2022年不等式恒成立問(wèn)題的基本類型及常用解法

1、不等式恒成立問(wèn)題基本類型及常用解法 類型 1：設(shè) fx=ax+b fx 0 在 xm,n上恒成立f m 0 x 的取值范疇；f n 0fx 0 在 xm,n上恒成立fm 0. fn 0例1. 設(shè) y=log2x2+t-2log2x-t+1,如 t 在-2,2上變化, y 恒取正值,求實(shí)數(shù)解：設(shè) ft=y=log2x-1t+log2x2-2log2x+1, t-2,2 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為： ft0 對(duì) t -2,2恒成立f2 0f2 0log2x24log2x30log2x2100 x1 或 x8；2故實(shí)數(shù) x 的取值范疇是（0,1 ）（ 8,+）；2例 2. 對(duì)于 -1a1, 求使不等式 1 x2 a

2、x 1 2 x a 1 恒成立的 x 的取值范疇；2 2解：原不等式等價(jià)于 x 2+ax0 在 a-1,1上恒成立 ,就須滿意f100 x2x00 x2 或 x0f1 x23 x2故實(shí)數(shù)的取值范疇是- ,0 2,+. 類型 2：設(shè) fx=ax2+bx+c a 0 fx 0 在 xR上恒成立a 0 且 0; fx 0 在 xR上恒成立a 0 且 0. 說(shuō)明： .只適用于一元二次不等式.如未指明二次項(xiàng)系數(shù)不等于0,留意分類爭(zhēng)論. m的取值范疇；例 3. 不等式2x222mxm1 對(duì)一切實(shí)數(shù)x 恒成立,求實(shí)數(shù)4x6x3解：由 4x 2+6x+3=2x+ 3 2+ 3 0, 對(duì)一切實(shí)數(shù)2 42x 2+

3、2mx+m4x 2+6x+3, x R x 恒成立,從而,原不等式等價(jià)于即： 2x 2+6-2mx+3-m0 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 恒成立；就 =（6-2m）2-83-m 0 解得： 1m3 故實(shí)數(shù) m的取值范疇是（1,3）；類型 3：設(shè) fx=ax 2+bx+c a 0 （ 1）當(dāng) a0 時(shí) fx 0 在 xm, n 上恒成立b b b2 a m 或 m2 a n 或 2 a nf m 0 o f n 0b m b n2 a 或 0 或 2 a . f m 0 f n 0 fx 0 在 xm, n 上恒成立 f m 0. f n 0（ 2）當(dāng) a0 時(shí) fx 0 在 xm, n 上恒成立f m 0

4、f n 0 fx 0 在 xm, n 上恒成立b m m b n b n2 a 或 2 a 或 2 af m 0 o f n 02 ba m 或 0 或 2 ba n . f m 0 f n 0說(shuō)明：只適用于一元二次不等式 . 類型 4：afx 恒成立對(duì) xD恒成立 afx max ,afx對(duì) x D恒成立 afx m in .說(shuō)明： . fx 可以是任意函數(shù).這種思路是：第一是-分別變量,其次用-極端值原理；把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,如fx不存在最值,可求出fx 的范疇,問(wèn)題同樣可以解出；例 4.（2022.上海）已知fx=x22xa0 在 x,1上恒成立,求實(shí)數(shù)a 的取值范疇；x分析 1：

5、當(dāng) x1 ,時(shí), fx 0 恒成立,等價(jià)于x2+2x+a 0 恒成立 , 只需求出gx= x2+2x+a 在,1上的最小值,使最小值大于0 即可求出實(shí)數(shù)a 的取值范疇；恒成立解法 1： fx=x22xa0 對(duì) x ,1x x2+2x+a0 對(duì) x ,1恒成立；設(shè) gx= x2+2x+a x1 ,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為： gxm in0gx= x2+2x+a=x+12+a-1, x,1gx 在,1上是增函數(shù)；gxm in=g1=3+a 3+a0 a -3 即所求實(shí)數(shù) a 的取值范疇為 a -3；分析 2 ：分別變量,轉(zhuǎn)化為 afx或 afx恒成立問(wèn)題,然后利用極端值原理：afx 恒成立 afx m axaf

6、x 恒成立 afx m in . 2x 2 x a解法 2： fx=0 對(duì) x ,1 恒成立x x 2+2x+a0 對(duì) x,1 恒成立；a -（x 2+2x）對(duì) x,1 恒成立；設(shè) x= -（x 2+2x） x ,1問(wèn)題轉(zhuǎn)化為： ax m axx= -（x 2+2x）=-x+1 2+1 x,1x 在 ,1 上是減函數(shù)；x max= 1=-3 a -3 即所求實(shí)數(shù)a 的取值范疇為a -3；2.4x 0 恒成立,求實(shí)數(shù)a 的取值范疇；例 5.已知 x1,時(shí), 不等式 1+2 x+a-a分析：要求a 的取值范疇,如何構(gòu)造關(guān)于3a 的不等式是關(guān)鍵,利用分別變量的方法可達(dá)到目的；解：設(shè) 2x=t, x1

7、, t,02原不等式可化為：a-a2t21. t要使上式對(duì)t,02恒成立,只需：a-a2（t21） m ax . t0 2,tt21=-11 2+1tt24由11,（t21） m a x=-t2t4a-a2-34即： 4a2-4a-30 從而 -1 a232類型 5： .fxgx 對(duì)任意 xD恒成立. f x1gx2 對(duì)任意 x1、x 2D恒成立例 6 已知 fx=-x3+ax,其中 aR,gx=-03 1 x 22,且 fxgx 在 x1,0上恒成立,求實(shí)數(shù)a 的取值范疇；分析：有的同學(xué)把“fxgx 在 x1,上恒成立” 轉(zhuǎn)化為： “ 當(dāng) x01,時(shí), fx m ax g（x） m in ,

8、” 然后求出a 的取值范疇；這種方法對(duì)嗎？121 時(shí),fx m ax =0, g（x） min = - 1 ,并不滿意 2fx m ax g（x）fx=-2x2 gx=-x+12我們先來(lái)看一個(gè)例子,如圖,當(dāng)x0 ,1m in明顯這種轉(zhuǎn)化方式是不對(duì)的；錯(cuò)在哪里呢？緣由在于用分別變量方法得到的不等式一邊是參數(shù),另一邊是 x 的函數(shù)關(guān)系式；而此題解法中的不等式,兩邊都是關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系式,所以上面這種轉(zhuǎn)化方式是錯(cuò)的；正確的方法是先分別變量,再利用極端值原理；解： fxgx 在 x01,上恒成立-x3+ax+3 1 x 220 對(duì) x01,恒成立3+5x2+4x, 其中 k R a x2-1 1 x 22對(duì) x01,恒成立設(shè) hx= x2-1 1 x 22 x 0 1,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為： ahx minh/x=2x-41x=2x1.4x2x14x由 h / x=0 ,得 x=1 4當(dāng) x0,1時(shí)hx 0,hx在0,1遞減；44當(dāng) x11,時(shí)hx 0,hx 在11,遞減；44 hx 1 在 x= 4時(shí)取最小值, hx m in=316a3 16例 7. 已知兩個(gè)函數(shù) fx=8x2+16x-k,gx=2x（1）如對(duì)任意的 x-3,3,都有 f