MonteCarlo方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用(圖文)

1、MonteCarlo方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用(圖文)論文導(dǎo)讀：本文介紹了Monte Carlo方法的思想，主要從在定積分計(jì)算方面介紹了隨機(jī)投點(diǎn)法和平均值法，并將其推廣到二重積分、三重積分和多重積分情形，最后以棋手分獎(jiǎng)金問(wèn)題介紹了 Monte Carlo方法在古典概率問(wèn)題中的應(yīng)用.分析了誤差，介紹了減少誤差的方法. 給出這些方法的實(shí)例及其Mathematica實(shí)現(xiàn)程序.關(guān)鍵詞：MonteCarlo方法，積分計(jì)算，古典概率，模擬1 引言Monte Carlo方法，源于第二次世界大戰(zhàn)美國(guó)關(guān)于研制原子彈的曼哈頓方案;.該方案的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮-諾伊曼用著名世界的賭城摩納哥的Monte Carlo來(lái)命名這種

2、方法,為它蒙上了一層神秘色彩.Monte Carlo方法研究的問(wèn)題大致可分為兩種類型:一種是問(wèn)題本身就是隨機(jī)的,另一種本身屬于確定性問(wèn)題,但可以建立它的解與特定隨機(jī)變量或隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征或分布函數(shù)之間的聯(lián)系,因而也可用隨機(jī)模擬方法解決.文【1】-【7】 介紹了Monte Carlo方法的思想，但沒(méi)有給出具體的實(shí)例及實(shí)現(xiàn)過(guò)程。發(fā)表論文。本文介紹了MonteCarlo方法的思想，從計(jì)算定積分和古典概率兩方面的應(yīng)用進(jìn)行研究，給出了實(shí)例及其Mathematica實(shí)現(xiàn)程序.2 Monte Carlo方法2.1 Monte Carlo方法思想概述Monte Carlo方法，有時(shí)也稱隨機(jī)模擬(Random

3、Simulation)方法或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)(Statistical Testing)方法.它的根本思想是:首先建立一個(gè)概率模型或隨機(jī)過(guò)程,使它的參數(shù)等于問(wèn)題的解；然后通過(guò)對(duì)模型或過(guò)程的觀察、抽樣來(lái)計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征；最后給出所求解的近似值,而解的精度可用估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差來(lái)表示.假設(shè)所求的量是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,那么近似確定的方法是對(duì)進(jìn)行重復(fù)抽樣,產(chǎn)生相互獨(dú)立的值的序列并計(jì)算其算術(shù)平均值:根據(jù)大數(shù)定理，當(dāng)充分大時(shí),以概率1成立，即可用作為的估計(jì)值.Monte Carlo方法以概率統(tǒng)計(jì)理論為根底,以隨機(jī)抽樣(隨機(jī)變量的抽樣)為手段，在很多方面有重要的應(yīng)用.它的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在三個(gè)方面：方法和程序的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單

4、，易分析、易理解；收斂的概率性和收斂速度與問(wèn)題的維數(shù)無(wú)關(guān)，很好的防止了維數(shù)問(wèn)題；受問(wèn)題條件限制的影響較小，很好的提高可行性.使用Monte Carlo方法的步驟如下：(l)構(gòu)造或描述概率過(guò)程(2)實(shí)現(xiàn)從概率分布中抽樣(3)建立各種估計(jì)量2.2 Monte Carlo方法的可行性從Monte Carlo方法的根本思想可以得到它通常的做法，利用數(shù)學(xué)或物理方法產(chǎn)生中均勻分布的隨機(jī)數(shù)，在變換得到任意分布的隨機(jī)數(shù).隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)很大時(shí)，可以由大數(shù)定理，求出事件的概率值.這種做法的可行性主要依據(jù)下面的事實(shí)：即服從上的均勻分布.因此是服從分布函數(shù)的隨機(jī)變量.所以我們只要能夠產(chǎn)生中均勻分布的隨機(jī)變量的子樣，那么通

