線性系統(tǒng)理論LQR

1、線性系統(tǒng)理論2008-2009學(xué)年Email: hjt.Lab: 10-8251線性二次型最優(yōu)控制LQ優(yōu)化型綜合問(wèn)題性能指標(biāo)：以給定的性能指標(biāo)函數(shù)極大或極小作為系統(tǒng)綜合的目標(biāo)線性二次型最優(yōu)控制有限時(shí)間情形無(wú)限時(shí)間情形2線性二次型最優(yōu)控制LQLQ(Linear Quadratic)問(wèn)題LQ問(wèn)題的提法：性能指標(biāo)其中，尋找使得3線性二次型最優(yōu)控制LQ性能指標(biāo)函數(shù)的屬性：數(shù)學(xué)上，是控制量u的泛函；物理上，能量=運(yùn)動(dòng)能量+控制能量加權(quán)陣的選?。篠、R、Q根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取; 不同的加權(quán)陣性能指標(biāo)雖都能達(dá)到最優(yōu),但對(duì)應(yīng)的最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不同.容許控制的特點(diǎn)：滿足狀態(tài)方程解存在唯一性條件的所有類(lèi)型的控制通常認(rèn)

2、為最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線最優(yōu)控制最優(yōu)軌線最優(yōu)性能4線性二次型最優(yōu)控制LQ極值化的類(lèi)型基于性能指標(biāo)函數(shù)的廣義能量物理意義，采用最小化形式實(shí)際工程中，根據(jù)需要，可采用最大化或最小化最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)性能指標(biāo)泛函的約束最優(yōu)化(極值問(wèn)題)數(shù)學(xué)上多采用變分法最優(yōu)控制問(wèn)題按末時(shí)刻的分類(lèi)有限時(shí)間LQR：只考慮系統(tǒng)在過(guò)渡過(guò)程中的最優(yōu)運(yùn)行無(wú)限時(shí)間LQR：還要考慮系統(tǒng)趨于平衡狀態(tài)時(shí)的漸近行為；更實(shí)用調(diào)節(jié)問(wèn)題和跟蹤問(wèn)題最優(yōu)調(diào)節(jié)問(wèn)題: 尋找使性能指標(biāo)泛函最優(yōu)的控制量u,使系統(tǒng)由初始狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到零平衡態(tài)最優(yōu)跟蹤問(wèn)題: 尋找使性能指標(biāo)泛函最優(yōu)的控制量u, 使系統(tǒng)輸出跟蹤參考輸入.最優(yōu)跟蹤是最優(yōu)調(diào)節(jié)的推廣,可轉(zhuǎn)化為等價(jià)的調(diào)節(jié)

3、問(wèn)題.5有限時(shí)間LQ問(wèn)題的最優(yōu)解有限時(shí)間時(shí)變LQ問(wèn)題最優(yōu)解 對(duì)有限時(shí)變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，設(shè)末時(shí)刻為固定，組成對(duì)應(yīng)矩陣Riccati微分方程：解陣P(t)為正半定對(duì)稱(chēng)陣。則 為最優(yōu)控制的充分必要條件是具有形式：最優(yōu)軌線最優(yōu)性能值6有限時(shí)間時(shí)變LQ問(wèn)題的基本屬性最優(yōu)控制的唯一性最優(yōu)控制必存在且唯一,即最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋屬性最優(yōu)控制具有狀態(tài)反饋形式最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述7線性二次型最優(yōu)控制無(wú)限時(shí)間情形附加限定條件：受控系統(tǒng)為線性時(shí)不變系統(tǒng)；調(diào)節(jié)問(wèn)題平衡狀態(tài)為 和最優(yōu)控制系統(tǒng)前提為漸近穩(wěn)定所決定，與末狀態(tài)無(wú)關(guān)；受控系統(tǒng)完全能控，加權(quán)陣R對(duì)稱(chēng)正定，Q正定對(duì)稱(chēng) 或Q半正定對(duì)稱(chēng)且 完全能觀測(cè)。8線性二次型最

4、優(yōu)控制無(wú)限時(shí)間情形矩陣Riccati方程解的特性解陣P(t)的基本屬性Riccati方程有唯一對(duì)稱(chēng)正定解陣P9線性二次型最優(yōu)控制無(wú)限時(shí)間情形無(wú)限時(shí)間LQ問(wèn)題最優(yōu)解 對(duì)無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，組成對(duì)應(yīng)矩陣Riccati微分方程：解陣P(t)為正定對(duì)稱(chēng)陣。則 為最優(yōu)控制的充分必要條件是具有形式：最優(yōu)軌線最優(yōu)性能值最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋屬性：最優(yōu)控制的狀態(tài)空間描述：10穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性最優(yōu)條件系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ條件問(wèn)題，其最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)必為大范圍漸近穩(wěn)定最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性11穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性最優(yōu)條件系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性 對(duì)指定指數(shù)衰減度的無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，組成相應(yīng)的Ric

