高考數(shù)學(xué)試題分類匯編-數(shù)列

1、2021年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編數(shù)列一、選擇題1.(2021年廣東卷文)等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且=2，=1，那么= A. B. C. D.2 【答案】B【解析】設(shè)公比為,由得,即,又因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B2.2021廣東卷理等比數(shù)列滿足，且，那么當(dāng)時(shí)，A. B. C. D. 【解析】由得，那么， ，選C.3.2021安徽卷文為等差數(shù)列，那么等于A. -1 B. 1 【解析】即同理可得公差.選B?！敬鸢浮緽4.2021江西卷文公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.假設(shè)是的等比中項(xiàng), ,那么等于A. 18 B. 24 C. 60 D. 90答案：C【解析】由得得,再由得 那么,所以,.應(yīng)

2、選C5.2021湖南卷文設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么等于【 C 】A13 B35 C49 D 63 解: 應(yīng)選C.或由, 所以應(yīng)選C.6.2021福建卷理等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且 =6，=4， 那么公差d等于A1 B C.- 2 D 3【答案】：C解析且.應(yīng)選C7.2021遼寧卷文為等差數(shù)列，且21, 0,那么公差dA2 B C D2【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d【答案】B8.2021遼寧卷理設(shè)等比數(shù)列 的前n 項(xiàng)和為 ，假設(shè) =3 ，那么 =A 2 B C D3【解析】設(shè)公比為q ,那么1q33 q32 于是【答案】B9.2021寧夏海南卷理等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且4，2，

3、成等差數(shù)列。假設(shè)=1，那么=A7 B8 315 416解析：4，2，成等差數(shù)列，,選C.10.2021四川卷文等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)1，是和的等比中項(xiàng)，那么數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】設(shè)公差為，那么.0，解得2，10011.2021湖北卷文設(shè)記不超過的最大整數(shù)為,令=-，那么，,【答案】B【解析】可分別求得，.那么等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比數(shù)列.12.2021湖北卷文古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4

4、，9，16這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。以下數(shù)中及時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289 B.1024 C.1225 【答案】C【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，那么由可排除A、D，又由知必為奇數(shù)，應(yīng)選C.13.2021寧夏海南卷文等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，,那么A38 B20 C10 D9【答案】C【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，由，得：20，所以，2，又，即38，即2m1238，解得m10，應(yīng)選.C。14.2021重慶卷文設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，那么的前項(xiàng)和= A B CD【答案】A解析設(shè)數(shù)列的公差為，那么根據(jù)題意得，解得或舍去，所以數(shù)列的前項(xiàng)和15

5、.2021安徽卷理為等差數(shù)列，+=105，=99，以表示的前項(xiàng)和，那么使得到達(dá)最大值的是A21 B20 C19 D 18解析：由+=105得即，由=99得即 ，由得，選B16.2021江西卷理數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，那么為A B C D答案：A【解析】由于以3 為周期,故應(yīng)選A17.2021四川卷文等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)1，是和的等比中項(xiàng)，那么數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】設(shè)公差為，那么.0，解得2，100二、填空題1.2021全國卷理 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，假設(shè),那么= 。解: 是等差數(shù)列,由,得.2.2021浙江理設(shè)等比數(shù)列

6、的公比，前項(xiàng)和為，那么 答案：15【解析】對(duì)于3.2021浙江文設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，那么 【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，通過對(duì)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的考查充分表達(dá)了通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的知識(shí)聯(lián)系【解析】對(duì)于4.2021浙江文設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么，成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，那么， ， ，成等比數(shù)列答案： 【命題意圖】此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，也考查了通過條件進(jìn)行類比推理的方法和能力【解析】對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，那么，成等比數(shù)列5.2021北京文假設(shè)數(shù)列滿足：，那么 ；前8項(xiàng)

7、的和 .用數(shù)字作答【解析】此題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.，易知，應(yīng)填255.6.2021北京理數(shù)列滿足：那么_；=_.【答案】1，0【解析】此題主要考查周期數(shù)列等根底知識(shí).屬于創(chuàng)新題型.依題意，得，. 應(yīng)填1，0.7.2021江蘇卷設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，假設(shè)數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，那么= . 【解析】 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，= -98.(2021山東卷文)在等差數(shù)列中,那么.【解析】:設(shè)等差數(shù)列的公差為,那么由得解得,所以.答案:13.【命題立意】:此題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

