幻矩和多維第十期

1、兩款精巧的素?cái)?shù)幻立陣達(dá)州的先生才思過人，創(chuàng)作極多，現(xiàn)又送來兩款精巧的素?cái)?shù)幻立陣。所謂精是最小的奇階幻立陣；巧是巧奪天工，把素?cái)?shù)填寫幻立陣，奇是難得的創(chuàng)新！幻海拾貝：3*5*7 階 3 維幻矩的制作是十分的艱難的，的中村曾經(jīng)通過編程搜索出 3*5*7 階 3 維多處引述，奉為精品。老師率先引進(jìn)國(guó)內(nèi)，從而掀起了國(guó)內(nèi)研究 3幻矩，被國(guó)際幻方維幻矩的。曾經(jīng)許多人認(rèn)為 3*5*7 階 3 維幻矩不存在制作方法，上面這款 3 維幻矩是用3*7 階雪花幻矩通過正成，大家賞析！清制作的四階對(duì)稱素?cái)?shù)幻立方清先生寄來了探討素?cái)?shù)幻立方的信。他經(jīng)過了艱苦的努力終于制作了一款 4 階素?cái)?shù)幻立方，很是感動(dòng)！清老先生根據(jù)J

2、ohnson 制作的一款四階素?cái)?shù)幻立方變換成新的一款 4 階素?cái)?shù)幻最近這是立方。老先生非常的謙遜，80 歲高齡卻思維非常的敏捷，且不恥下問，真是欽佩他勤奮好學(xué)的精神！福建南平清老先生是德高望重的中國(guó)幻方前輩，曾有幻方專著面世。現(xiàn)年值八旬，仍鉆研學(xué)問，多有精巧創(chuàng)作，這一款四階中心對(duì)稱素?cái)?shù)幻立方就是難能可貴的珍品。純用素?cái)?shù)構(gòu)造幻立方本是一個(gè)艱難的研究課題，中心對(duì)稱尤為巧妙！即關(guān)于中心對(duì)稱的兩素?cái)?shù)之和恒為定值 9870，這正好是四階立方幻和值的一半。素?cái)?shù)幻立方是幻方前輩老先生最早撰文向國(guó)內(nèi)介紹的，刊登幻方第三期 157 頁上，并詳細(xì)分析其結(jié)構(gòu)及可能的制作方法。楊老先生在文章中先介紹的AkioSuzu

3、ki 在 1977 年先后構(gòu)造的兩個(gè)三階素?cái)?shù)幻立方；繼而是的 Gakuho Abe 在 1978 年構(gòu)造的一個(gè)四階素?cái)?shù)幻立方，最后展示的 AWjohuson 在 1985 年構(gòu)造的一個(gè)中心對(duì)稱四階素?cái)?shù)幻立方，引進(jìn)知識(shí)可早開絢麗之花?；煤Ｊ柏悾旱谝豢盍A雙堆幻立方定義一：在 n*n*k 階幻立陣中，如果它的每一層都是一個(gè) n 階（廣義）幻方，則稱這一幻立陣是一個(gè) n 階k 層幻方，其中 n、k 為自然數(shù)，一般有 nk。容易知道對(duì)于一個(gè) n 階k 層幻方：除了豎和（柱和）為 w*k/2，其中對(duì)稱和 w=n*n*k+1；它的幻和 S= w*n/2。當(dāng) k=2 時(shí)，稱之為 n 階雙層幻方，它的每一豎（