5、cati代數(shù)方程：解陣P(t)為正定對(duì)稱(chēng)陣。取最優(yōu)控制為：最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)為則最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)以 為衰減上限指數(shù)穩(wěn)定，即12最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件多輸入最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)頻率域條件 對(duì)多輸入無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)其中，等號(hào)只對(duì)有限個(gè) 成立。單輸入最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)頻率域條件 對(duì)單輸入無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)滿足如下頻率域條件：滿足如下頻率域條件：其中，等號(hào)只對(duì)有限個(gè) 成立。13最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)頻率域條件的幾何解釋對(duì)單輸入無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的頻率域條件在幾何上表示為，開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng) 在復(fù)平面上

6、由 變化到 的曲線必不進(jìn)入單位圓內(nèi)，且 曲線和單位圓 只有有限個(gè)切點(diǎn)。14最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的魯棒性魯棒性是控制系統(tǒng)正常運(yùn)行的必備條件指系統(tǒng)參數(shù)產(chǎn)生攝動(dòng)時(shí)，閉環(huán)調(diào)節(jié)系統(tǒng)仍能保持漸近穩(wěn)定或綜合性能的一種屬性穩(wěn)定性魯棒性的指標(biāo)有相角裕度與增益裕度、對(duì)非線性的容限等。15相角裕度與增益裕度相角裕度假設(shè)一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，如果加在系統(tǒng)的相角滯后量小于角，系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，而當(dāng)大于角時(shí)就變?yōu)椴环€(wěn)定了。即相位裕度是使系統(tǒng)達(dá)到不穩(wěn)定的邊緣所需要的額外的相位滯后量。16相角裕度與增益裕度相角裕度和增益裕度 對(duì)單輸入無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)具有：至少 相角裕度 增益裕度對(duì)多輸入無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)

7、題，取相對(duì)于控制輸入的加權(quán)陣：則最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的每個(gè)反饋控制回路具有以上相角和增益裕度。17最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)對(duì)非線性的容限狀態(tài)反饋矩陣產(chǎn)生非線性攝動(dòng)的最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，可等價(jià)視為最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中引入附加非線性環(huán)節(jié)18最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)對(duì)非線性的容限對(duì)非線性的容限 對(duì)多輸入無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，給定反饋通道中包含非線性環(huán)節(jié) 的最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，則對(duì)滿足扇形條件 的任意 ，擾動(dòng)最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)可保持大范圍漸近穩(wěn)定。19扇形條件的幾何解釋對(duì)單輸入無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，進(jìn)入于最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)反饋通道中的向量非線性攝動(dòng) 化為標(biāo)量非線性攝動(dòng) ，且 也為標(biāo)量，相應(yīng)地，非線性容限的扇形條件化為：其幾何表征如下圖所示： 20最優(yōu)

8、跟蹤問(wèn)題最優(yōu)跟蹤問(wèn)題是最優(yōu)調(diào)節(jié)問(wèn)題的推廣設(shè)系統(tǒng)(A,B,C)完全能控、能觀測(cè)，系統(tǒng)(F,H)完全能觀測(cè)；系統(tǒng)(A,B,C)的輸出y跟蹤系統(tǒng)(F,H)的輸出，引入二次型指標(biāo)：最優(yōu)跟蹤問(wèn)題就是對(duì)受控系統(tǒng)和參考輸入模型，有上述性能指標(biāo)，尋找一個(gè)控制 使輸出y跟蹤參考輸入 同時(shí)，有：21最優(yōu)跟蹤問(wèn)題等價(jià)條件問(wèn)題及其最優(yōu)解22最優(yōu)跟蹤問(wèn)題最優(yōu)等價(jià)調(diào)節(jié)問(wèn)題最優(yōu)解 對(duì)無(wú)限時(shí)間時(shí)不變LQ調(diào)節(jié)問(wèn)題，組成對(duì)應(yīng)矩陣Riccati微分方程：解陣為正定對(duì)稱(chēng)陣。則 為最優(yōu)控制的充分必要條件是具有形式：最優(yōu)軌線最優(yōu)性能值最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋屬性：最優(yōu)控制的狀態(tài)空間描述：23最優(yōu)跟蹤問(wèn)題跟蹤問(wèn)題最優(yōu)解 對(duì)由連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變受控系統(tǒng)和二次型指標(biāo)組成的跟蹤問(wèn)題，將等價(jià)最優(yōu)調(diào)節(jié)問(wèn)題的矩陣Riccati代數(shù)方程解陣作分塊化表示：最優(yōu)跟蹤控制最優(yōu)性能指標(biāo)24小結(jié)本章主要內(nèi)容: 按期望的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器控制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn): 物理構(gòu)成和實(shí)際運(yùn)行中