矩陣分析第四章

1、 第四章 矩陣的分解 這章我們主要討論矩陣的五種分解：矩陣的滿秩分解，正交三角分解，奇異值分解，極分解，譜分解。 矩陣的滿秩分解定理：設 ，那么存在使得使得其中 為列滿秩矩陣， 為行滿秩矩陣。我們成此分解為矩陣的滿秩分解。證明：假設矩陣 的前 個列向量是線性無關的，對矩陣 只實施行初等變換可以將其化成即存在 使得于是有其中 如果 的前 列線性相關，那么只需對作列變換使得前 個列是線性無關的。然后重復上面的過程即可。這樣存在且滿足 從而其中例 ：分別求下面三個矩陣的滿秩分解解 ：（1）對此矩陣只實施行變換可以得到 由此可知 ，且該矩陣第一列，第三列是線性無關的。選取同樣，我們也可以選取解：（2）

2、對此矩陣只實施行變換可以得到所以 ，且此矩陣的第三，第四，第五列任意一列都是線性無關的，所以選取哪一列構成列滿秩矩陣均可以。選取也可以選取解：（3）對此矩陣只實施行變換可以得到 所以 ，且容易看出此矩陣的第二列和第四列是線性無關的，選取 由上述例子可以看出矩陣的滿秩分解形式并不唯一。一般地我們選取階梯型矩陣主元所在的列對應的列向量構成列滿秩矩陣，將階梯型矩陣全為零的行去掉后即可構成行滿秩矩陣。但是不同的分解形式之間有如下聯(lián)系：定理：如果 均為矩陣 的滿秩分解，那么（1） 存在矩陣 滿足（2） 矩陣的正交三角分解例： 設 ，那么 可唯一地分解為或其中 ， 是正線上三角矩陣， 是正線下三角矩陣。證

3、明：先證明分解的存在性。將矩陣 按列分塊得到由于 ，所以是線性無關的。利用Schmidt正交化與單位化方法，先得到一組正交向量組并且向量組之間有如下關系再單位化，這樣得到一組標準正交向量組其中 ，于是有其中 ，顯然矩陣 是一個正線上三角矩陣。 下面考慮分解的唯一性。設有兩種分解式那么有注意到 是酉矩陣，而 是一個正線上三角矩陣，由前面的結論可知因此有因為有 ，所以 ，按照分解的存在性可知其中 是正線上三角矩陣。于是其中 是正線下三角矩陣，而。 此結論也可以被推廣為定理：設 ，則 可以唯一地分解為其中 是 階正線上三角矩陣，即 是一個次酉矩陣。證明：分解的存在性證明，同上面的例題完全一樣。 分解

4、的唯一性證明。設則因為 是正定的Hermite 矩陣（為什么？），由正定二次型的等價定理可知，其三角分解是唯一的，故 ，進一步有 。例 1 ：求下列矩陣的正交三角分解解： （1）容易判斷出 ，即 是一個列滿秩矩陣。按照定理的證明過程，將 的三個列向量正交化與單位化。先得到一個正交向量組再將其單位化，得到一組標準正交向量組這樣，原來的向量組與標準正交向量之間的關系可表示成將上面的式子矩陣化，即為（2）首先判斷出 ，由定理可知必存在 ，以及三階正線上三角矩陣 使得推論：設 ，則 可分解為其中 ， 是 階正線上三角矩陣， 是 階正線下三角矩陣。 矩陣的奇異值分解引理 1 ：對于任何一個矩陣 都有引理

5、 2 ：對于任何一個矩陣 都有 與 都是半正定的Hermite-矩陣。 設 ， 是 的特征值， 是 的特征值，它們都是實數(shù)。如果記特征值 與 之間有如下關系。定理：設 ，那么。同時，我們稱為矩陣 的正奇異值，簡稱奇異值。例 ：求下列矩陣的奇異值解： （1）由于顯然 的特征值為5，0，0，所以 的奇異值為 （2）由于顯然 的特征值為 2，4，所以 的奇異值為 。 例 2 證明：正規(guī)矩陣的奇異值為其非零特征值的模長。定理：設 ，是 的 個奇異值，那么存在 階酉矩陣 和 階酉矩陣 使得 其中，且滿足 。證明： 由于 ，所以 的特征值為因為 是一個H-陣，所以存在 階酉矩陣 且滿足將酉矩陣 按列進行分

