高中物理競賽解題方法六、遞推法

1、 PAGE 14方法簡介高中物理競賽解題方法六、遞推法遞推法是解決物體與物體發(fā)生多次作用后的情況.即當問題中涉及相互聯(lián)系的物體較多并且有規(guī)律時，應根據(jù)題目特點應用數(shù)學思想將所研究的問題歸類，然后求出通式.具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結論.再根據(jù)多次作用的重復性和它們的共同點，把結論推廣，然后結合數(shù)學知識求解.用遞推法解題的關鍵是導出聯(lián)系相鄰兩次作用的遞推關系式 .塞題精析例 1質點以加速度a 從靜止出發(fā)做直線運動，在某時刻t ，加速度變?yōu)?a；在時刻 2t ， 加速度變?yōu)?a；在nt 時刻，加速度變?yōu)椋╪+1） a，求：（ 1） nt 時刻質點的速度；（ 2） nt 時間內通過的總路

2、程.解析根據(jù)遞推法的思想，從特殊到一般找到規(guī)律，然后求解.（ 1）物質在某時刻t 末的速度為vtat2t 末的速度為v2 tvt2at, 所以v2tat2at3t 末的速度為v2 tv2t3atat2at3at則 nt 末的速度為vntv( ntnatat2atat1 (n 23atn(n1 n(n21)atatnatat (123n)（ 2）同理：可推得nt 內通過的總路程s1 n(n 121)( 2nat 2 .2例 2小球從高 h0180m 處自由下落，著地后跳起又下落，每與地面相碰一次，速度減小 1 (nn，求小球從下落到停止經(jīng)過的總時間為通過的總路程. （ g 取 10m/s ）解析

3、小球從 h0 高處落地時，速率v02gh060m / s0第一次跳起時和又落地時的速率v1v0 / 22第二次跳起時和又落地時的速率vv/ 2 2第 m次跳起時和又落地時的速率mvmv0 / 2每次跳起的高度依次h1h0v22gn 2,h2h0v22gn4 ，通過的總路程h0h2h12h02h2(112hm11)0n2h2h020n1n 2n4n212h0n1n2 m5h032300m經(jīng)過的總時間為t 0v0gt1t22v1 gtm2vm gv0 121gn)v0 ( n1gn12 ( 1 ) mn3v0 g18s例 3 A 、B、C 三只獵犬站立的位置構成一個邊長為 a 的正三角形，每只獵犬

4、追捕獵物的速度均為 v，A 犬想追捕 B 犬， B 犬想追捕 C犬， C 犬想追捕 A 犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調整方向，速度方向始終“盯”住對方，它們同時起動，經(jīng)多長時間可捕捉到獵物？解析由題意可知，由題意可知，三只獵犬都做等速率曲線運動，而且任一時刻三只獵犬的位置都分別在一個正三角形的三個頂點上，但這正三角形的邊長不斷減小，如圖6 1所示 . 所以要想求出捕捉的時間，則需用微元法將等速率曲線運動變成等速率直線運動，再用遞推法求解.設經(jīng)時間t 可捕捉獵物， 再把 t 分為 n 個微小時間間隔t ，在每一個 t 內每只獵犬的運動可視為直線運動，每隔t ，正三角形的邊長分別為a1、 a2、 a

5、3、 an ，顯然當an 0 時三只獵犬相遇.a1aAA1BB1 cos 60333avt, 2a 2a1vt 23a 3a 2vt2a2vt, 23a3vt, 2anan3 vt2因為 an3 vt0,2即 ntt2 a所以t3v此題還可用對稱法，在非慣性參考系中求解.例 4一列進站后的重載列車，車頭與各節(jié)車廂的質量相等，均為m，若一次直接起動， 車頭的牽引力能帶動30 節(jié)車廂，那么，利用倒退起動，該車頭能起動多少節(jié)同樣質量的車廂？解析若一次直接起動，車頭的牽引力需克服摩擦力做功，使各節(jié)車廂動能都增加，若利用倒退起動， 則車頭的牽引力需克服摩擦力做的總功不變，但各節(jié)車廂起動的動能則不同.原來

