2022年三角函數(shù)解題技巧與公式技巧歸納以與練習(xí)題

1、淺論關(guān)于三角函數(shù)的幾種解題技巧 本人在十多年的職中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中,面對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容的相關(guān)教學(xué)時(shí),積存了一些解題方面的處理技巧以及心得、體會(huì)；下面嘗試進(jìn)行探討一下：一、關(guān)于sincos與sincos或sin2的關(guān)系的推廣應(yīng)用：故知道sincos,必可推出sincos或sin2,例如：1、由于sincos2sin2cos22sincos12sincos例 1 已知sincos3,求sin3cos3；,求3分析：由于sin3cos3sincossin2sincoscos 2的題型；sincossincos23sincos其中,sincos已知,只要求出sincos即可,此題是典型的知解：sincos

2、212sincos故：12sincos321sincos1333sin3cos3sincossincos23sincos3323131433333392、關(guān)于與,的關(guān)系應(yīng)用：1 / 19 由于sincossin2cos2sin12進(jìn)行運(yùn)算；由于sin12cossinsincoscos故：,sincos,三者中知其一可推出其余式子的值；例 2 如2,且,就 m2 n 的關(guān)系為（）；Am 2 Bm 2=21 Cm22 Dnnnm2分析：觀看與的關(guān)系：sincos21m2122而：tgctgsin1ncos故：m211m221,選 B；2nn的式子,就即可依據(jù)已知例 3 已知：4,就 2的值為（）；

3、 A1 B 21 C 21 D 414分析：sin14sincos1cos4故：sin22sincossin21；答案選 A；2例 4 已知：2,求sin4cos4分析：由上面例子已知,只要sin4cos4能化出含或cos2 / 19 sin cos 1,此題只要將 sin 4cos 4化成含 的式子即可：2解：sin 4cos 4sin 4cos 42 2 2-2 2 22 2 2 2 =（）- 22 =1-2 =1-2 1 22 = 1 12 = 12通過(guò)以上例子,可以得出以下結(jié)論：由于 sin cos,及 三者之間可以互化,知其一就必可知其余二；這種性質(zhì)適合于隱含此三項(xiàng)式子的三角式的運(yùn)算

4、；但有一點(diǎn)要留意的；假如通過(guò)已知,求含 sin cos 的式子,必需爭(zhēng)論其象限才能得出其結(jié)果的正、負(fù)號(hào)；這是由于（sin cos）2=1 2,要進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算才能求出 sin cos二、關(guān)于“ 托底” 方法的應(yīng)用：在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)運(yùn)算或證明題中,往往需要把式子添加分母,這常用在需把含（或）與含（或）的式子的互化中,本文把這種添配分母的方法叫做“ 托底” 法；方法如下：例 5 已知：3,求sin3cos的值；,“ 造出”,即托出底：；2sincos分析：由于tgsin,帶有分母,因此,可把原式分子、分母各項(xiàng)除以cos解：由于3k2cos0故,原式 =sin3costgcos 2 sin cosco

5、s cos32333102 tg1cos3 / 19 例 6 已知： -3 ,求2=. 4 有所不同,式子本身沒(méi)有分母,為了使原式先顯現(xiàn)分母,利分析：由于ctgcos,故必將式子化成含有cos的形式,而此題與例sinsin用公式：sin2cos 21及托底法托出其分母,然后再分子、分母分別除以,造出：解：sin2cos21sincoscos2sincoscos2sin2cos2分子,分母同除以sin2coscos sincos sin22ctgctg2sinctg2133 26113 25例 7 （95 年全國(guó)成人高考理、工科數(shù)學(xué)試卷）設(shè)0 x2, 0y2,且sinxsinysin3x sin