8、以及根本計(jì)算.9.2021全國卷文設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為。假設(shè)，那么= 答案：3解析：此題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算，由得q3=3故a4=a1q3=3。10.(2021湖北卷理)數(shù)列滿足：m為正整數(shù)，假設(shè)，那么m所有可能的取值為_。11.【答案】4 5 32【解析】1假設(shè)為偶數(shù)，那么為偶, 故當(dāng)仍為偶數(shù)時(shí)， 故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故得m=4。2假設(shè)為奇數(shù)，那么為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得m=512.2021全國卷理設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，假設(shè)那么 9 .解：為等差數(shù)列，13.2021遼寧卷理等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且那么 【解析】Snna1n(n1)d S55a110d,S33a13d 6S55S33

9、0a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】14.2021寧夏海南卷理等差數(shù)列前n項(xiàng)和為。+-=0，=38,那么m=_解析：由+-=0得到。答案1015.2021陜西卷文設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,假設(shè),那么 .答案:2n解析:由可得的公差d=2,首項(xiàng)=2,故易得2n.16.(2021陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,假設(shè),那么 .答案：117.2021寧夏海南卷文等比數(shù)列的公比, =1，那么的前4項(xiàng)和= 【答案】【解析】由得：，即，解得：q2，又=1，所以，。18.(2021湖南卷理)將正ABC分割成2，nN個(gè)全等的小正三角形圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形，

10、在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于ABC的三普及平行于某邊的任一直線上的數(shù)當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)都分別一次成等差數(shù)列，假設(shè)頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，那么有f(2)=2，f(3)= ，f(n)= (n+1)(n+2)【答案】：【解析】當(dāng)n=3時(shí)，如下圖分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知即進(jìn)一步可求得。由上知中有三個(gè)數(shù)，中 有6個(gè)數(shù)，中共有10個(gè)數(shù)相加 ，中有15個(gè)數(shù)相加.，假設(shè)中有個(gè)數(shù)相加，可得中有個(gè)數(shù)相加，且由可得所以=19.2021重慶卷理設(shè)，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式= 【答案】：2n+1【解析】由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的

11、等比數(shù)列，那么三、解答題1.(2021年廣東卷文)本小題總分值14分點(diǎn)1，是函數(shù)且的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足=+.1求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；2假設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，問的最小正整數(shù)是多少?【解析】1, , .又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列， ， 當(dāng)， ；()；2 ； 由得，滿足的最小正整數(shù)為112.2.2021全國卷理本小題總分值12分注意：在試題卷上作答無效在數(shù)列中， I設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 II求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：I由有 利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式: ()II由I知,=而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減

12、法模型，易得 =評(píng)析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和根底知識(shí)、根本方法根本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。3.2021浙江文此題總分值14分設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是常數(shù) I 求及； II假設(shè)對(duì)于任意的，成等比數(shù)列，求的值解析：當(dāng)， 經(jīng)驗(yàn)，式成立， 成等比數(shù)列，即，整理得：，對(duì)任意的成立， 4.2021北京文本小題共13分設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 數(shù)列定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.假設(shè)

13、，求；假設(shè)，求數(shù)列的前2m項(xiàng)和公式；是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】此題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的根本性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法此題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.由題意，得，解，得. 成立的所有n中的最小整數(shù)為7，即. 由題意，得，對(duì)于正整數(shù)，由，得.根據(jù)的定義可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. .假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式及得.,根據(jù)的定義可知，對(duì)于任意的正整數(shù)m 都有，即對(duì)任意的正整數(shù)m都成立. 當(dāng)或時(shí)，得或， 這與上述結(jié)論矛盾！ 當(dāng)，即時(shí)，得，解得. 存在p和q，使得；p和q的取值范圍分別是，.5.2021北京理