5、過(guò)2式我們就可以得到任意分布函數(shù)的隨機(jī)變量的子樣.再結(jié)合大數(shù)定理、就可以運(yùn)用Monte Carlo方法進(jìn)行隨機(jī)模擬，解決一些實(shí)際的問(wèn)題.3 Monte Carlo方法在定積分中的應(yīng)用3.1隨機(jī)投點(diǎn)法對(duì)于定積分.為使計(jì)算機(jī)模擬簡(jiǎn)單起見，設(shè)，有限，令，并設(shè)是在上均勻分布的二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為.那么是中曲線下方的面積如圖2.圖2假設(shè)我們向中進(jìn)行隨機(jī)投點(diǎn).假設(shè)點(diǎn)落在下方即稱為中的，否那么稱不中.那么點(diǎn)中的概率為，假設(shè)我們進(jìn)行次投點(diǎn)，其中次中的.那么可以得到的一個(gè)估計(jì)該方法的具體計(jì)算步驟為： 獨(dú)立地產(chǎn)生2個(gè)隨機(jī)數(shù),i=1,n； 計(jì)算， ，和； 統(tǒng)計(jì)的個(gè)數(shù)； 用由矩法，假設(shè)有個(gè)那么可給出的一個(gè)矩

6、估計(jì)，這便是樣本平均值法的根本原理.假設(shè)，有限，可取.設(shè)是那么的一個(gè)估計(jì)為該方法的具體計(jì)算步驟為： 獨(dú)立地產(chǎn)生個(gè)隨機(jī)數(shù)； 計(jì)算和 ，；用其中為S維單位立方體，在上有：.很明顯.此時(shí)積分對(duì)于這種較為一般形式的多重積分計(jì)算問(wèn)題，采用的還是隨機(jī)投點(diǎn).具體步驟如下：首先產(chǎn)生個(gè)隨機(jī)數(shù)i=1,2,，及，構(gòu)造維隨機(jī)向量 ，然后檢驗(yàn)是否落后在V中，同理可以推論.檢驗(yàn)是否成立，如果在構(gòu)成的個(gè)隨機(jī)向量中，有個(gè)隨機(jī)向量落于V中，那么取作為積分的近似值，即，如果積分區(qū)域及被積函數(shù)不滿足上述條件，那么可以通過(guò)變換便可到達(dá)所希望的條件.方法二：其中積分區(qū)域包含在維多面體中，此多面體決定于個(gè)不等式.設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)且滿足條件

7、：，是在維多面體中均勻分布的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，是在個(gè)隨機(jī)點(diǎn)之中落入以維區(qū)域V為底以為頂之曲頂柱體內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)的個(gè)數(shù).這里表示由不等式和決定的維多面體.那么重積分的Monte Carlo近似計(jì)算公式為：=例2 在三維空間中，由三個(gè)圓柱面：，圍成一個(gè)立體，利用Monte Carlo方法求它的體積.分析：據(jù)題意，所求體積,其中，且，.記，,考慮在空間內(nèi)隨機(jī)的產(chǎn)生個(gè)點(diǎn)，落在空間內(nèi)有個(gè)，那么.在Mathematica中模擬程序見附錄2.5 在古典概率問(wèn)題中的應(yīng)用下面的例子說(shuō)明了Monte Carlo方法在古典概率中的應(yīng)用.例3 甲乙兩位棋手棋藝相當(dāng)，現(xiàn)他們?cè)谝豁?xiàng)獎(jiǎng)金為1000元的比賽中相遇，比賽為五局三勝制