6、6y ,由于0 x20,y2,故sinx0,siny0,求：ctgx3ctgy3的值3分析：此題是典型已知含正弦函數(shù)的等式求含正切、余切的式子,故要用“ 托底法”在等式兩邊同除以sinxsiny,托出分母sinxsiny為底,得：解：由已知等式兩邊同除以sinxsiny得：4 / 19 sin3xsin6y1sin3coscos3sinxsin6cosycos6siny1tgsin,ctgcos,即正切、余切sinxsinysinxsiny13cosxxsinxcosysin3siny14siny13 ctgx1 ctgy3143ctgx3ctgy3 143 ctgx3 ctgy3 4333“

7、 托底” 適用于通過(guò)同角的含正弦及余弦的式子與含正切、余切的式子的互化的運(yùn)算；由于cossin與正弦、余弦間是比值關(guān)系,故它們間的互化需“ 托底”,通過(guò)保持式子數(shù)值不變的情形下添加分母的方法,使它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,達(dá)到依據(jù)已知求值的目的；而添加分母的方法主要有兩種：一種利用sin2cos21,把sin2cos2作為分母,并不轉(zhuǎn)變?cè)降闹?另一種是通過(guò)等式兩邊同時(shí)除以正弦或余弦又或者它們的積,產(chǎn)生分母；三、關(guān)于形如：a cos x b sin x 的式子,在解決三角函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用：可以從公式 sin A cos x cos A sin x sin A x 中得到啟示：式子 a cos

8、x b sin x 與上述公式有點(diǎn)相像,假如把 a,b 部分變成含,的式子,就形如 a cos x b sin x 的式子都可以變成含 sin A x 的式子,由于 -1 sin A x 1,所以,可考慮用其進(jìn)行求極值問(wèn)題的處理,但要留意一點(diǎn)：不能直接把 a 當(dāng)成, b 當(dāng)成,如式子：3 cos x 4 sin x 中,不能設(shè) 3,4,考慮：-1 1,-1 1,可以如下處理式子：acosxbsinxa2b2a2ab2cosxa2bb2sinx5 / 19 由于a2ab22a2bb221；1sinA,即：2cosAsinAabb2故可設(shè)：sinAa2ab2,就cosA2acosxbsinxa2b

9、2sinAcosxcosAsinx ab2xb2無(wú)論Ax取何值, -1 A x 1,a2b2a2b2sinAx a2即：a2b2acosxbsinxa2b 2下面觀看此式在解決實(shí)際極值問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用：例 1（98 年全國(guó)成人高考數(shù)學(xué)考試卷）求：函數(shù)y3cos2xsinxcosx的最大值為（）31變成含cso2 的式子：cos2x2cos2x1cos2xcos2x1 A13 B31 C13 D22分析：sinxcos12sinxcosx1sin2x,再想方法把cos2x222于是：y3cos2x11sin2x223cos2x31sin2x2223cos2x1sin2x32226 / 19 由于這里

10、：a3,b1,就a2b23212132222y13cos2x1sin2x 3222A1 y 13設(shè)：sinAa2ab223, 就cos122ysinAcos2xcosAsin2x3213sinA2x32無(wú)論 2x 取何值,都有 -1 2x 1,故22 y 的最大值為13,即答案選 A；2例 2 （96 年全國(guó)成人高考理工科數(shù)學(xué)試卷）在 中,已知： 2,1,3 ,分別在邊、上任取點(diǎn) D、E、F,使 為正三角形,記 ,問(wèn)： 取何值時(shí), 的邊長(zhǎng)最短？并求此最 短邊長(zhǎng)；分析：第一,由于BC2CA212324AB2,可知 為 ,其中為斜邊,所對(duì)角C為直角,又由于sinABC1,故A30,AB27 / 1