4、柱）均是一對(duì)互補(bǔ)數(shù)，即這兩數(shù)之和恒為定值對(duì)稱和 w=n*n*k+1；當(dāng) k2 時(shí)，稱之為 n 階多層幻方。其中 n 階（廣義）幻方能有更好的幻性，如完美，平方，超級(jí)，。定義二：在 n*n*n*r 階幻陣中，如果它的每一堆都是一個(gè) n 階（廣義）幻立方，則稱這一幻陣是一個(gè) n 階 r 堆幻立方，其中 n、r 為自然數(shù)，一般有 nr。容易知道對(duì)于一個(gè) n 階 r 堆幻立方：除了撥和為 w*k/2，其中對(duì)稱和 w=n*n*n*r+1；它的幻和 S= w*n/2。當(dāng) k=2 時(shí)，稱之為 n 階雙堆幻立方，它的每一撥均是一對(duì)互補(bǔ)數(shù)，即這兩數(shù)之和恒為定值對(duì)稱和 w=n*n*n*r+1；當(dāng) k2 時(shí)，稱之為

5、 n 階多堆幻立方。其中 n 階（廣義）幻立方可能具有更好的幻性，如標(biāo)準(zhǔn)、完美、超級(jí)，。n 階多堆幻立方是 n 階幻立方在空間的延伸，其制作也有相當(dāng)難度！達(dá)州先生送來第一款六階雙堆幻立方，其構(gòu)造精妙，令人拍案叫絕！請(qǐng)諸位觀賞；幸好 n 階k 層幻方幻方第八期上已有刊載。先生的奇異的雙層平方幻方老先生的64 個(gè)完美幻方組成在 140 頁上，16 階雙層超級(jí)幻方在 151 頁上；太原的 16 階四層幻立陣在 159 頁處。我用 n*k(nk)奇階幻陣正交延拓成 n*n*k 奇階幻立陣，其每一直剖面正好都是 n 階完美幻方！舉出一例13 階三層完美幻方刊登在 156 頁上。請(qǐng)讀者注意：岳陽 強(qiáng)先生制

6、作八階連元平方幻方對(duì)（六期封面上），及七期 191 頁處的九階八圖連元平方幻方仨并非多層幻方，是兩姐妹或兄弟仨，并排而坐！他們重迭起來不是幻立陣，因豎和不合。n 階多層幻方是 n 階幻方在三的延伸，其制作并不難？且趣味盎然，可惜國(guó)內(nèi)同仁對(duì)此研究尚不多！期望諸位朋友關(guān)注其制作，盡快多出佳品?；煤Ｊ柏悾喝钭钚⌒偷亩鄬踊梅蕉鄬踊梅绞腔昧㈥囍芯哂懈鼉?yōu)良性質(zhì)的一類，同樣分為奇階和偶階兩門派，制作方法各有不同！我用正交延拓作出素階多層幻方，請(qǐng)先觀賞其中最小型。例 1：n*m*r= 75即用自然數(shù) 1 到 75 制作 5 * 5 * 3階幻立陣 D(i,j,k)如下：這是一個(gè) 3例 2：n*m*r=519

7、0 。5 * 5 * 7層175階完美幻方！斜線和應(yīng)是即用自然數(shù) 1 到 175 制作階幻立陣 D(i,j,k)如下：例 3：福建先心制作如下的 6 階孿生均勻幻方，小巧卻得之不易！2010 年 9 月 7 日二三款次小型的多層幻方制作 3 層 7 階幻方，先用一 3*7 階幻陣方盤型正交延拓成 3 * 7 * 7 階幻立陣，再將其前滾動(dòng)得到 7 * 7 * 3 階幻立陣；7 * 7 * 5 階幻立陣及 9 * 9 * 3 階幻立陣也是類似制作。例 4：n*m*r=147即用自然數(shù) 1 到147 制作7 * 7 * 3階幻立陣 D(i,j,k)如下：這是一個(gè)3層7階完美幻方！斜線和應(yīng)是 518

8、例 5：n*m*r=245即用自然數(shù) 1 到 245 制作7 * 7 *5階幻立陣 D(i,j,k)如下：這是一個(gè)例 6：n*m*r=5243層7階完美幻方！斜線和應(yīng)是 861即用自然數(shù)1到243制作9 * 9 * 3階幻立陣D(i,j,k)如下：精巧的三層 15 階活頁性超級(jí)幻方達(dá)州先生年少敏捷、功底深厚，往往是我出可能的構(gòu)想，讓他去做。這次又不負(fù)重望，制作出一款三層 15 階活頁性超級(jí)幻方，每一層完美且有 3*5*1 基本均勻塊，還具有中心對(duì)稱。應(yīng)該是含有 3*5*3 階活頁體，精巧極多！請(qǐng)幻方朋友自己細(xì)心賞析。三層九階超級(jí)幻方先生年少敏捷、功底深厚，往往是我出可能的構(gòu)想，讓他去做。這次又

