2023高考科學(xué)復(fù)習解決方案-數(shù)學(xué)(名校內(nèi)參版) 第六章 6.1數(shù)列的概念及簡單表示法（word含答案解析）

1、61數(shù)列的概念及簡單表示法(教師獨具內(nèi)容)1能通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實例，了解數(shù)列的概念和表示方法(列表法、圖象法、通項公式法).2了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)，掌握利用遞推關(guān)系構(gòu)造等差或等比數(shù)列求通項公式3重點提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)(教師獨具內(nèi)容)本考點在高考中一般以選擇題、填空題形式進行考查，難度較低，以考查an與Sn的關(guān)系為主(教師獨具內(nèi)容)(教師獨具內(nèi)容)1數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照 eq o(,sup3(01)確定的順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的 eq o(,sup3(02)每一個數(shù)數(shù)列的通項數(shù)列an的第n項an通項公式數(shù)列an的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)

2、系可以用一個式子來表示，這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式數(shù)列an的前n項和數(shù)列an中，Sn eq o(,sup3(03)a1a2an叫做數(shù)列的前n項和2數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對應(yīng)關(guān)系圖象法把點 eq o(,sup3(01)(n，an)畫在平面直角坐標系中公式法通項公式把數(shù)列的通項使用 eq o(,sup3(02)一個式子表示的方法遞推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示數(shù)列的方法3an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項和為Sn，則an eq blc(avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)4數(shù)列的分類1在數(shù)列an中，a1 e

3、q f(1,2)，an1 eq f(1,an1)(n2，nN*)，則a2022()A eq f(1,2) B1C1 D2答案D解析a21 eq f(1,a1)121，a31 eq f(1,a2)112，a41 eq f(1,a3)1 eq f(1,2) eq f(1,2)，可得數(shù)列an是以3為周期的周期數(shù)列，所以a2022a36733a32.2根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an 答案5n4解析由a11514，a26524，a311534，可得an5n4.3數(shù)列an中，ann211n(nN*)，則此數(shù)列最大項的值是 答案30解析ann211n eq blc(rc)(

4、avs4alco1(nf(11,2) eq sup15(2) eq f(121,4)，因為nN*，所以當n5或n6時，an取最大值30.4在數(shù)列an中，已知a11，an14an1，則a3 答案21解析由題意，知a24a115，a34a2121.5已知數(shù)列an的前n項和Snn21，則an 答案 eq blc(avs4alco1(2，n1，,2n1，n2.)解析當n1時，a1S12，當n2時，anSnSn1n21(n1)212n1，a12不滿足上式，所以an eq blc(avs4alco1(2，n1，,2n1，n2.)1(2020全國卷)數(shù)列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak10

5、21525，則k()A2 B3 C4 D5答案C解析在等式amnaman中，令m1，可得an1ana12an， eq f(an1,an)2，數(shù)列an是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，an22n12n.ak1ak2ak10 eq f(ak1（1210）,12) eq f(2k1（1210）,12)2k1(2101)25(2101)，2k125，則k15，解得k4.故選C.2(2021全國乙卷)記Sn為數(shù)列an的前n項和，bn為數(shù)列Sn的前n項積已知 eq f(2,Sn) eq f(1,bn)2.(1)證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求an的通項公式解(1)證明：當n1時，b1S1，易得b1 eq

6、 f(3,2).當n2時， eq f(bn,bn1)Sn，代入 eq f(2,Sn) eq f(1,bn)2消去Sn，得 eq f(2bn1,bn) eq f(1,bn)2.化簡，得bnbn1 eq f(1,2).所以數(shù)列bn是以 eq f(3,2)為首項， eq f(1,2)為公差的等差數(shù)列(2)由題意可知a1S1b1 eq f(3,2).由(1)可得bn eq f(n2,2)，由 eq f(2,Sn) eq f(1,bn)2可得Sn eq f(n2,n1).當n2時，anSnSn1 eq f(n2,n1) eq f(n1,n) eq f(1,n（n1）)，顯然a1不滿足該式，所以an eq

