常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法42764

1、 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性預(yù)備知識(shí)： 1. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。2. 收斂數(shù)列必有界。3. 級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義4. 級(jí)數(shù)的性質(zhì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)：部分和數(shù)列 單增：證.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是部分和數(shù)列有界.定理1.若 有界,則 級(jí)數(shù) 收斂。反之，若級(jí)數(shù)收斂，則即有界,1).若收斂, （比較審斂法）設(shè)2).若發(fā)散, 定理2.收斂; 則發(fā)散.則1).若收斂, 則 2由比較審斂法知, 該級(jí)數(shù)發(fā)散。例1 討論P(yáng)-級(jí)數(shù)的收斂性, 其中常數(shù)解有當(dāng)時(shí)，而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，例如, 級(jí)數(shù)故原級(jí)數(shù)發(fā)散。發(fā)散,而推論1若存

2、在自然數(shù)N, 使得當(dāng)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 設(shè)成立,nN 時(shí),1).則收斂;2).成立,發(fā)散.則收斂,若發(fā)散, 若2).若發(fā)散, 由于 3考慮級(jí)數(shù)其部分和當(dāng)時(shí)，有則對(duì)于上述級(jí)數(shù)收斂。由比較審斂法知, p-級(jí)數(shù)當(dāng) p1 時(shí)收斂。級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂;當(dāng)時(shí)發(fā)散.結(jié)論4例如,發(fā)散;收斂.例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散。收斂,故原級(jí)數(shù)收斂。推論2為正項(xiàng)級(jí)數(shù),設(shè)則級(jí)數(shù)收斂;2)如果則級(jí)數(shù)發(fā)散.1)如果有 p1, 使5注: 用比較審斂法判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性: 1)若要判斷該級(jí)數(shù)收斂,需要找一個(gè)比該級(jí)數(shù)大的收斂的級(jí)數(shù)與它進(jìn)行比較; 2) 若要判斷該級(jí)數(shù)發(fā)散,需要找一個(gè)比該級(jí)數(shù)小的發(fā)散的級(jí)數(shù)與它進(jìn)行比較

3、.6證.對(duì)存在自然數(shù) N,當(dāng) nN 時(shí),有由比較審斂法知結(jié)論成立.解取因發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散。例3. 判別級(jí)數(shù)的斂散性:定理3.設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),若（比較審斂法的極限形式）則的斂散性相同。與無(wú)用7例4 判別級(jí)數(shù)的斂散性.解 而級(jí)數(shù)收斂,故原級(jí)數(shù)收斂.取例5. 判別級(jí)數(shù)的斂散性。解收斂,故原級(jí)數(shù)收斂.取另解:8注: 用比較審斂法的極限形式判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性: 1)若要判斷該級(jí)數(shù)收斂,需要找一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)與它進(jìn)行比較; 2) 若要判斷該級(jí)數(shù)發(fā)散,需要找一個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)與它進(jìn)行比較.設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),定理3（比較審斂法的極限形式）3) 1) 的斂散性相同。與2) 9解:級(jí)數(shù)收斂.級(jí)數(shù)發(fā)散.例6 判別級(jí)數(shù)的斂散

4、性:級(jí)數(shù)收斂.定理4.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),比值審斂法（達(dá)朗貝爾判別法）級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí)，斂散性不定。10=1時(shí),比值審斂法失效, 必須用其他的方法來(lái)判別. 如下例例7 判別級(jí)數(shù)的斂散性.比值審斂法失效11例8. 判別級(jí)數(shù)的斂散性:解.級(jí)數(shù)收斂.收斂,故原級(jí)數(shù)收斂.故原級(jí)數(shù)收斂.收斂,12例9. 判別級(jí)數(shù)的斂散性:解.級(jí)數(shù)收斂。級(jí)數(shù)收斂.定理5.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí), 發(fā)散;當(dāng)時(shí),根值審斂法（柯西判別法）級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí), 斂散性不定。13小結(jié)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是部分和數(shù)列有界.（比較審斂法）定理2.定理1.定理3.（比較審斂法的極限形式）定理4.（比值審斂法）定理5.

5、（根值審斂法）14二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)：或證單增且有上界,定理6.若滿足:則級(jí)數(shù)收斂,且其和 其余項(xiàng) (萊布尼茨定理) 分析： 級(jí)數(shù)收斂 15故 證畢例10. 判定級(jí)數(shù)的斂散性:解所以級(jí)數(shù)收斂. 所以級(jí)數(shù)收斂.16三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性則稱(chēng)為絕對(duì)收斂.1).若收斂,2).若收斂,但發(fā)散,則稱(chēng)為條件收斂.例如,條件收斂;絕對(duì)收斂.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：為任意實(shí)數(shù).證設(shè)收斂,令由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法知收斂.由性質(zhì)知,收斂. 證畢定理7 絕對(duì)收斂,若級(jí)數(shù)必定收斂.則級(jí)數(shù)171).逆命題不成立.即收斂的級(jí)數(shù)未必絕對(duì)收斂.2).若由比值審斂法或根值審斂法判定發(fā)散,則可以斷定發(fā)散.注意例9. 判定級(jí)數(shù)的斂散性, 若收斂, 是絕對(duì)收斂還是條件收斂?解因收斂,故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.發(fā)散,收斂,且為條件收斂。18原級(jí)數(shù)發(fā)散.小結(jié)：