2023屆高考一輪復(fù)習(xí) 12.2第二節(jié)　合情推理與演繹推理 學(xué)案

1、第二節(jié)合情推理與演繹推理最新考綱1了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡單的歸納推理和類比推理2體會(huì)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用3了解演繹推理的含義，了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異，掌握演繹推理“三段論”能運(yùn)用“三段論”進(jìn)行一些簡單推理考向預(yù)測考情分析：以類比推理、歸納推理和演繹推理的推理方法為主，常以演繹推理的方法根據(jù)幾個(gè)人的不同說法作出推理判斷進(jìn)行命題在高考中以填空題的形式進(jìn)行考查，屬于中、高檔題學(xué)科素養(yǎng)：通過合情推理與演繹推理的應(yīng)用考查邏輯推理的核心素養(yǎng)積 累 必備知識(shí)基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1推理(1)定義：是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程(2)分類：推理_

2、，_2合情推理歸納推理類比推理定義由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的_的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出_的推理由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的_，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理特點(diǎn)由_到_、由_到_的推理由_到_的推理3.演繹推理(1)定義：從_出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理(2)特點(diǎn)：演繹推理是由_到_的推理(3)模式：三段論大前提：已知的_小前提：所研究的特殊情況 結(jié)論：根據(jù)一般原理，對(duì)_做出的判斷二、必明2個(gè)常用結(jié)論1歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從

3、而歸納出一般結(jié)論2類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì)在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì)三、必練2類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理()(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適()(4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確()(二)教材改編2選修12P38練習(xí)T1改編已知數(shù)列

4、an中，a11，n2時(shí)，anan12n1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()Aan3n1 Ban4n3C.ann2 Dan3n13選修12P34例4改編類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論()垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行A. B C D提 升 關(guān)鍵能力考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一類比推理基礎(chǔ)性、應(yīng)用性1我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”其體現(xiàn)的是一種無限與

5、有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在2+2+2+中，“”代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x，這可以通過方程2+xx確定出來x2，類似地不難得到111+11+等于()A-5-12 B5-12C1+52 D1-522在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算法(1261年)一書中，用如圖1所示的三角形，解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學(xué)家布菜士帕斯卡的著作介紹了這個(gè)三角形近年來國外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinese triangle)，17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“菜布尼茨三角形”如圖2.在楊輝三角中相鄰兩行滿足關(guān)系式：Cnr+Cnr1Cn+1r+1，

6、其中n是行數(shù)，rN.請(qǐng)類比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是_反思感悟(1)進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行類比，提出猜想，其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等考點(diǎn)二歸納推理基礎(chǔ)性角度1與數(shù)字有關(guān)的推理例1有一個(gè)奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下：1 3 7 13 21 5 9 15 23 11 17 25 19 27 29 則第30行從左到右第3個(gè)數(shù)是_聽課筆記：角度2與不等式有關(guān)的推理例2觀察下列式子：122，12+2392，12+23+3

7、48，12+23+34+45252，根據(jù)以上規(guī)律，第n(nN*)個(gè)不等式是_聽課筆記：角度3與圖形有關(guān)的推理例3分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路按照如圖甲所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個(gè)樹形圖；記圖乙中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為an，則(1)a4_；(2)2an_聽課筆記：反思感悟1歸納推理的常見類型及求解策略(1)數(shù)的歸納，包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等(2)形的歸納，主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律

8、歸納，解決的關(guān)鍵是抓住相鄰圖形之間的關(guān)系2運(yùn)用歸納推理的思維步驟【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1. 觀察下列不等式：112232，1122+13253，1122+132+14274，照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_22022陜西咸陽模擬古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)(或圓球)在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，我國宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在四元玉鑒中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛(如圖所示，頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球，)若一“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛第10層球的個(gè)數(shù)為()A66B55C45D38考點(diǎn)三演繹推理應(yīng)

9、用性 例4數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a11，an1n+2nSn(nN)，用三段論的形式證明：(1)數(shù)列Snn是等比數(shù)列；(2)Sn14an.聽課筆記：反思感悟演繹推理的論證規(guī)則(1)演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略，本例題中，等比數(shù)列的定義在解題中是大前提，由于它是顯然的，因此省略不寫(2)在推理論證過程中，一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】2021八省市新高考適應(yīng)性考試關(guān)于x的方程x2axb0，有下列四個(gè)命題：甲：x1是該方程的根；乙：x3是該方程的根；丙：該

10、方程兩根之和為2；丁：該方程兩根異號(hào)如果只有一個(gè)假命題，則該命題是()A甲B乙C丙D丁 微專題39 歸納推理中的核心素養(yǎng)邏輯推理邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹例2019全國卷在“一帶一路”知識(shí)測驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績進(jìn)行預(yù)測甲：我的成績比乙高乙：丙的成績比我和甲的都高丙：我的成績比乙高成績公布后，三人成績互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序?yàn)?)A甲、乙、丙 B乙、甲、丙C丙、乙、甲 D甲、丙、乙解析：三人成績互不相同且只