7、 blc(avs4alco1(f(3,2)，n1，,f(1,n（n1）)，n2.)3(2020全國卷)設(shè)數(shù)列an滿足a13，an13an4n.(1)計算a2，a3，猜想an的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列2nan的前n項和Sn.解(1)a25，a37.猜想an2n1，證明如下：由已知可得an1(2n3)3an(2n1)，an(2n1)3an1(2n1)，a253(a13).因為a13，所以an2n1.(2)由(1)得2nan(2n1)2n，所以Sn32522723(2n1)2n.從而2Sn322523724(2n1)2n1.得Sn3222222322n(2n1)2n1.所以Sn(2n1)2n

8、12.一、基礎(chǔ)知識鞏固考點數(shù)列的有關(guān)概念及通項公式例1(2022長沙一中模擬)數(shù)列0， eq f(2,3)， eq f(4,5)， eq f(6,7)，的一個通項公式為()Aan eq f(n1,n2)(nN*)Ban eq f(n1,2n1)(nN*)Can eq f(2（n1）,2n1)(nN*)Dan eq f(2n,2n1)(nN*)答案C解析數(shù)列0， eq f(2,3)， eq f(4,5)， eq f(6,7)，的各項的分子是從0開始的偶數(shù)，分母比分子大1，所以它的一個通項公式可以為an eq f(2（n1）,2n1)(nN*)，故選C.例2(2021唐山模擬)已知數(shù)列an的前n項

9、和Sn滿足：SnSmSnm，且a110，那么a10()A1 B9 C10 D55答案C解析數(shù)列an的前n項和Sn滿足：SnSmSnm，a110，令n1，m9，代入可得S1S9S10，即S1S10S9，故a1a1010，故選C.1.(2021保定模擬)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以下排列的規(guī)律，則第20行從左向右的第3個數(shù)為()A193 B192C174 D173答案A解析根據(jù)題意，由三角形數(shù)陣可得，每一行的第一個數(shù)字依次為1，2，4，7，則第n行的第一個數(shù)字為 eq f(n（n1）,2)1，則第20行的第一個數(shù)字為191，故第20行從左向右的第3個數(shù)為193.故選A.2(2022武漢模

10、擬)如圖，圖1是棱長為1的小正方體，圖2、圖3是由這樣的小正方體擺放而成按照這樣的方法繼續(xù)擺放，自上而下分別叫第1層，第2層，第n層，若第n層的小正方體的個數(shù)記為Sn，則S7()A20 B28 C32 D36答案B解析由所給圖形知，S11，S212，S3123，按此規(guī)律可得Sn123n，所以第n層小正方體的個數(shù)Sn eq f(n（n1）,2)，于是得S7 eq f(7（71）,2)28.故選B.由前幾項歸納數(shù)列通項公式的常用方法及具體策略(1)常用方法觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法(2)具體策略分式中分子、分母的特征；相鄰項的

11、變化特征；各項的符號特征和絕對值特征；對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(1)k或(1)k1，kN*處理(3)由數(shù)列的特點(遞增及增長速度、遞減及遞減速度、是否為擺動數(shù)列)聯(lián)想基本數(shù)列，再考察它與基本數(shù)列的關(guān)系需要注意的是，對于無窮數(shù)列，利用前若干項歸納出的通項公式屬于“猜想”，而且表達式不一定唯一考點an與Sn的關(guān)系及其應(yīng)用例3(2022咸寧模擬)數(shù)列an的前n項和為Sn，若a11，an13Sn(n1)，則an等于()A34n B34n1C eq blc(avs4alco1(1，n1，,34n2，n2) D eq blc(avs4

12、alco1(1，n1，,34n21，n2)答案C解析由an13Sn，得an3Sn1(n2).兩式相減，得an1an3an(n2)，即an14an(n2)，又由a11，得a23a13，a24a1，所以當n2時，ana24n234n2.所以an eq blc(avs4alco1(1，n1，,34n2，n2.)故選C.例4(2021三明模擬)已知數(shù)列an的所有項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且Sn eq f(1,4)a eq oal(sup3(2),sdo1(n) eq f(1,2)an eq f(3,4)，則數(shù)列an的通項公式為()Aan2n1 Ban2n1Can4n1 Dan4n1答案B解析當n1

13、時，a1S1 eq f(1,4)a eq oal(sup3(2),sdo1(1) eq f(1,2)a1 eq f(3,4)，整理，得a eq oal(sup3(2),sdo1(1)2a130，解得a13或a11，因為an0，所以a13，當n2時，anSnSn1 eq f(1,4)a eq oal(sup3(2),sdo1(n) eq f(1,2)an eq f(3,4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)a eq oal(sup3(2),sdo1(n1)f(1,2)an1f(3,4) eq f(1,4)a eq oal(sup3(2),sdo1(n) eq f(1,4)a