6、掛鉤之間是張緊的，倒退后掛鉤間存在s 的寬松距離，設火車的牽引力為F，則有：車頭起動時，有( Fmg)s12mv1拉第一節(jié)車廂時：(mm)v12mv1v2故有1121Fv(1g)s4(F22mmg)s1 222mv 212mv 212拉第二節(jié)車廂時：(m2m)v22mv222故同樣可得：v 24 v22F5 (g)s推理可得9v(2nFnn1m3m32n1g )s 32由 vn0可得 : F2n1mg3另由題意知F31 mg, 得n46因此該車頭倒退起動時，能起動45 節(jié)相同質量的車廂.例 5有 n 塊質量均為m，厚度為d 的相同磚塊，平放在水平地面上，現(xiàn)將它們一塊一塊地疊放起來，如圖62 所

7、示，人至少做多少功？解析將平放在水平地面上的磚一塊一塊地疊放起來，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地計算遞推出通式計算.將第 2 塊磚平放在第一塊磚上人至少需克服重力做功為W2mgd將第 3、4、 n 塊磚依次疊放起來，人克服重力至少所需做的功分別為W3mg2dW4mg3dW5mg 4dWnmg(n1)d所以將 n 塊磚疊放起來，至少做的總功為W=W1+W2+W3+Wnmgd mgdmg 2d n (n1)2mg3dmg(n1)d例 6如圖 63 所示，有六個完全相同的長條薄片Ai Bi (i1、2、 6）依次架在水平碗口上，一端擱在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不計薄片的質量）.

8、將質量為m的質點置于A1A6的中點處，試求：A1B1 薄片對 A6B6 的壓力 .解析本題共有六個物體，通過觀察會發(fā)現(xiàn)，A1B1、A2B2、A5B5 的受力情況完全相同，因此將A1B1、A2B2、A5B5 作為一類， 對其中一個進行受力分析，找出規(guī)律，求出通式即可求解.以第 i 個薄片 AB 為研究對象，受力情況如圖63 甲所示，第i 個薄片受到前一個薄片向上的支持力Ni 、碗邊向上的支持力和后一個薄片向下的壓力Ni +1. 選碗邊 B 點為軸，根據(jù)力矩平衡有NiLNi 1L ,得N 2Ni 12i1所以 N 1N 2211N322(1 )5 N62再以 A6B6 為研究對象，受力情況如圖6

9、3 乙所示， A6B6 受到薄片A5B5 向上的支持力N6 、碗向上的支持力和后一個薄片A1B1 向下的壓力N1、質點向下的壓力mg. 選 B6 點為軸，根據(jù)力矩平衡有N1Lmg3 L 24N 6LN1由、聯(lián)立，解得mg 42mg所以， A1B1 薄片對 A6B6 的壓力為.42例 7用 20 塊質量均勻分布的相同光滑積木塊，在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊長度為L，橫截面是邊長為h(hL / 4) 的正方形，要求此橋具有最大的跨度（即橋孔底寬） ，計算跨度與橋孔高度的比值.解析為了使搭成的單孔橋平衡，橋孔兩側應有相同的積木塊，從上往下計算，使積木塊均能保證平衡，要滿足合力

10、矩為零，平衡時，每塊積木塊都有最大伸出量，則單孔橋就有最大跨度，又由于每塊積木塊都有厚度，所以最大跨度與橋孔高度存在一比值.將從上到下的積木塊依次計為1、2、 n，顯然第 1 塊相對第2 塊的最大伸出量為xL12第 2 塊相對第3 塊的最大伸出量為x2 （如圖 64 所示），則Gx2 Lx24( Lx )G 22L22x3同理可得第3 塊的最大伸出量L 23n最后歸納得出xL2n所以總跨度k92xnn 111.32h跨度與橋孔高的比值為k11.32hH9h1.258例 8如圖 6 5 所示， 一排人站在沿x 軸的水平軌道旁，原點 O兩側的人的序號都記為n(n1,2,3） .每人只有一個沙袋，x