14、本小題共13分 數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；證明：，且；證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列.【解析】此題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學(xué)思想方法此題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題.由于與均不屬于數(shù)集，該數(shù)集不具有性質(zhì)P. 由于都屬于數(shù)集， 該數(shù)集具有性質(zhì)P. 具有性質(zhì)P，與中至少有一個(gè)屬于A，由于，故.從而，.， ，故. 由A具有性質(zhì)P可知.又，從而，.由知，當(dāng)時(shí)，有，即， ，由A具有性質(zhì)P可知.，得，且，即是首項(xiàng)為1，公比為成等比數(shù)列.6.2021江蘇卷本小題總分值14分 設(shè)是公差不為零的等差數(shù)

15、列，為其前項(xiàng)和，滿足。1求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；2試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)?！窘馕觥?本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力?？偡种?4分。1設(shè)公差為，那么，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得?(2) 方法一=,設(shè)，那么=, 所以為8的約數(shù)方法二因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由1知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。7.2021江蘇卷此題總分值10分對(duì)于正整數(shù)2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中和可以相等；對(duì)于隨機(jī)選取的和可以相等，記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。1求和；2求證：對(duì)任意正整數(shù)2，有.【解析】 必做

16、題本小題主要考查概率的根本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。總分值10分。8.(2021山東卷理)本小題總分值12分等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.1求r的值； 11當(dāng)b=2時(shí)，記 證明：對(duì)任意的 ，不等式成立解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,公比為,2當(dāng)b=2時(shí)，, 那么,所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即時(shí),左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式也成立.由、可得不等式恒成立.【命題立意】:此題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及求的基此題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自

17、然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.9.(2021山東卷文)本小題總分值12分等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.1求r的值； 11當(dāng)b=2時(shí)，記 求數(shù)列的前項(xiàng)和解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列, 所以, 公比為, 所以2當(dāng)b=2時(shí)，, 那么相減,得 所以【命題立意】:此題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及求的基此題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前項(xiàng)和.10.2021全國卷文本小題總分值10分等差數(shù)列中，求前n項(xiàng)和.解析：此題考查等差數(shù)列的根本性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力，利用方程的思想可求

18、解。解：設(shè)的公差為，那么即解得因此11.2021廣東卷理本小題總分值14分曲線從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為1求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2證明：.解：1設(shè)直線：，聯(lián)立得，那么，舍去，即，2證明：由于，可令函數(shù)，那么，令，得，給定區(qū)間，那么有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在恒成立，又，那么有，即.12.2021安徽卷理本小題總分值13分首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足I證明：假設(shè)為奇數(shù)，那么對(duì)一切都是奇數(shù)；II假設(shè)對(duì)一切都有，求的取值范圍.解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題總分值13分。解：I是奇數(shù)，

19、假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，那么由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何，都是奇數(shù)。II方法一由知，當(dāng)且僅當(dāng)或。另一方面，假設(shè)那么；假設(shè)，那么根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，綜合所述，對(duì)一切都有的充要條件是或。方法二由得于是或。因?yàn)樗运械木笥?，因此與同號(hào)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，與同號(hào)。因此，對(duì)一切都有的充要條件是或。13.2021安徽卷文本小題總分值12分?jǐn)?shù)列 的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n3時(shí)， 【思路】由可求出，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在求出后，進(jìn)而得到，接下來用作差法來比擬大小，這也是一常用方法。【解析】(1)由于當(dāng)時(shí), 又當(dāng)時(shí)數(shù)列項(xiàng)與等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,

20、公比為(2)由(1)知由即即又時(shí)成立,即由于恒成立.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 14.2021江西卷文本小題總分值12分?jǐn)?shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為. (1) 求; (2) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 兩式相減得故 15.2021江西卷理本小題總分值14分各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，且對(duì)滿足的正整數(shù)都有1當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)2證明：對(duì)任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，都有解：1由得將代入化簡得 所以故數(shù)列為等比數(shù)列，從而即可驗(yàn)證，滿足題設(shè)條件.(2) 由題設(shè)的值僅與有關(guān),記為那么考察函數(shù) ,那么在定義域上有故對(duì)， 恒成立.又 ,注意到,解上式得取,即有 .16.2021天津卷文本小