14、 eq oal(sup3(2),sdo1(n1) eq f(1,2)an eq f(1,2)an1，整理，得a eq oal(sup3(2),sdo1(n)a eq oal(sup3(2),sdo1(n1)2an2an10，即(anan1)(anan12)0，因為anan10，所以anan12，所以數(shù)列an是以a13為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以an32(n1)2n1，故選B.3.(2022河北高三三模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若Snnan，且S2S4S6S603720，則a1()A8 B6 C4 D2答案C解析因為Snnan，所以Snn(SnSn1)，n2.所以nSn1(n1)Sn，

15、n2.變形，得 eq f(Sn1,n1) eq f(Sn,n)，n2.所以數(shù)列 eq blcrc(avs4alco1(f(Sn,n)是每項均為S1的常數(shù)列所以 eq f(Sn,n)S1，即SnnS1na1.又因為S2S4S6S603720，所以2a14a16a160a1(24660)a1 eq f(3062,2)a13720.解得a14，故選C.4(2021廣東高三模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，若2Sn3an2(nN*)，則 eq f(2S10,a62)()A243 B244 C245 D246答案B解析由題意得2Sn3an2，2Sn13an12(n2)，2a13a12，a12.所以2an

16、3an3an1.所以an3an1.所以數(shù)列an是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以S10 eq f(2（1310）,13)3101(351)(351)，a6223522(351)，所以 eq f(2S10,a62)351244.故選B.對含有an與Sn的遞推式的兩種處理思路(1)轉(zhuǎn)化為項項關(guān)系：先寫出一個對應(yīng)的等式，如將遞推式中的“n”都換成“n1”，再利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化為“項項遞推式”，以便構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題(2)轉(zhuǎn)化為和和關(guān)系：借助an1Sn1Sn或anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化為“和和遞推式”，以便構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，最后活用等差數(shù)列或等比數(shù)列的性質(zhì)求解考點由

17、遞推關(guān)系研究數(shù)列的周期性例5(2021沈陽模擬)已知數(shù)列an中，a11，an1 eq f(1,1an)，則a2021()A1 B eq f(1,2) C2 D1答案B解析當n1時，a2 eq f(1,1a1) eq f(1,2)，當n2時，a3 eq f(1,1a2)2，當n3時，a4 eq f(1,1a3)1，當n4時，a5 eq f(1,1a4) eq f(1,2)，所以數(shù)列an的周期為3，因為202136732，所以a2021a2 eq f(1,2).故選B.例6(2021河北衡水中學(xué)第二次聯(lián)考)若P(n)表示正整數(shù)n的個位數(shù)字，anP(n2)P(2n)，數(shù)列an的前n項和為Sn，則S2

18、021()A1 B0 C1009 D1011答案C解析由題意得a11，a20，a33，a42，a55，a64，a75，a82，a97，a100，a111，a120，所以數(shù)列an為周期數(shù)列，且周期為10，因為S105，所以S20215202(1)1009，故選C.5.(2022廣東佛山一中模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1 eq f(4,5)，an1 eq blc(avs4alco1(2an，0anf(1,2)，,2an1，f(1,2)an1，)則S2022等于()A eq f(5054,5) B eq f(5057,5)C eq f(5058,5) D eq f(5059,5)答案B解

19、析因為a1 eq f(4,5)，an1 eq blc(avs4alco1(2an，0anf(1,2)，,2an1，f(1,2)an1，)所以a22a11 eq f(3,5)，a32a21 eq f(1,5)，a42a3 eq f(2,5)，a52a4 eq f(4,5)，各項值以4為周期重復(fù)出現(xiàn)，所以an4an.因為a1a2a3a4 eq f(4,5) eq f(3,5) eq f(1,5) eq f(2,5)2，202250542，所以S20225052 eq f(4,5) eq f(3,5) eq f(5057,5).故選B.6(2021內(nèi)蒙古呼和浩特一模)若數(shù)列an滿足a12，an1 e