11、0一側的每個沙袋質量為m=14kg， x0 一側的每個沙袋質量m10kg .一質量為M=48kg 的小車以某初速度v0 從原點出發(fā)向正x 軸方向滑行 .不計軌道阻力.當車每經(jīng)過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度v 朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，v 的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n 倍. （n 是此人的序號數(shù)）（ 1）空車出發(fā)后，車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？（ 2）車上最終有大小沙袋共多少個？解析當人把沙袋以一定的速度朝與車速相反的方向沿車面扔到車上時，由動量守恒定律知，車速要減小，可見，當人不斷地把沙袋以一定的速度扔到車上，總有一時刻使車速反向或減小到零，如車能反向運動，則另

12、一邊的人還能將沙袋扔到車上，直到車速為零，則不能再扔，否則還能扔.小車以初速v0 沿正x軸方向運動，經(jīng)過第1 個（ n=1）人的身旁時，此人將沙袋以u2nv02v0 的水平速度扔到車上，由動量守恒得Mv 0m2v0(Mm)v1 , 當小車運動到第2 人身旁時，此人將沙袋以速度u2nv14v1 的水平速度扔到車上，同理有(Mm)v1m 2nv1(M2m)v2 ，所以，當?shù)趎 個沙袋拋上車后的車速為vn ，根據(jù)動量守恒有 M(n1) mvn 12nmvn 1(Mnm)vn,即vnM(n Mmvn 1 .nm同理有vn 1M(nM( nmvn1)m，若拋上（ n+1）包沙袋后車反向運動，則應有 vn

13、0, vn 10.即 M(n1)m0, M( n2) m0 .由此兩式解得：n38 ,n1420 , n 為整數(shù)取3.14當車反向滑行時，根據(jù)上面同樣推理可知，當向左運動到第n 個人身旁，拋上第n 包沙袋后由動量守恒定律有： M3m(n1)m vn 12m nvn 1( M3mnm )vn解得： vnM3m( n1)mvn 1同理vn 1M3m( n2) mvnM3mnmM3m( n1)m設拋上 n+1 個沙袋后車速反向，要求vn0, vn 10M3m(n1) m0n7即解得即拋上第8 個M3m(n2)m0n8沙袋后車就停止，所以車上最終有11 個沙袋 .例 9如圖 6 6 所示，一固定的斜面

14、，傾角45 ，斜面長 L=2.00 米.在斜面下端有一與斜面垂直的擋板.一質量為m的質點，從斜面的最高點沿斜面下滑，初速度為零.下滑到最底端與擋板發(fā)生彈性碰撞.已知質點與斜面間的動摩擦因數(shù)0.20 ，試求此質點從開始到發(fā)生第 11 次碰撞的過程中運動的總路程.解析因為質點每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求質點 從開始到發(fā)生n 次碰撞的過程中運動的總路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.設每次開始下滑時，小球距檔板為s則由功能關系：mg cos(s1s2 )mg( s1s2 ) sinmg cos(s2s3 )mg(s2s3 ) sins2s3即有s1s2sin sin

15、cos2cos3由此可見每次碰撞后通過的路程是一等比數(shù)列，其公比為2 .3在發(fā)生第11 次碰撞過程中的路程ss12(s12s2s22s3s32s11s11)s1s1121( 2 )11 3s1231012( 2 )11 (m)39.86(m)例 10如圖 6 7 所示，一水平放置的圓環(huán)形剛性窄槽固定在桌面上，槽內嵌著三個大小相同的剛性小球，它們的質量分別是m1、m2和 m3，m2=m3=2m1.小球與槽的兩壁剛好接觸而它們之間的摩擦可忽 略不計 .開始時，三球處在槽中、的位置，彼此間距離相等，m2 和 m3 靜止， m1 以初速v0R/ 2 沿槽運動， R 為圓環(huán)的內半徑和小球半徑之和，設各球