6、塊，記 ，其中于是有從而有記 ，這里 令 ，那么容易驗證選取 使得 是酉矩陣，則 由上述式子可得這里，要注意 。 我們稱此定理為奇異值分解定理。稱表達式為矩陣 的奇異值分解式。 如何求此分解表達式？特別要注意下面的關系式即由此可知 的列向量就是 的標準正交特征向量；而 的列向量就是 的標準正交特征向量。例 ：求下列矩陣的奇異值分解表達式解 ： （1）容易計算 的特征值為5，0，0，所以 的奇異值為 。下面計算的標準正交特征向量，解得分別與5，0，0對應的三個標準正交特征向量由這三個標準正交特征向量組成矩陣 ，所以有再計算 的標準正交特征向量，解得分別與5，0對應的兩個標準正交特征向量由這兩個標

7、準正交特征向量組成矩陣那么有于是可得奇異值分解式為解 ：（2）容易計算，那么 的非零奇異值為 ， 對應于特征值5，2的標準特征向量為由這兩個標準正交特征向量組成矩陣那么有再計算 的標準正交特征向量，解得分別與5，2，0，0對應的兩個標準正交特征向量由這四個標準正交特征向量組成矩陣 ，所以有于是可得奇異值分解式為練習：求下面矩陣的奇異值分解式推論：設 ， 是 的 個奇異值，那么存在次酉矩陣 使得 矩陣的極分解定理： 設 ，那么必存在酉矩陣 與正定的H-矩陣 使得且這樣的分解式是唯一的。同時有。稱分解式 為矩陣 的極分解表達式。定理：設 ，則存在 與半正定H-矩陣 使得且滿足證明：根據(jù)矩陣的奇異值

8、分解定理可知，存在酉矩陣 使得 其中， 為 的 個奇異值。于是有如果令從而有其中 是半正定的H-矩陣， 是 酉矩陣。 由上面的結論可以給出正規(guī)矩陣的另外一種刻劃。定理：設 ，則 是正規(guī)矩陣的充分必要條件是其中 是半正定的H-矩陣， 是酉矩陣，且 矩陣的譜分解 我們主要討論兩種矩陣的普分解：正規(guī)矩陣與可對角化矩陣。 設 為正規(guī)矩陣，那么存在使得其中 是矩陣 的特征值 所對應的單位特征向量。我們稱上式為正規(guī)矩陣 的譜分解表達式。 設正規(guī)矩陣 有 個互異的特征值 ，特征值 的代數(shù)重數(shù)為 ， 所對應的個兩兩正交的單位特征向量為 ，則 的譜分解表達式又可以寫成其中 ，并且顯然有 有上面的譜分解表達式又可

9、以給出正規(guī)矩陣的一種刻劃。定理： 設 為一個 階矩陣，其有 個互異的特征值 ， 的代數(shù)重數(shù)為 ， 那么 為正規(guī)矩陣的充分必要條件是存在 個 階矩陣 且滿足（6）滿足上述性質(zhì)的矩陣 是唯一的。我們稱 為正交投影矩陣。例 1 ： 求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。解：首先求出矩陣 的特征值與特征向量。容易計算從而 的特征值為當 時，求得三個線性無關的特征向量為當 時，求得一個線性無關的特征向量為將 正交化與單位化可得將 單位化可得：于是有這樣可得其譜分解表達式為例 2 ： 求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。解：首先求出矩陣 的特征值與特征向量。容易計算從而 的特征值為可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關的特征向量再將其單位化可得三個標準正交的特征向量于是有這樣可得其譜分解表達式為練習：求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。 下面我們討論可對角化矩陣的譜分解表達式。 設 是一個 階可對角化的矩陣，特征值為 ，與其相應的特征向量分別為 ，如果記那么其中由于 ，所以有又由于 ，從而現(xiàn)在觀察矩陣 與列向量 之間的關系：這說明矩陣 的列向量是矩陣 的特征向量。另外注意到 可對角