20、q f(1an,1an)(nN*)，則該數(shù)列的前2021項的乘積是()A2 B1 C2 D1答案C解析由遞推關(guān)系式，得an2 eq f(1an1,1an1) eq f(1f(1an,1an),1f(1an,1an) eq f(1,an)，則an4 eq f(1,an2)an，an是以4為周期的一個周期數(shù)列計算可得a12，a23，a3 eq f(1,2)，a4 eq f(1,3)，a52，a1a2a3a41，a1a2a2020a2021a2021a12.故選C.(1)求數(shù)列中的某一項的值，當該項的序號較大時，應(yīng)考慮數(shù)列是否具有周期性，利用周期性即可求出該數(shù)列中的某一項，具體求解過程為：先根據(jù)已知

21、條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值(2)由遞推關(guān)系可以找到相鄰項之間的關(guān)系，從而確定數(shù)列是否具有周期性考點數(shù)列的單調(diào)性及數(shù)列的最大(小)項例7(2021龍巖模擬)若an2n2tn3(t為常數(shù))，nN*，且數(shù)列an為遞增數(shù)列，則實數(shù)t的取值范圍為()At2Ct6答案D解析因為數(shù)列an為遞增數(shù)列，所以an1an，在nN*時恒成立所以an1an2(n1)2t(n1)3(2n2tn3)4n2t0，即t4n2在nN*時恒成立，而n1時，(4n2)max6，所以t6.故選D.7.(2021衡陽模擬)已知數(shù)列an的通項公式為an eq f(9n（n1）,10n)，則數(shù)列中的最大項為 答案

22、 eq f(99,108)解析設(shè)數(shù)列an中的第n項最大，則 eq blc(avs4alco1(anan1，,anan1，)即 eq blc(avs4alco1(f(9n（n1）,10n)f(9n1n,10n1)，,f(9n（n1）,10n)f(9n1（n2）,10n1)，)解得8n9.又nN*，則n8或n9.故數(shù)列an中的最大項為第8項和第9項，且a8a9 eq f(99,108).(1)求參數(shù)的范圍問題，常常與已知數(shù)列的單調(diào)性有關(guān)，因此解決這類問題，需要先判斷該數(shù)列的單調(diào)性(2)求數(shù)列最大項的方法：設(shè)數(shù)列an中的第n項最大，建立不等式組求解即可得出結(jié)果二、核心素養(yǎng)提升例1(2021張家界模擬

23、)已知數(shù)列an滿足an1 eq f(an,2an1)，a11，數(shù)列bn滿足b11，bnbn1 eq f(1,an)(n2)，則數(shù)列 eq blcrc(avs4alco1(f(bn13,n)的最小值為()A eq f(29,4) B eq f(22,3)C2 eq r(13) D eq f(43,6)答案A解析因為an1 eq f(an,2an1)，a11，所以 eq f(1,an1) eq f(1,an)2，即 eq f(1,an1) eq f(1,an)2， eq f(1,a1)1，所以數(shù)列 eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以 eq f

24、(1,an)12(n1)2n1，因為數(shù)列bn滿足b11，bnbn1 eq f(1,an)2n1(n2)，所以bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(2n1)(2n3)31 eq f(n（2n11）,2)n2，當n1時也成立，所以 eq f(bn13,n) eq f(n213,n)n eq f(13,n).設(shè)f(x)x eq f(13,x)，x1，)，則f(x)1 eq f(13,x2) eq f(x213,x2).所以函數(shù)f(x)在(1， eq r(13)上單調(diào)遞減；在( eq r(13)，)上單調(diào)遞增而f(3)3 eq f(13,3)7 eq f(1,3)，f(4)4 eq f(

25、13,4)7 eq f(1,4)，所以數(shù)列 eq blcrc(avs4alco1(f(bn13,n)的最小值為 eq f(29,4).故選A.例2(2022南昌模擬)設(shè)函數(shù)f(x) eq blc(avs4alco1(（3a）x3，x7，,ax6，x7，)數(shù)列an滿足anf(n)，nN*，且數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是()A(2，3 B(1，3)C(2，3) D eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)答案C解析因為anf(n)，f(x) eq blc(avs4alco1(（3a）x3，x7，,ax6，x7，)所以an eq blc(avs4alco1(（3a）n3