16、之間的碰撞皆為彈性碰撞，求此系統(tǒng)的運動周期T.解析當 m1 與 m2 發(fā)生彈性碰撞時， 由于 m2=2m1，所以 m1 碰后彈回， m2 向前與 m3 發(fā)生碰撞 .而又由于m2 =m3，所以m2 與 m3 碰后， m3 能靜止在m1 的位置， m1 又以 v 速度被反彈，可見碰撞又重復一次 .當 m1 回到初始位置，則系統(tǒng)為一個周期.以 m1、m2 為研究對象，當m1 與 m2 發(fā)生彈性碰撞后，根據(jù)動量守恒定律，能量守恒定律可寫出：m1v0m1v1m2v2mvmvmv1212121 01 122222由、式得：v1(m1m2 )1v0v02m12v2v0v0m1m23m1m232以 m2、m3

17、 為研究對象，當m2 與 m3 發(fā)生彈性碰撞后，得v3v03v20以 m3、m1 為研究對象，當m3 與 m1 發(fā)生彈性碰撞后，得v30v1v0由此可見， 當 m1 運動到 m2 處時與開始所處的狀態(tài)相似.所以碰撞使m1、m2、m3 交換位置，當 m1 再次回到原來位置時，所用的時間恰好就是系統(tǒng)的一個周期T，由此可得周期T3(ttt )3( 2R2 R2 R)10 R10R20(s).1233v0v03v0v0R 2例 11有許多質量為m 的木塊相互靠著沿一直線排列于光滑的水平面上.每相鄰的兩個木塊均用長為L 的柔繩連接著.現(xiàn)用大小為F 的恒力沿排列方向拉第一個木塊，以后各木塊依次被牽而運動，

18、求第n 個木塊被牽動時的速度.解析每一個木塊被拉動起來后，就和前面的木塊成為一體，共同做勻加速運動一段距離 L 后，把繩拉緊，再牽動下一個木塊.在繩子繃緊時，有部分機械能轉化為內能.因此，如果列出 ( nFL12nmvn 這樣的關系式是錯誤的.設第 (n2個木塊剛被拉動時的速度為vn 1 ，它即將拉動下一個木塊時速度增至vn 1 ，第 n 個木塊剛被拉動時速度為vn .對第 (n1) 個木塊開始運動到它把下一段繩子即將拉緊這一過程，由動能定理有：FL1 ( n 21) mv 21 (n21)mv 2nn 11對繩子把第n 個木塊拉動這一短暫過程，由動量守恒定律，有(n1) mvn 1nmvnn

19、得： vn 1vnn1n1把式代入式得：FL1 (n2m(n nv ) 2n11 (n21)mv2整理后得：(n1) 2FLmn 2 v2(n1) 2 v 2nn2v11式就是反映相鄰兩木塊被拉動時速度關系的遞推式，由式可知當 n=2 時有：2 FLm22 v 22當 n=3 時有： 2當 n=4 時有： 32FLm 2FLm32 v23442 v22 2 v 22332 v 2一般地有 (n1) 2 FLmn 2v 2(n1) 2 v2nn1將以上 (n1) 個等式相加，得：(1232FLn1)nv1m222n vnv1所以有n(n1)22FLmn2 v22在本題中 v10 ，所以 vnFL

20、(nnm1) .例 12如圖 6 8 所示，質量m=2kg 的平板小車，后端放有質量 M=3kg 的鐵塊，它和車之間動摩擦因數(shù)0.50. 開始時，車和鐵塊共同以v03m / s 的速度向右在光滑水平面上前進，并使車與墻發(fā)生正碰，設碰撞時間極短，碰撞無機械能損失，且車身足夠長，使得鐵塊總不能和墻相碰，求小車走過的總路程.解析小車與墻撞后，應以原速率彈回.鐵塊由于慣性繼續(xù)沿原來方向運動，由于鐵塊 和車的相互摩擦力作用，過一段時間后， 它們就會相對靜止，一起以相同的速度再向右運動， 然后車與墻發(fā)生第二次碰撞，碰后，又重復第一次碰后的情況.以后車與墻就這樣一次次碰撞下去 .車每與墻碰一次，鐵塊就相對于

