FFT變換的實(shí)際意義

1、FFT變換的實(shí)際意義FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個(gè)信號(hào)變換到頻域。有些信號(hào)在時(shí)域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號(hào)分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn)FT可以將一個(gè)信號(hào)的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。雖然很多人都知道是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道之后的結(jié)果是什意思、如何決定要使用多少點(diǎn)來做。一個(gè)模擬信號(hào)，經(jīng)過采樣之后，就變成了數(shù)字信號(hào)。采樣定理告訴我們,采樣頻率要大于信號(hào)頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。采樣得到的數(shù)字信號(hào)，就可以做變換了。個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過之后，就可以得到個(gè)點(diǎn)的結(jié)果。為了方便進(jìn)行運(yùn)算，通常取

2、的整數(shù)次方。假設(shè)采樣頻率為，信號(hào)頻率，采樣點(diǎn)數(shù)為。那么之后結(jié)果就是一個(gè)為點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號(hào)的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號(hào)的峰值為A那么的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)（除了第一個(gè)點(diǎn)直流分量之外）的模值就是的倍。而第一個(gè)點(diǎn)就是直流分量，它的模值就是直流分量的倍。而每個(gè)點(diǎn)的相位呢，就是在該頻率下的信號(hào)的相位。第一個(gè)點(diǎn)表示直流分量（即），而最后一個(gè)點(diǎn)的再下一個(gè)點(diǎn)（實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第個(gè)點(diǎn)，可以看做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率，這中間被個(gè)點(diǎn)平均分成等份，每個(gè)點(diǎn)的頻率依次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：

3、f，（n%Fs。由上面的公式可以看出，r所能分辨到頻率為nN，如果采樣頻率為1,采樣點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn),則可以分辨到1。的采樣率采樣102點(diǎn)4，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做，則結(jié)果可以分析到1,如果采樣秒時(shí)間的信號(hào)并做，則結(jié)果可以分析到。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點(diǎn)數(shù)，也即采樣時(shí)間。頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系。假設(shè)之后某點(diǎn)n用復(fù)數(shù)表示，那么這個(gè)復(fù)數(shù)的模就是A八a2+b2，相位就是P，atan2（b,a）。根據(jù)以上的結(jié)果，就可nn以計(jì)算出n點(diǎn)（n#1，且nN對(duì)應(yīng)的信號(hào)的表達(dá)式為：丄LXcos（2XFXt+P），即AnX2Xcos（2XFxt+P）。對(duì)于n點(diǎn)的信號(hào)，N/2nn

4、Nnn是直流分量，幅度即為1，由于結(jié)果的對(duì)稱性，通常我們只使用前半部分的結(jié)果，即小于采樣頻率一半的結(jié)果。好了，說了半天，看著公式也暈，下面以一個(gè)實(shí)際的信號(hào)來做說明。假設(shè)我們有一個(gè)信號(hào)，它含有的直流分量，頻率為、相位為度、幅度為的交流信號(hào)，以及一個(gè)頻率為、相位為度、幅度為1的交流信號(hào)。用數(shù)學(xué)表達(dá)式就是如下：式中參數(shù)為弧度，所以度和度要分別換算成弧度。我們以的采樣率對(duì)這個(gè)信號(hào)進(jìn)行采樣，總共采樣25點(diǎn)6。按照我們上面的分析，1我們可以知道，每兩個(gè)點(diǎn)之間的間距就是，第個(gè)點(diǎn)的頻率就是-我們的信號(hào)有個(gè)頻率：、，應(yīng)該分別在第個(gè)點(diǎn)、第個(gè)點(diǎn)、第個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)峰值，其它各點(diǎn)應(yīng)該接近0實(shí)際情況如何呢？我們來看看的結(jié)果的

5、模值如圖所示。圖結(jié)果從圖中我們可以看到，在第1點(diǎn)、第51點(diǎn)、和第76點(diǎn)附近有比較大的值。我們分別將這三個(gè)點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)拿上來細(xì)看：1點(diǎn)：512+0i2點(diǎn)：-2.6195E-14-1.4162E-13i3點(diǎn)：-2.8586E-14-1.1898E-13i占.八、51點(diǎn)：332.55-192i占.八、占.八、占.八、占.八、很明顯，1點(diǎn)、51點(diǎn)、76點(diǎn)的值都比較大，它附近的點(diǎn)值都很小，可以認(rèn)為是0，即在那些頻率點(diǎn)上的信號(hào)幅度為0。接著，我們來計(jì)算各點(diǎn)的幅度值。分別計(jì)算這三個(gè)點(diǎn)的模值，結(jié)果如下.1點(diǎn).51251點(diǎn)：384八、76點(diǎn)：192八、按照公式，可以計(jì)算出直流分量為：1信號(hào)的幅度為:8信號(hào)的幅度

6、為2可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。然后再來計(jì)算相位信息。直流信號(hào)沒有相位可言，不用管它。先計(jì)算50信號(hào)的相位，結(jié)果是弧度，換算為角度就是）再計(jì)算信號(hào)的相位，弧度，換算成角度/可見，相位也是對(duì)的。根據(jù)結(jié)果以及上面的分析計(jì)算，我們就可以寫出信號(hào)的表達(dá)式了，它就是我們開始提供的信號(hào)。總結(jié)：假設(shè)采樣頻率為，采樣點(diǎn)數(shù)為，做之后，某一點(diǎn)（從開始）表示的頻率為：1該點(diǎn)的模值除以就是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的幅度（對(duì)于直流信號(hào)是除以，）；該點(diǎn)的相位即是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的相位。相位的計(jì)算可用函數(shù)計(jì)算。是求坐標(biāo)為點(diǎn)的角度值，范圍從到i要精確到，則需要采樣長度為秒的信號(hào)，并做F要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點(diǎn)數(shù)，這在一些實(shí)際的應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的，需要在較短的時(shí)間內(nèi)完成分析。解決這個(gè)問題的方法有頻率細(xì)分法，比較簡單的方法是采樣比較短時(shí)間的信號(hào)，然后在后面補(bǔ)充一定數(shù)量的的，使其長度達(dá)到需要的點(diǎn)數(shù)，再做，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細(xì)分法可參考相關(guān)文獻(xiàn)。附錄：本測(cè)試數(shù)據(jù)使用的程序先關(guān)閉所有圖片直流分量幅度頻率信號(hào)的幅度2，1果頻弧率;，2%信號(hào)的幅度信號(hào)頻率信號(hào)頻率采樣頻率，-就信的號(hào);1相%位（度度，9的信;號(hào)相位