26、，n7，,an6，n7.)因為數(shù)列an是遞增數(shù)列，所以 eq blc(avs4alco1(3a0，,a1，,a2187a.)解得 eq blc(avs4alco1(a1，,a2或a9，)即2a3.故選C.課時作業(yè)一、單項選擇題1(2022桂林模擬)下列說法錯誤的是()A遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法Banan1(n2)，a11是遞推公式C表示數(shù)列的方法只有圖象法、列表法、通項公式法Dan2an1(n2)，a12是遞推公式答案C解析根據(jù)遞推公式和數(shù)列的第一項，我們也可以確定數(shù)列，故A正確；anan1(n2)與an2an1(n2)，這兩個關(guān)系式雖然比較特殊，但都表示的是數(shù)列中的任意相鄰兩項間的關(guān)系

27、，所以都是遞推公式，故B，D正確；通過圖象、列表、通項公式我們可以確定一個數(shù)列，但是還可以有其他形式，比如列舉法，故C錯誤故選C.2由1，3，5，2n1，構(gòu)成數(shù)列an，數(shù)列bn滿足b12，當n2時，bnabn1，則b6的值是()A9 B17 C33 D65答案C解析因為數(shù)列an的通項公式為an2n1，而n2時，bnabn1，又b12，則b2ab1a23，b3ab2a35，b4ab3a59，b5ab4a917，b6ab5a1733.故選C.3(2022合肥模擬)若(1)na2 eq f(（1）n1,n)對任意nN*恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A eq blcrc)(avs4alco1(2，f

28、(3,2) B eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2)C eq blcrc(avs4alco1(2，f(3,2) D eq blc(rc(avs4alco1(2，f(3,2)答案A解析當n為偶數(shù)時，(1)na2 eq f(（1）n1,n)恒成立，即a2 eq f(1,n)恒成立，令an2 eq f(1,n)，則數(shù)列an是遞增數(shù)列，且其最小項為a2 eq f(3,2)，故a eq f(3,2)；當n為奇數(shù)時，(1)na2 eq f(（1）n1,n)恒成立，即a2 eq f(1,n)恒成立，令bn2 eq f(1,n)，則數(shù)列bn是遞增數(shù)列，且bn3，2)，故a2.綜上可得，實

29、數(shù)a的取值范圍是 eq blcrc)(avs4alco1(2，f(3,2).故選A.4把1，3，6，10，15，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的圓點可以排成一個正三角形(如圖所示).則第7個三角形數(shù)是()A27 B28 C29 D30答案B解析觀察三角形數(shù)的增長規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項比它的前一項多的點數(shù)正好是該項的序號，即anan1n(n2).所以第7個三角形數(shù)是a7a67a567156728.故選B.5已知數(shù)列an的通項公式為ann22n(nN*)，則“0，即2n12，即 eq f(2n1,2)對任意的nN*都成立，于是 eq f(3,2).由1可推得 eq f(3,2)，但反過來，由

30、eq f(3,2)不能得到1，因此“a2，所以B，C不正確故選AD.三、填空題11(2021鹽城模擬)在數(shù)列an中，a11，an eq f(2S eq oal(sup3(2),sdo1(n),2Sn1)(n2)，則an的通項公式為 答案an eq blc(avs4alco1(1，n1，,f(1,2n1)f(1,2n3)，n2)解析因為當n2時，anSnSn1，所以SnSn1 eq f(2S eq oal(sup3(2),sdo1(n),2Sn1).所以2S eq oal(sup3(2),sdo1(n)Sn2SnSn1Sn12S eq oal(sup3(2),sdo1(n).整理，得Sn1Sn2

31、SnSn1.所以 eq f(1,Sn) eq f(1,Sn1)2.所以數(shù)列 eq blcrc(avs4alco1(f(1,Sn)是首項為 eq f(1,S1)1，公差為2的等差數(shù)列所以 eq f(1,Sn) eq f(1,S1)(n1)22n1.所以Sn eq f(1,2n1).所以當n2時，anSnSn1 eq f(1,2n1) eq f(1,2（n1）1) eq f(1,2n1) eq f(1,2n3)，但當n1時，a11不滿足上式，所以an eq blc(avs4alco1(1，n1，,f(1,2n1)f(1,2n3)，n2.)12設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列 eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)的前10項和為 答案 eq f(20,11)解析由題意，可知ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n eq f(n