21、車向前滑動一段距離，系統(tǒng)就有一部分機械能轉化為內能，車每次與墻碰后，就左、右往返一次，車的總路程就是每次往返的路程之和.設每次與墻碰后的速度分別為v1、v2、v3、 vn、車每次與墻碰后向左運動的最遠距離分別為s1、s2、s 3、 sn 、.以鐵塊運動方向為正方向，在車與墻第( n1) 次碰后到發(fā)生第 n 次碰撞之前，對車和鐵塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律有( Mm)vn 1( Mm)vn所以vnMmvn 1Mmvn 15由這一關系可得：v2v1, v35v1 , 52一般地，有vnv1, 5n 1由運動學公式可求出車與墻發(fā)生第n 次碰撞后向左運動的最遠距離為vv22s11n2a2a152n 2

22、類似地， 由這一關系可遞推到：s1所以車運動的總路程2v1, s22a2v112a52, s32v11,2a54, sn2v112a52 n 2s總2(s1s2s3sn)v221 (112a52v121a11154v1225a24152n 2)因此 v152v03m / sMg152am / sm2所以 s總5 (m)4例 13 10個相同的扁長木塊一個緊挨一個地放在水平地面上，如圖6 9 所示，每個木塊的質量m0.40kg, 長度l0.45m ，它們與地面間的靜摩擦因數(shù)和動摩擦因數(shù)均為20.10.原來木塊處于靜止狀態(tài).左方第一個木塊的左端上方放一個質量為M=1.0kg 的小鉛塊，它與木塊間的

23、靜摩擦因數(shù)和動摩擦因數(shù)均為10.20. 現(xiàn)突然給鉛塊一向右的初速度v04.3m / s ，使其在大木塊上滑行 .試確定鉛塊最后的位置在何處（落在地上還是停在哪塊木塊上）.重力加速度g 取10( m/ s) 2 ，設鉛塊的長度與木塊相比可以忽略.解析當鉛塊向右運動時，鉛塊與10 個相同的扁長木塊中的第一塊先發(fā)生摩擦力，若此摩擦力大于10 個扁長木塊與地面間的最大靜摩擦力，則10 個扁長木塊開始運動，若此摩擦力小于10 個扁長木塊與地面間的最大摩擦力，則10 個扁長木塊先靜止不動，隨著鉛塊的運動，總有一個時刻扁長木塊要運動，直到鉛塊與扁長木塊相對靜止，后又一起勻減速運動到停止 .鉛塊 M在木塊上滑

24、行所受到的滑動摩擦力f 11 Mg2.0N設 M可以帶動木塊的數(shù)目為n，則 n 滿足：f12 (Mm) g(n1)2 mg0即 2.01.40.4(n1)0上式中的n 只能取整數(shù)，所以n 只能取 2，也就是當M滑行到倒數(shù)第二個木塊時，剩下的兩個木塊將開始運動. 設鉛塊剛離開第8 個木塊時速度為v，則1 Mv 21 Mv 2Mg8l012得： v 222.49( m/ s) 20由此可見木塊還可以滑到第9 個木塊上 . M 在第 9 個木塊上運動如圖69 甲所示，則對M而言有：1MgMaM得： aM2.0m / s2第 9 及第 10 個木塊的動力學方程為：1Mg2 (Mm) g2 mg2mam

25、 ，得： am0.25m /s2 .設 M剛離開第9 個木塊上時速度為v ，而第 10 個木塊運動的速度為V，并設木塊運動的距離為s，則 M運動的距離為sl ，有：v 2v 22aM ( sl )2V2am svvaM tVamtv0.611m / sv0.26m/ s消去 s 及 t 求出：或，顯然后一解不合理應舍去.V0.212m/ sV0.23m / s因 vV，故 M將運動到第10 個木塊上 .再設 M運動到第 10 個木塊的邊緣時速度為v，這時木塊的速度為V，則：v 2v 22aM (sl )解得： v 21.634s0 ，故 M不能滑離第10 個木塊，只能停在它的表面上，最后和木塊