8、，已經(jīng)進(jìn)行了三局的比賽，結(jié)果為甲三勝一負(fù)，現(xiàn)因故要停止比賽，問(wèn)應(yīng)該如何分配這1000元比賽獎(jiǎng)金才算公平？分析：平均分對(duì)甲欠公平，全歸甲那么對(duì)乙欠公平.合理的分法是按一定的比例分配.現(xiàn)在我們用計(jì)算機(jī)模擬兩位棋手后面的比賽，是否就可以知道獎(jiǎng)金分配方案.由于兩位棋手的棋藝相當(dāng)，可以假定他們?cè)谝韵旅烤值谋荣悇儇?fù)的時(shí)機(jī)各半.Mathematica中函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)0或1，0與1出現(xiàn)的時(shí)機(jī)各占一半，可以用隨機(jī)數(shù)1表示甲棋手勝，而隨機(jī)數(shù)0表示乙勝.最終以甲分到；乙分到.即甲750元，乙250元.6 誤差分析6.1 收斂性蒙特卡羅方法是由隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單子樣的算術(shù)平均值：作為所求解的近似值.由大數(shù)定律可知，如獨(dú)立

9、同分布，且具有有限期望值6.2 誤差蒙特卡羅方法的近似值與真值的誤差問(wèn)題，概率論的中心極限定理給出了答案.該定理指出，如果隨機(jī)變量序列，獨(dú)立同分布，且具有有限非零的方差，即是的分布密度函數(shù).那么當(dāng)N充分大時(shí)，有如下的近似式其中稱為置信度，1稱為置信水平.這說(shuō)明，不等式近似地以概率1成立，且誤差收斂速度的階為.通常，Monte Carlo方法的誤差定義為上式中與置信度是一一對(duì)應(yīng)的，根據(jù)問(wèn)題的要求確定出置信水平后，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以確定出.關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需說(shuō)明兩點(diǎn)：第一，蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計(jì)算方法是有區(qū)別的.第二，誤差中的均方差是未知的，必須使用其估計(jì)值來(lái)代替

10、，在計(jì)算所求量的同時(shí)，可計(jì)算出.例4 求用平均值法估計(jì)圓周率，并考慮置信度為5%，精度要求為0.01的情況下所需的試驗(yàn)次數(shù).解：易知，故考慮令，令，其期望值為，因此=，其中是區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù).此時(shí)，所以次.6.3 減小方差的各種技巧顯然，當(dāng)給定置信度后，誤差由和N決定.要減小，或者是增大N，或者是減小方差.在固定的情況下，要把精度提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，試驗(yàn)次數(shù)N需增加兩個(gè)數(shù)量級(jí).因此，單純?cè)龃驨不是一個(gè)有效的方法.另一方面，如能減小估計(jì)的均方差，比方降低一半，那誤差就減小一半，這相當(dāng)于N增大四倍的效果.因此降低方差的各種技巧，引起了人們的普遍注意.總的來(lái)說(shuō)，增大樣本的值對(duì)計(jì)算機(jī)要求較高；減小方

11、差的技巧都只具有指導(dǎo)思想上的意義.對(duì)于實(shí)際的計(jì)算問(wèn)題，往往要求對(duì)涉及的隨機(jī)變量有先驗(yàn)的了解，或者對(duì)發(fā)生的物理過(guò)程的性態(tài)有一定的認(rèn)識(shí).通過(guò)利用這些預(yù)知的信息采取相應(yīng)的手段減小誤差，提高精度.附錄1.1 n=1000;p=Do;y=Random;If,k,1,n;AppendTo,t,1,10;Print;Sum,t,1,10/102 n=10000;p=Do;y=Random;If,k,1,n;AppendTo,t,1,10;Print;Sum,t,1,10/103 n=100000;p=Do;y=Random;If,k,1,n;AppendTo,t,1,10;Print;Sum,t,1,10/102. n=1000;p=Do;y=Random;z=Random;If,k,1,n;AppendTo,t,1,10;Print;Sum,t,1,10/103. n=1000;p=Do+2;y=Random+1;If,k,1,n;AppendTo,t,1,20Print;Sum,t,1,20/20,1000-Sum,t1,20/20參考文獻(xiàn)【1】 徐鐘濟(jì)蒙特卡羅方法上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985：171-188.【2】 茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍高等數(shù)理統(tǒng)計(jì).北京：高等教育出版社，2006：415454【3】 周鐵，徐樹方