9、不負(fù)重望，州制作出一款三層九階超級(jí)幻方，每一層完美且有 3*3均勻塊，還具有中心對(duì)稱。最小型兩款多堆幻立方先生讓我提出問題，即創(chuàng)作構(gòu)思，他來付諸實(shí)踐，屢屢做出佳品，然后我再整達(dá)州理補(bǔ)充、理論歸納。這就是倆的最好合作，在數(shù)成果迭出，極有效率！近期我所邀，再次送來最小型的兩款多堆幻立方，精妙非常并開辟了一條新的創(chuàng)作。用這個(gè)雙堆 4 階幻立方的均勻解再結(jié)合雙堆 6 階幻立方的均勻解可以任意偶階雙堆幻立方的均勻解。諸位朋友要注意到多堆幻立方：它是一款幻陣，首先必須符合撥和！再請(qǐng)欣賞如下制造的第一款素?cái)?shù)階多堆幻立方。由完美幻立方拼合的多層幻方達(dá)州先生送來一款五層 15 階幻方，它是由九個(gè) 5 階幻立方拼

10、合而成，精巧令人贊嘆！其中 5 階活頁體只是簡(jiǎn)單幻立方，有標(biāo)準(zhǔn)存在嗎？P 階標(biāo)準(zhǔn)活頁體要求不僅四條（三維）對(duì)角和，且須其 6*P 條剖面（二維）對(duì)角線也符合！我依照線符合采用的子方代換法編寫 VB 程序，再三尋找，終于如愿；得到一款 11 層 33 階幻方，它是由九個(gè) 11 階完美幻立方拼合而成。如果說所作是精雕細(xì)刻的工藝品，那么是依規(guī)則的大機(jī)器制作。其制作參數(shù)是如下 3*11*3 階的幻立陣 E 及 11 碼拉丁體 F（略）。3 * 11 * 3階幻立陣 E(i,j,k)如下：每次取 E 的一行 11 碼小飛 q 成頂層，逐層漂移成 11 階拉丁體 A；類似取 F 的一行做拉丁體 B，仍是這

11、一行另法做拉丁體 C，三拉丁體 A、B 及 C 恰好正交成一個(gè) 11 階活頁體。本文中它正好是一個(gè) 11 階完美幻立方，即此活頁體中所有直線、二維斜線及三維斜線上 11 數(shù)之和和 S = 65890 。都符合P 階活頁體D = (A-1)*r*r+(B-1)*r+C,這里 P=11, r=3；依次九個(gè)拼幻立陣 D。n*m*r=11979即用自然數(shù) 1 到 11979 制作成 33 * 33 * 11四層 16 階超級(jí)完美幻方階幻立陣通過對(duì)先生的三層雪花幻方的欣賞、學(xué)習(xí)及，我依此制作了一款四層 16 階超級(jí)完美幻方。雪花是完美加上中心對(duì)稱，超級(jí)是高于完美的幻性！即內(nèi)含等和的均勻塊。我舍棄了一些小

12、的匠心精巧，而盡量采用簡(jiǎn)單且規(guī)則的動(dòng)作，便于編寫程序來大批量生產(chǎn)，也使讀者朋友容易理解與掌握這一制作過程。先取一四階幻立方 D，另取一四階幻方漂移成 16 碼四階拉丁體 C 如下，C 與 D 是制作參數(shù)。D 的每一層都“列移橫排”成四層 16 階模 A；類似地，C 的每一層都“行移縱排”成四層 16 階拉丁體 B，按以下公式 A 與 B 恰好正交成幻立陣 D：D = (A-1)*p*q + B，這里 p = q = 4。n*m*r= 1024即用自然數(shù) 1 到 1024制作 的 16 * 16 * 4階幻立陣 D(i,j,k)如下：這個(gè)幻立陣內(nèi)含有1 層 4 行 4列的均勻塊，恭喜，它是一個(gè)超