26、一起靜止在地面上.例 14如圖 6 10 所示，質量為m的長方形箱子，放在光滑 的水平地面上.箱內有一質量也為m的小滑塊，滑塊與箱底間無摩 擦.開始時箱子靜止不動，滑塊以恒定的速度v0 從箱子的A 壁處向B 處運動，后與B 壁碰撞 .假設滑塊與箱壁每碰撞一次，兩者相對1速度的大小變?yōu)樵摯闻鲎睬跋鄬λ俣鹊膃 倍， e4.2（ 1）要使滑塊與箱子這一系統(tǒng)消耗的總動能不超過其初始動能的40%，滑塊與箱壁最多可碰撞幾次？（ 2）從滑塊開始運動到剛完成上述次數(shù)的碰撞期間，箱子的平均速度是多少？解析由于滑塊與箱子在水平方向不受外力，故碰撞時系統(tǒng)水平方向動量守恒.根據(jù)題目給出的每次碰撞前后相對速度之比，可求

27、出每一次碰撞過程中動能的損耗. 滑塊開始運動到完成題目要求的碰撞期間箱子的平均速度，應等于這期間運動的總位移與總時間的比值.（ 1）滑塊與箱壁碰撞，碰后滑塊對地速度為v，箱子對地速度為u.由于題中每次碰撞的 e 是一樣的，故有：eu1v1u2v2unvnv0u0或ev1v1u1u1v2u2vn 1un 1vnun(e) nv00v1u1v1u1v2u2vn 1vnun 1unv0v1u1vn 1un 1即碰撞 n 次后 vnun(e) n v0碰撞第 n 次的動量守恒式是mvnmunmv0、聯(lián)立得vn1 12(e)n vu1 1n2(e) n v00第 n 次碰撞后，系統(tǒng)損失的動能EknEkE

28、kn12mv0212m(vn22un )01 mv221 mv2 (104e2n )1e2n 21e2n21 mv202Ek下面分別討論：E11e 21當 n1時,n2時,klEkEk 221e420.14621120.25Ek22n3時,Ek 3Ek111e6122220.323n4時,Ek 4Ek1e821140.3752n5時,Ek 51e10111420.412Ek22因為要求的動能損失不超過40%，故 n=4.（ 2）設 A、B 兩側壁的距離為L，則滑塊從開始運動到與箱壁發(fā)生第一次碰撞的時間tL0.在下一次發(fā)生碰撞的時間v0Lt1| u1v1 |Lev0，共碰撞四次，另兩次碰撞的時間

29、分別為 t 2L0e2v、 t3L0e3v，所以總時間tt0t1t 2t 3L20e3 v(1eee3 ).在這段時間中，箱子運動的距離是：s0u1t1u2t 2u3 t31(1e)v02LLL1(1ev02LLLe2 )v0LL0e 2 v1 (1e3 ) v02L0e3v2e2L(12e32e 2ee22e3 )2e32L(1ee2e3 )所以平均速度為：vs2e3v0Lt(1ee20e3 ve3 )2例 15 一容積為 1/4 升的抽氣機， 每分鐘可完成 8 次抽氣動作 . 一容積為 1 升的容器與此抽氣筒相連通 . 求抽氣機工作多長時間才能使容器內的氣體的壓強由76mmmHg降為1.9

30、mmHg.（在抽氣過程中容器內的溫度保持不變）解析 根據(jù)玻一馬定律，找出每抽氣一次壓強與容器容積和抽氣機容積及原壓強的關系，然后歸納遞推出抽 n 次的壓強表達式 .設氣體原壓強為p0，抽氣機的容積為V0，容器的容積為V.每抽一次壓強分別為p1、p2、 ，則由玻一馬定律得：第一次抽氣后：p0Vp1 (VV0 )第二次抽氣后：p1Vp2 (VV0 )依次遞推有：p2Vp3 (VV0 )n0pn 1Vpn (VV0 )n由以上 n 式得： pn(V)p VV0所以nlg lg( Vp0pnV0 )v代入已知得：nlg 400lg 1.2527 （次）工作時間為：t273.38 分鐘8例 16使一原來

