0，稱為Van Hove奇點，這些點都是布里淵區(qū)中的高對稱點。二、費米面討論近自由電子的費米面結構: 對金屬：EKBT，在T0時，只有費米面附近的少量電子受到熱激發(fā)。費米半徑的相對變化：在室溫下：a. 費

10、米面的構造步驟 按電子濃度求出相應的費米半徑，并作出費米球（圓）；1. 近自由電子費米面的構造法 按照近自由電子作必要的修正。 將處在各個布里淵區(qū)中的費米球（圓）分塊按倒格 矢平移到簡約區(qū)中，來自第n個布里淵區(qū)的對應于第 n個能帶，于是在簡約區(qū)中得到對應于各個能帶的費 米面圖形； 根據(jù)晶體結構畫出倒易空間中擴展的布里淵區(qū)圖形；b. 修正的依據(jù) 電子的能量只在布里淵區(qū)邊界附近偏離自由電子能 量，周期場的影響使等能面在布里淵區(qū)邊界面附近發(fā) 生畸變，形成向外突出的凸包； 周期場的影響使費米面上的尖銳角圓滑化。 費米面所包圍的總體積僅依賴于電子濃度，而不取決 于電子與晶格相互作用的細節(jié)； 等能面幾乎總

11、是與布里淵區(qū)邊界面垂直相交；證明在一般情況下，等能面與布里淵區(qū)邊界面垂直相交：En(k)具有反演對稱性： En(k) En(k)En(k)的平移對稱性： En(k) En(kGn)在布里淵區(qū)邊界面附近：kkk在布里淵區(qū)邊界面上：沿布里淵區(qū)邊界面的法線方向上，如果沿一個邊界面的法線方向上處處都有那么，與該邊界面相交的等能面必與此邊界面垂直。例：二維正方晶格近自由電子的費米面圖形。設二維晶格的晶格常數(shù)為a，晶體的原胞數(shù)為N，k的分布密度：設平均每個原子有個價電子，即電子濃度為電子/原子。對于簡單晶格：其中為簡約區(qū)的內切圓半徑電子濃度kF/k110.79821.12831.38241.59651.7

12、8461.954kxky簡約區(qū)中自由電子的費米面=1第一能帶=2, 3=4, 5, 6第二能帶第三能帶第四能帶簡約區(qū)中近自由電子的費米面=2, 3=4, 5, 6第四能帶=1第一能帶第二能帶第三能帶2. HumeRothery定律 純Cu的晶體結構是面心立方，當摻入Zn后，隨Zn含量的逐漸增加，其結構將發(fā)生一系列變化：由相相相相相。 實驗發(fā)現(xiàn)，在許多合金體系中，電子濃度是決定合金具有什么相結構的重要參量。一定的電子濃度將出現(xiàn)一定的相，這種現(xiàn)象稱為HumeRothery定律。具有一定電子濃度的合金相稱為電子化合物。以CuZn合金相圖為例： 當Zn的原子濃度大于50時出現(xiàn)相，為復雜立方 結構，每個

13、晶胞中有52個原子，其化學式為Cu5Zn8， 電子原子比（電子濃度）為21/13； 當Zn的原子濃度在38以下時，是以Cu為基的fcc 固溶體，稱為相； 當Zn的原子濃度在3850之間時，將出現(xiàn)新相， 稱為相，是bcc結構，其化學式為CuZn，電子原 子比（即電子濃度）為3/2，是一種電子化合物； 在純Zn附近，形成以Zn為基的固溶體相，為近似 密排六方結構，c/a 1.633。 當Zn的原子濃度67時，出現(xiàn)相，為密排六方結 構， c/a 1.633，化學式為CuZn3，電子濃度為7/4； 當考慮電子填充時，隨著電子濃度的增加，費米面逐 漸靠近布里淵區(qū)邊界面；當電子濃度達到一定值時， 費米面將

14、與布里淵區(qū)邊界面相切。 在近自由電子情況下，當離布里淵區(qū)邊界面較遠時， 其等能面與自由電子基本相同，近似為球面。 當?shù)饶苊婵拷祭餃Y區(qū)邊界面時，由于周期場的影 響，等能面將發(fā)生畸變，形成向外突出的凸包，從而 使其能態(tài)密度大于自由電子的能態(tài)密度。 當?shù)饶苊媾c布里淵區(qū)邊界面相切時，能態(tài)密度達到極 大值。其后，能態(tài)密度隨能量的增加而迅速減小。 如電子濃度繼續(xù)增加，由于能態(tài)密度隨能量的增加而 迅速減小，電子將不得不往更高的能態(tài)上填，從而使 系統(tǒng)的總能量升高，這種結構將不再是穩(wěn)定的，而趨 于轉變?yōu)榱硪环N可使系統(tǒng)的總能量降低的結構，即發(fā) 生相變。純Cu的晶體結構：fcc 當摻入的Zn含量較少時，其晶體結構是以Cu為基的fcc固溶體（相）。 設fcc的晶格常數(shù)為a，則其倒格子是格常數(shù)為4/a的bcc 。 簡約區(qū)內切球的半徑k1()及內切球所對應的飽和電子濃度（電子原子比）1()。其簡約區(qū)是由8個111面和6個100