11、有一個(gè)人預(yù)測正確，有以下三種情況：(1)若乙預(yù)測正確，則丙預(yù)測也正確，不合題意；(2)若丙預(yù)測正確，甲、乙預(yù)測錯(cuò)誤，即丙成績比乙高，甲的成績比乙低，則丙的成績比乙和甲都高，此時(shí)乙預(yù)測又正確，與假設(shè)矛盾；(3)若甲預(yù)測正確，乙、丙預(yù)測錯(cuò)誤，可得甲成績高于乙，乙成績高于丙，符合題意，故選A.答案：A名師點(diǎn)評(píng)本題體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的邏輯推理，表現(xiàn)為人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì)，處理此類問題常采用辨證推理的思想變式訓(xùn)練2022河南部分重點(diǎn)高中聯(lián)考為培養(yǎng)學(xué)生分組合作能力，現(xiàn)將某班分成A，B，C三個(gè)小組，甲、乙、丙三人分到不同的組某次數(shù)學(xué)建模考試中三人的成績情況如下：在B組中的那位的成績與甲不一樣，

12、在A組中的那位的成績比丙低，在B組中的那位的成績比乙低若甲、乙、丙三人按數(shù)學(xué)建?？荚嚦煽冇筛叩降晚樞?，則排序正確的是()A乙、丙、甲 B丙、乙、甲C乙、甲、丙 D甲、丙、乙第二節(jié)合情推理與演繹推理積累必備知識(shí)一、1(2)合情推理演繹推理2全部對(duì)象都具有這些特征一般結(jié)論某些已知特征部分整體個(gè)別一般特殊特殊3(1)一般性的原理(2)一般特殊(3)一般原理特殊情況三、1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：由a11，anan12n1，則a2a12214；a3a22319；a4a324116，所以ann2.答案：C3解析：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行，正確；垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行，

13、也可能是相交直線、異面直線，故不正確；垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面不一定平行，也可能是相交平面，如墻角，故不正確；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行，正確答案：D提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一1解析：令111+11+x(x0)，即11xx，即x2x10，解得x1+52(x1-52舍去)，故111+11+1+52.故選C.答案：C2解析：類比觀察得，萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù)1Cn+11，而相鄰兩項(xiàng)之和是上一行的兩者相拱之?dāng)?shù)，所以類比式子Cnr+Cnr1Cn+1r+1，有1Cn+11Cnr 1Cn+21Cn+1r 1Cn+21Cn+1r+1 .答案：1Cn+11Cnr 1Cn+21Cn+1r 1Cn+

14、21Cn+1r+1 考點(diǎn)二例1解析：觀察每一行的第一個(gè)數(shù)，由歸納推理可得第30行的第1個(gè)數(shù)6021929.又第n行從左到右的第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大2n，第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大2n2，所以第30行從左到右的第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大60，第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大62，故第30行從左到右第3個(gè)數(shù)是92960621051.答案：1051例2解析：根據(jù)所給不等式可得第n個(gè)不等式是12+23nn+1n+122(nN*)答案：12+23nn+1n+122例3解析：(1)根據(jù)題圖甲所示的分形規(guī)律，可知1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，記某行白圈x個(gè)，黑圈y個(gè)為(x，

15、y)，則第一行記為(1，0)，第二行記為(2，1)，第三行記為(5，4)，第四行記為(14，13)，故a413.(2)前五行的黑圈數(shù)乘2，分別是0，2，8，26，80，即11，31，91，271，811，第n行的黑圈數(shù)的2倍為2an3n11.答案：(1)13(2)3n11對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1解析：觀察每行不等式的特點(diǎn)，每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的算術(shù)平方根與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列故第五個(gè)不等式為1122+132+142+152+162116.答案：1122+132+142+152+1621162解析：“三角形數(shù)”可寫為1，312，6123，101234，1512345，“三角形數(shù)”的通項(xiàng)公式為an123nnn+12，三角錐垛有10層，該堆垛第10層球的個(gè)數(shù)為a101010+1255.答案：B考點(diǎn)三例4證明：(1)an1Sn1Sn，an1n+2nSn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.Sn+1n+12Snn，故Snn是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列(2)由(1)可知Sn+1n+14Sn-1n-1(n2)，Sn14(n1)Sn-1n-14n-1+2n-1Sn14an(n2)又a23S13，S2a1a21344a1，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn14an.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解析：結(jié)合選項(xiàng)可知，若甲、乙都是真