31、不帶電的導體小球與一帶電量為Q的導體大球接觸，分開之后， 小球獲得電量q.今讓小球與大球反復接觸，在每次分開有后，都給大球補充電荷，使其帶電量恢復到原來的值Q. 求小球可能獲得的最大電量.解析兩個孤立導體相互接觸，相當于兩個對地電容并聯(lián)，設兩個導體球帶電Q1、 Q2，由于兩個導體球對地電壓相等，Q1Q2故有C1C2,即 Q1Q2C1, 亦即C2Q1Q1Q2C1k ，C1C2所以 Qk(Q1Q2 ), k 為常量， 此式表明： 帶電（或不帶電） 的小球跟帶電大球接觸后，小球所獲得的電量與總電量的比值不變，比值k 等于第一次帶電量q 與總電量 Q的比值，即kq . 根據(jù)此規(guī)律就可以求出小球可能獲得

32、的最大電量.Q設第 1、2、 n 次接觸后小球所帶的電量分別為q1 、 q2、，有：q1kQq2k(Qq3k(Qqq1 )q2 )qkq kQkq22qkqk qqnk(Qqn 1 )qkqk 2qk n 1q由于 k1，上式為無窮遞減等比數(shù)列，根據(jù)求和公式得：qqqQqn1k1qQqQ即小球與大球多次接觸后，獲得的最大電量為qQ.Qq例 17在如圖 6 11 所示的電路中， S 是一單刀雙擲開關，A1 和 A2 為兩個平行板電容器， S 擲向 a 時， A1 獲電荷電量為Q，當 S 再擲向 b 時， A2 獲電荷電量為q.問經(jīng)過很多次S 擲向a，再擲向b 后， A2 將獲得多少電量？解析S

33、擲向 a 時，電源給A1 充電， S 再擲向b，A1 給 A2 充電，在經(jīng)過很多次重復的過程中， A2 的帶電量越來越多，兩板間電壓越來越大.當 A2 的電壓等于電源電壓時，A2 的帶電量將不再增加.由此可知A2 最終將獲得電量q2=C2E.因為 QC1 EQ所以 C1E當 S 由 a 第一次擲向b 時，有： Qqq所以 C2Qq(Qq)EC1C 2q2解得 A2 最終獲得的電量QqQq例 18電路如圖6 12 所示，求當R 為何值時， RAB的阻值與“網(wǎng)絡”的“格”數(shù)無關？此時RAB的阻值等于什么？解析要使 RAB的阻值與 “網(wǎng)絡” 的“格” 數(shù)無關， 則圖中 CD間的阻值必須等于R 才行

34、.所以有( 2R 2 RR )2 RR R2R解得 R(51) R此時 AB間總電阻RAB(51) R例 19如圖 6 13 所示，在 x 軸上方有垂直于xy 平面向里15的勻強磁場，磁感應強度為B，在 x 軸下方有沿y 軸負方向的勻強電場，場強為E.一質量為m，電量為 q 的粒子從坐標原點O 沿著 y 軸方向射出 .射出之后，第三次到達x 軸時，它與O點的距離為 L.求此粒子射出時的速度v 和每次到達x 軸時運動的總路程 s. （重力不計）解析粒子進入磁場后做勻速圓周運動，經(jīng)半周后通過x軸進入電場后做勻減速直線運動，速度減為零后，又反向勻加速通過 x 軸進入磁場后又做勻速圓周運動，所以運動有

35、周期性. 它第 3 次到達 x 軸時距 O點的距離L 等于圓半徑的4 倍（如圖6 13 甲所示）粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為RmvLBq4所以粒子射出時的速度v粒子做圓周運動的半周長為BqL 4mLs14粒子以速度v 進入電場后做勻減速直線運動，能深入的最大距離為y，因為 v22ay2 Eq y mB 2qL2所以粒子在電場中進入一次通過的路程為粒子第 1 次到達 x 軸時通過的路程為s1s22yR16mEL 4LB2 qL2粒子第 2 次到達 x 軸時，已通過的路程為s2s1s2416mE粒子第 3 次到達 x 軸時，已通過的路程為s3s1s2s1LB 2 qL2216mE粒子第 4