11、9 就90 60 ,由于此題要運(yùn)算 的最短邊長(zhǎng),故必要設(shè)正 的邊長(zhǎng)為 l ,且要列出有關(guān) l 為未知數(shù)的方程,對(duì) l 進(jìn)行求解；觀看 ,已知：60 , l ,再想方法找出另兩個(gè)量,即可依據(jù)正弦定理列出等式,從而產(chǎn)生關(guān)于 l 的方程；在圖中,由于 l ,就 1- l ；而 1=180 + 1=18060 , 60在 中,依據(jù)正弦定理：sinBFlDEBl1lcos3lcoslsinBDEsinsinsinsin603 2 13 2lcos23l3cos2sin3 2cossin有最大值,觀看：3cossin,a3,b1a22 b322 172在這里,要使 l 有最小值,必需分母：22223cos

12、sin721cos277sin227設(shè)：sin A21,就cosA277cosAsin7故：3cossin7sinAcos228 / 19 7sinA23cossin的最大值為7 ；223即： l 的最小值為：221772而 sin A 取最大值為 1 時(shí),A 2 k 2 k A2 2sin sin 2 k A cos A 2 72 7即：sin 2 7時(shí), 的邊長(zhǎng)最短,最短邊長(zhǎng)為 21 ；7 7從以上例子可知,形如 a cos x b sin x 適合于運(yùn)算三角形函數(shù)的極值問(wèn)題；運(yùn)算極值時(shí)與式子的加、減是無(wú)關(guān),與 a 2b 2的最值有關(guān)；其中最大值為 a 2b 2,最小值為 a 2b 2；在

13、運(yùn)算三角函數(shù)的極值應(yīng)用題時(shí),只要找出形如 a cos x b sin x 的關(guān)系式,即能依據(jù)題意,求出相關(guān)的極值；三角函數(shù)學(xué)問(wèn)點(diǎn)解題方法總結(jié)9 / 19 一、見(jiàn)“ 給角求值” 問(wèn)題,運(yùn)用“ 新興” 誘導(dǎo)公式 一步到位轉(zhuǎn)換到區(qū)間（ - 90o,90o）的公式 . 1k + = - 1 k Z；2. k + = - 1 k Z；3. k + = - 1 k Z；4. k + = - 1 k Z.二、見(jiàn)“ ” 問(wèn)題,運(yùn)用三角“ 八卦圖”1 0或 0或 | 的終邊在、的區(qū)域內(nèi) ; 4 |“ 化弦為一” ：已知 , 求 與 的齊次式,有些整式情形仍可以視其分母為1,轉(zhuǎn)化為22 .六、見(jiàn)“ 正弦值或角的平

14、方差” 形式,啟用“ 平方差” 公式：1 + - = 22 ;2. + - = 22 .七、見(jiàn)“ 與 ” 問(wèn)題,起用平方法就： 2=1 2 =1 2 , 故10 / 19 1. 如 , 且 t 22, 就 2 2- 12 ;2. 如 , 且 t 22, 就 2 =1 22 .八、見(jiàn)“ 與 ” 問(wèn)題,啟用變形公式 : + 1 . 摸索： =？九、見(jiàn)三角函數(shù)“ 對(duì)稱” 問(wèn)題,啟用圖象特點(diǎn)代數(shù)關(guān)系：A 01. 函數(shù) 和函數(shù) 的圖象,關(guān)于過(guò)最值點(diǎn)且平行于 y 軸的直線分別成軸對(duì)稱；2. 函數(shù) 和函數(shù) 的圖象,關(guān)于其中間零點(diǎn)分別成中心對(duì)稱；3. 同樣,利用圖象也可以得到函數(shù) 和函數(shù) 的對(duì)稱性質(zhì)；十、見(jiàn)“ 求最值、值域” 問(wèn)題,啟用有界性,或者幫助角公式：111;2. 2=a 222 a 22; 3 有解的充要條件是 a 22c 2. 十一、見(jiàn)“ 高次” ,用降冪,見(jiàn)“ 復(fù)角” ,用轉(zhuǎn)化 . 121-2 22 21. 2.2+;2- 等角函數(shù)公式11 / 19 兩角和公式 =/1 =/1 =1/ =1/ 倍角公式221-2 22-2=22 -1=1-2