21、題總分值12分等差數(shù)列的公差d不為0，設(shè)假設(shè) ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；假設(shè)成等比數(shù)列，求q的值。假設(shè)【答案】123略【解析】 1解：由題設(shè)，代入解得，所以 2解：當(dāng)成等比數(shù)列，所以，即，注意到，整理得3證明：由題設(shè)，可得，那么 -得，+得， 式兩邊同乘以 q，得所以3證明：=因?yàn)?，所以假設(shè)，取i=n，假設(shè)，取i滿足，且，由12及題設(shè)知，且當(dāng)時(shí)，由，即，所以因此當(dāng)時(shí)，同理可得因此綜上，【考點(diǎn)定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等根本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。17.(2021湖北卷理)本小題總分值13分注意：在試題卷上作答無效數(shù)列的前n項(xiàng)

22、和n為正整數(shù)。令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；令，試比擬與的大小，并予以證明。19.解析：I在中，令n=1，可得，即當(dāng)時(shí)，. . 又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列. 于是.(II)由I得，所以由-得于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比擬的大小由可猜測當(dāng)證明如下：證法1：1當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。2假設(shè)時(shí)所以當(dāng)時(shí)猜測也成立綜合12可知 ，對(duì)一切的正整數(shù)，都有證法2：當(dāng)時(shí)綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí)18.2021四川卷文本小題總分值14分設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。I求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；II設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？假設(shè)存在，找出一個(gè)正整數(shù)；假設(shè)不存在，請(qǐng)

23、說明理由；III記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；【解析】I當(dāng)時(shí)，又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 3分II不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由I知當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有不存在正整數(shù)，使得成立。 8分III由得又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 14分19.2021全國卷理本小題總分值12分設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 I設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列II求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：I由及，有由， 那么當(dāng)時(shí)，有得又，是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列II由I可得，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列， 評(píng)析：第I問思路明確，只需利用條件尋找第II問中由I易得，這個(gè)遞推式明顯是一個(gè)構(gòu)造新數(shù)列的模型：，主要的處理

24、手段是兩邊除以總體來說，09年高考理科數(shù)學(xué)全國I、這兩套試題都將數(shù)列題前置,主要考查構(gòu)造新數(shù)列全國I還考查了利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和的方法，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和根底知識(shí)、根本方法根本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。20.2021湖南卷文本小題總分值13分對(duì)于數(shù)列,假設(shè)存在常數(shù)M0,對(duì)任意的，恒有 , 那么稱數(shù)列為數(shù)列.首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說明理由;設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和.給出以下兩組判斷：A組：數(shù)列是B-數(shù)列, 數(shù)列不是B-數(shù)列;B組：數(shù)列是B-數(shù)列, 數(shù)列不是B-

25、數(shù)列.請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；()假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。解: 設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,那么.于是 =所以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列 .命題1：假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題.事實(shí)上設(shè)=1，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n， .由n的任意性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。命題2：假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么數(shù)列不是B-數(shù)列。此命題為真命題。事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的，有 , 即.于是,所以數(shù)列是B-數(shù)列。注：按題中要求組成其它命題解答時(shí)，仿上述解法 ()

26、假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么存在正數(shù)M，對(duì)任意的有 .因?yàn)?.記，那么有 .因此.故數(shù)列是B-數(shù)列. 21.2021遼寧卷文本小題總分值10分等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和為，,成等差數(shù)列 1求的公比q； 2求3，求解：依題意有 由于 ，故 又，從而 5分 由可得 故 從而 10分22.2021陜西卷文本小題總分值12分?jǐn)?shù)列滿足， .令，證明：是等比數(shù)列； ()求的通項(xiàng)公式。1證當(dāng)時(shí)，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。2解由1知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以。23.(2021陜西卷理)本小題總分值12分 數(shù)列滿足， .猜測數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；()證明：。證1由由猜測：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)

27、n=1時(shí)，已證命題成立 2假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即易知，那么 =即也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，結(jié)合1和2知，命題成立2當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立當(dāng)時(shí)，易知 24.2021四川卷文本小題總分值14分設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。I求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；II設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？假設(shè)存在，找出一個(gè)正整數(shù)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；III記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；【解析】I當(dāng)時(shí)，又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 3分II不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由I知當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有不存在正整數(shù)，使得成立。

