實二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

1、作業(yè)講評1一. 2.若是A的特征值, 則是A*的特征值.2二.1.六. 設(shè)A2 3A + 2E = 0, 證明A的特征值只能取1或2證明: 若是A的特征值, 則2 - 3 + 2是A2 -3A +2E的特征值, 即2 - 3 + 2是零矩陣O的特征值,從而2 - 3 + 2 = 0, 故只能取1或者2.3七. 已知3階矩陣A的特征值為1, 2, -3, 求解:4實二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 5一. 實二次型及其矩陣表示 實二次型定義1. 設(shè)x1, x2, , xn 是n個變量，稱關(guān)于x1, x2, , xn的二次多項式 :為這n個變量的一個實二次型。 其中ai,j皆是實數(shù), 并約定當(dāng)i j時ai,j =

2、 aj,i62. 實二次型的矩陣表示7例1. 把下列二次型表示成矩陣的形式解： 8二.矩陣的合同變換與二次型1. 線性變換與二次型設(shè)f(x1, x2, , xn) = XTAX是一個實二次型, 其中A是一個n階實對稱方陣, XT = (x1, x2, , xn) 設(shè)P是一個n階實可逆方陣，在線性變換X = PY之下，核心問題: 如何選擇可逆方陣P, 使得:9即, 如何選擇可逆方陣P, 使得:2. 矩陣的合同變換定義2. 設(shè)A和B是兩個n階實對稱方陣，若存在一個n階的實可逆方陣P，使得B=PTAP則稱矩陣B與A合同，或稱B與A相和。合同關(guān)系:自反性; 對稱性; 傳遞性.等價關(guān)系10三. 實二次型

3、在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形定理：若A是一個n階實對稱方陣，則存在n階正交矩陣P，使得PTAP成為一個對角矩陣 = diag(1, 2, , n)其中對角線上的數(shù)字恰好是矩陣A的特征值，稱該對角矩陣為矩陣A在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形; 而把關(guān)于變量Y的二次型1y12 + 2y22 + + nyn2稱為二次型XTAX在正交變換之下的標(biāo)準(zhǔn)形，其中X=PY。11證明：（歸納法） 顯然，當(dāng)n = 1時定理成立。設(shè)n = k時定理成立;下面證明n = k + 1定理依然成立。設(shè)1是實對稱方陣A的一個特征值，p1是A的與之對應(yīng)的一個單位特征向量。選取另外k個k + 1維向量q1, q2, , qk，使得p1, q1,

4、q2, , qk構(gòu)成Rk+1空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。 記P1 = (p1, q1, q2, , qk),顯然P1是一個k + 1階的正交方陣。注意： AP1 = (1p1, Aq1, Aq2, , Aqk) 12記： 由于P1TAP1 = 仍是一個實對稱方陣,所以*必然一個k維0行向量，A1是一個k階實對稱方陣。 依據(jù)歸納假設(shè)，存在k階正交方陣Q, 使得QTA1Q = diag(2, 2, , k+1) 構(gòu)造k + 1階正交方陣 13顯然有： = diag(1, 2, ,k+1)記P = P1P2， 顯然P依然是一個k+1階正交方陣滿足PTAP = diag(1, 2, ,k+1) 證畢 推論:

5、 設(shè)A為n階實對稱方陣, 是A的特征方程的k重根, 則與對應(yīng)的、線性無關(guān)的特征向量恰有k個。也就是說方陣A - E的秩恰好等于n k.14例2.在正交變換之下求下列二次型的標(biāo)準(zhǔn)型 . 解： 首先把二次型寫成矩陣的形式15然后求該對稱矩陣的特征值 16該方陣的特征值為3，3，6，6; 在正交變換X = PY之下該方陣的標(biāo)準(zhǔn)形為diag(3, 3, 6, 6); 該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為:3y12 + 3y22 + 6y32 + 6y42.為了確定正交方陣P,我們需要再求方陣A的特征向量.17解方程組： 得方陣A關(guān)于特征值3的特征向量: 18解方程組： 得方陣A關(guān)于特征值6的特征向量:19最后利用Schmidt正交化過程，把所得到的特征向量正交化:取 取 20令: 21例3. 由方程-7x2 y2 z2 + 8xy + 8xz + 16yz = 1確定的曲面是一個什么樣的二次曲面？試在正交變換之下把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形.解： 首先把方程寫成矩陣的形式：然后計算該方陣的特征值.22,該方陣的特征值為： 9 -9 -9 23計算方陣與特征值9對應(yīng)的特征向量 計算方陣與特征值-9對應(yīng)的特征向量 24最后把所得到的特征