36、次到達 x 軸時，已通過的路程為s42s12s2LB 2 qL228mE粒子第(2n次到達 x 軸時，已通過的路程為s( 2 n 1)ns1( n1)s2nL(n1) B qL22416mE16粒子第 2n 次到達 x 軸時，已通過的路程為上面 n 都取正整數(shù) .針對訓練s2 nn( s1s2 )n(L 4B 2 qL2)16mE一物體放在光滑水平面上，初速為零，先對物體施加一向東的恒力F，歷時 1 秒鐘，隨即把此力改為向西，大小不變，歷時1 秒鐘，接著又把此力改為向東，大小不變，歷時1秒鐘，如此反復，只改變力的方向，共歷時1 分鐘 .在此 1 分鐘內（）物體時而向東運動，時而向西運動，在1

37、分鐘末靜止于初始位置之東物體時而向東運動，時而向西運動，在1 分鐘末靜止于初始位置物體時而向東運動，時而向西運動，在1 分鐘末繼續(xù)向東運動物體一直向東運動，從不向西運動，在1 分鐘末靜止于初始位置之東一小球從距地面為H 的高度處由靜止開始落下.已知小球在空中運動時所受空氣阻力為球所受重力的k 倍 (k1) ，球每次與地面相碰前后的速率相等，試求小球從開始運動到停止運動，（ 1）總共通過的路程；（ 2）所經(jīng)歷的時間.如圖 6 14 所示，小球從長L 的光滑斜面頂端自由下滑，滑到底端時與擋板碰撞并反彈而回，若每次與擋板碰撞后的速度大小為 碰撞前的4/5 ，求小球從開始下滑到最終停止于斜面下端物體共

38、通過的路程 .如圖 6 15 所示，有一固定的斜面，傾角為45，斜面長為2米，在斜面下端有一與斜面垂直的擋板，一質量為m的質點， 從斜面的最高點沿斜面下滑，初速度為1 米/ 秒.質點沿斜面下滑到斜面最底端與擋板發(fā)生彈性碰撞.已知質點與斜面間的滑 動摩擦因數(shù)為0.20.（ 1）試求此質點從開始運動到與擋板發(fā)生第10 次碰撞的過程中通過的總路程；（ 2）求此質點從開始運動到最后停下來的過程中通過的總路程. 5有 5 個質量相同、其大小可不計的小木塊1、2、3、 4、5 等距離地依次放在傾角30 的斜面上（如圖6 16 所示） . 斜面在木塊 2 以上的部分是光滑的，以下部分是粗糙的，5 個木塊與斜

39、面粗糙部分之間的靜摩擦系數(shù)和滑動摩擦系數(shù)都是，開始時用手扶著木塊1，其余各木塊都靜止在斜面上.現(xiàn)在放手， 使木塊 1 自然下滑，并與木塊2 發(fā)生碰撞，接著陸續(xù)發(fā)生其他碰撞 .假設各木塊間的碰撞都是完全非彈性的.求取何值時木塊 4 能被撞而木塊5 不能被撞 .在一光滑水平的長直軌道上，等距離地放著足夠多的完全17 PAGE 19相同的質量為m的長方形木塊，依次編號為木塊1，木塊2，如圖6 17 所示 .在木塊 1 之前放一質量為M=4m的大木塊，大木塊與木塊 1 之間的距離與相鄰各木塊間的距離相同，均為 L.現(xiàn)在， 在所有木塊都靜止的情況下，以一沿軌道方向的恒力F 一直作用在大木塊上，使其先與木塊1 發(fā)生碰撞，設碰后與木塊1 結為一體再與木塊2 發(fā)生碰撞，碰后又結為一體，再與木塊3 發(fā)生碰撞，碰后又結為一體，如此繼續(xù)下去.今問大木塊（以及與之結為一體的各小木塊）與第幾個小木塊碰撞之前的一瞬間，會達到它在整個過程中的最大速度？此速度等于多少？k1有電量為Q1 的電荷均勻分布在一個半球面上，另有無數(shù)個電量均為Q2 的點電荷位于通過球心的