28、 8分III由得又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 14分25.2021湖北卷文本小題總分值12分 an是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a655, a2+a716.()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式：假設(shè)數(shù)列an和數(shù)列bn滿足等式：an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn解1解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，那么依題設(shè)d0由a2+a7 由得 由得將其代入得。即2令兩式相減得于是=-4=26.(2021湖南卷理)本小題總分值13分對(duì)于數(shù)列假設(shè)存在常數(shù)M0,對(duì)任意的，恒有 那么稱數(shù)列為B-數(shù)列首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說明理由;請(qǐng)以其中一組的一個(gè)論斷條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題判斷所給命題的真假，并證明你

29、的結(jié)論；設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，給出以下兩組論斷；A組：數(shù)列是B-數(shù)列 數(shù)列不是B-數(shù)列B組：數(shù)列是B-數(shù)列 數(shù)列不是B-數(shù)列請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；3 假設(shè)數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列。解1設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,那么，于是 因此- +-+-=因?yàn)樗约?故首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列。2命題1：假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么數(shù)列是B-數(shù)列 次命題為假命題。 事實(shí)上，設(shè)，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但 由的任意性知，數(shù)列是B-數(shù)列此命題為。命題2：假設(shè)數(shù)列是B-數(shù)列，那么數(shù)列是B-數(shù)列此命題為真命題事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列是B

30、-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的有 即。于是 所以數(shù)列是B-數(shù)列。III假設(shè)數(shù)列 是數(shù)列，那么存在正數(shù)，對(duì)任意的有 注意到 同理：記，那么有因此 +故數(shù)列是數(shù)列27.2021天津卷理本小題總分值14分等差數(shù)列的公差為dd0，等比數(shù)列的公比為qq1。設(shè)=+.+ ,=-+.+(-1 ,n假設(shè)= 1，d=2，q=3，求 的值；假設(shè)=1，證明1-q-1+q=，n；() 假設(shè)正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個(gè)不同的排列， ， 證明。本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等根底知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，總分值14分。解：由題設(shè)，可得所以，證明：由

31、題設(shè)可得那么 式減去式，得 式加上式，得 式兩邊同乘q，得 所以， ()證明： 因?yàn)樗?假設(shè)，取i=n假設(shè)，取i滿足且由1,(2)及題設(shè)知，且 當(dāng)時(shí)，得即，又所以 因此當(dāng)同理可得，因此綜上，28.2021四川卷理本小題總分值14分設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。I求數(shù)列的通項(xiàng)公式；II記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；III設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。正實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。本小題主要考查數(shù)列、不等式等根底知識(shí)、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。解：當(dāng)時(shí)，又 數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是.3分由知 = 又當(dāng)當(dāng) 由知一方面，

32、恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時(shí)，設(shè)那么 對(duì)一切大于1的奇數(shù)n恒成立只對(duì)滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。另一方面，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)n都有事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)k，有 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)那么 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)那么對(duì)一切的正整數(shù)n，都有綜上所述，正實(shí)數(shù)的最小值為4.14分29.2021福建卷文(本小題總分值)2分等比數(shù)列中， I求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 假設(shè)分別為等差數(shù)列的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。解：I設(shè)的公比為 由得，解得 由I得，那么， 設(shè)的公差為，那么有解得 從而 所以數(shù)列的前項(xiàng)和30.2021年上海卷理此題總分值18分此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值5分，第2小題總分值5分，第3小題

33、總分值8分。是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。假設(shè)，是否存在，有說明理由； 找出所有數(shù)列和，使對(duì)一切,并說明理由；假設(shè)試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明。解法一1由，得， 2分整理后，可得，、，為整數(shù)， 不存在、，使等式成立。 5分2假設(shè)，即， *假設(shè)那么。 當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。 7分假設(shè)，*式等號(hào)左邊取極限得，*式等號(hào)右邊的極限只有當(dāng)時(shí)，才能等于1。此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù)，矛盾。綜上所述，只有當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。10分【解法二】設(shè) 那么假設(shè)d=0，那么 假設(shè)常數(shù)即，那么d=0，矛盾綜上所述，有， 10分3 設(shè).，. 13分取 15分由二項(xiàng)展開式可得正整數(shù)M1、M2，使得4-12s+2=4M1+1, 故當(dāng)且