13、級(jí)幻立陣！如果沒有電腦程序的輔助，手工計(jì)算驗(yàn)證是相當(dāng)艱難的！內(nèi)含完美活頁體的九層 27 階超級(jí)幻方前些時(shí)候我仿制了一款 11 層 33 階幻方，內(nèi)含 11 階完美活頁體。先生聞?dòng)嵏臉?gòu)思，老天不負(fù)有心人！旋而送來一款內(nèi)含 9 階完美活頁體的九層 27 階超級(jí)幻方，優(yōu)異幻性皆完美俱備，又是奇合數(shù)階、巧奪天工！欣喜非常，特向諸位隆重介紹。由于篇幅太大，讀者欣賞！ 16 階內(nèi)含活頁體的超級(jí)幻方仿照先生的分碼代換方法，我稍做改動(dòng)作出一款四層 16 階內(nèi)含活頁體的超級(jí)幻方，特向廣大幻方朋友講述其制作過程。先取一個(gè)四階簡(jiǎn)式幻方（拉丁方）為 E 的頂層，取它的列轉(zhuǎn)、行轉(zhuǎn)及連轉(zhuǎn)拼一個(gè) 4 碼四階拉丁體 E；

14、又取四階對(duì)稱幻立方 F，E 與 F 是制與其分碼制作拉丁體再正交，不如拿出正交的三個(gè)拉丁體保險(xiǎn)省事？我取錄老先生制作，在其著作 142 頁的四階幻立方 M 為三維模，分解成正交的三個(gè)拉丁體 A、B、C，以 F的某一行(k 層 i 行)代換A 的一層(t 層)，以 E 的這一行(k 層 i 行)代換 B、C 的一層(t 層)，A、B、C 正成 D 的一個(gè)活頁體(k 層i 排第t 個(gè))。錄先生制作 , P142 的四階幻立方Mn*m*r= 1024即用自然數(shù) 1 到 1024 制作的 16 * 16 * 4階幻立陣 D(i,j,k)如下：這是一個(gè)四層 16 階幻方，由 16 個(gè) 4 階簡(jiǎn)單幻立方拼

15、合而成，一個(gè)具有 4*4*1 或 4*1*4基本均勻塊的 16*16*4 階超級(jí)幻立陣?？上用婊梅讲粔蛲昝?！且非中心對(duì)稱？拋磚引玉，作為成功的個(gè)例先行推出供同仁觀賞與研究，還有努力精煉的余地。三款最小的乘積幻立方先生是難得的幻方奇才，其制作精妙，令人閱后贊嘆不已、拍案叫絕！近期蘇福州先生送來三款最小的乘積幻立方，觀后都說不難，但總要有第一人做出面世？這第一人就是天才！他是先構(gòu)造三個(gè)恰好正交的拉丁體 A、B、C，再正交相乘得到簡(jiǎn)單幻立方 D=A*B*C。這次送來三階、四階、五階各一款，制作并不難，但要做到乘積最小卻要費(fèi)一番心思，展示如下請(qǐng)諸位朋友觀賞，！當(dāng)D=A*B*C 時(shí)4 階最小的乘積幻立方福州先生是舉世聞名的幻方奇才，可惜因耽誤了正規(guī)科班教育培養(yǎng)，又逢開放來證明人生價(jià)值！此次送來三款貧困在民間。蘇先生仍能刻苦研究純學(xué)術(shù)，用成果最小的乘積幻立方。創(chuàng)新帶來智慧，觀賞觸動(dòng)靈感！3 階乘積以外，還有第幻方分為三堆，每堆都是一個(gè) 3 階立方體；直線