離散型隨機變量分布列期望及方差

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我離散型隨機變量分布列、期望及方差高三數(shù)學(xué)徐建勛 2010-1-30教學(xué)目標(biāo)：1、理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性 2、理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題教學(xué)重點：（1）離散型隨機變量及其分布列（2）條件概率及事件的獨立性（3）離散型隨機變量的期望與方差教學(xué)難點：離散型隨機變量及其分布列及其兩個基本性質(zhì)教學(xué)過程：/ /【知識梳理】1、隨機變量的概念如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量X表示，并且 X是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，那么這樣的變量 X

2、叫隨機變量，隨機變量常用希臘字母X、丫、 表示。如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量.2、離散型隨機變量的分布列設(shè)離散型隨機變量X可能取得的值為 工卜七，L, X取得每一個值的概率為田支,則稱表XXi 甘工hPi 為離散型隨機變量 X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列.離散型隨機變量 X的分布列的性質(zhì)：（1）月之0/ = 12紅 巧+為+8+L =1一般的，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之 和。3、二點分布如果隨機變量x的分布列為，其中口=,則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為百的二點分布.XL0lhpPq4、超幾何分布一

3、般的，設(shè)有總數(shù)為 N件的兩類物品，其中一類有 n件，從所有物品中任取 M件（M WN）,這M件中所含這類物品的件數(shù) X是一個離散型隨機變量，它取值為/ m時的概率為我們稱離散型隨機變量 X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N,M, n的超幾何分布./5、條件概率/一般地，設(shè)A, B為兩個事件，且F（上）0 ,在事件a發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生的 條件概率記為1百度文庫-讓每個人平等地提升自我6、獨立重復(fù)試驗戶 戶一般地，在相同條件下，重復(fù)地做n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗.在n次獨立重復(fù)試驗中，事件 A恰好發(fā)生k次的概率為 P僅-小琮巴1-p尸, k = 0, 1, 2,，n,其

4、中p是一次試驗中該事件發(fā)生的概率。7、二項分布若將事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為 X ,事件A不發(fā)生的概率設(shè)為 1-P ,那么在n次獨 立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率是汽X二幻二(其中k = 0,1,2, n),于是得到/X的分布列:X01頁 nPC 口 則稱這樣的離散型隨機變量X服從參數(shù)為n, p的二項分布，記為 乂雙也的。8、期望設(shè)一個離散型隨機變量X所有可能取的值是 工I,這些值對應(yīng)的概率是尸卜尸N .外，則*二工】外+巧巧+L +工缶叫做這個離散型隨機變量 X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱 期望).當(dāng)離散型隨機變量時,E(X) = ；左二迎當(dāng)離散型隨機變量 X服從參數(shù)為N, M, n的超幾何分布

5、時，則N 。9、方差設(shè)一個離散型隨機變量X所有可能取的值是 MJ小,這些值對應(yīng)的概率是外，科工品，則 * 17=值-顏幻用z叫做這個離散型隨機變量 X的方差。(3)方差的性質(zhì)：若X服從二點分布，則D91); TOC o 1-5 h z 當(dāng)離散型隨機變量 X服從參數(shù)為N, M, n的超幾何分布時，則N 。若X服從二項分布則乂一以乩切，口8 =輯敢S = 1-券。/【典型例題】例1. 一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為 1, 2, 3, 4, 5, 6,現(xiàn)從中隨機取出3個 球，以X表示取出球的最大號碼，求 X的分布列./分析：隨機取出3個球的最大號碼 X的所有可能取值為 3, 4, 5, 6,

6、“X = 3”對應(yīng)事 件“取出的3個球的編號為1, 2, , 3 ； “X = 4”對應(yīng)事件“取出的 3個球中恰取到4 號球和1 , 2, 3號球中的2個”；“ X = 5”對應(yīng)事件“取出的 3個球中恰取到5號球和1, 2, 3, 4號球中的2個”；“ X = 6”對應(yīng)事件“取出的 3個球中恰取到6號球及1, 2, 3, 4, 5號球中的2個”.而要求其概率則要利用等可能事件的概率公式和排列組合知識來求解，從而獲得X的分布列.百度文庫-讓每個人平等地提升自我解析：隨機變量X的可能取值為3, 4, 5, 6。從袋中隨機地取 3個球，包含的基本事件總數(shù)為 章，事件“X=3 ”包含的基本事件總數(shù)為

7、名， 事件“ X= 4”包含的基本事件總數(shù)為 4.事件“ x=5 ”包含的基本事件總數(shù)為 叩；;P僅工 從而有力弱，事件“ X=6”包含的基本事件總數(shù)為“富;里px)零 或叫I10 ?d以2,，隨機變量X的分布列為X3456PL 303203L02點評：確定離散型隨機變量 X的分布列的關(guān)鍵是要搞清 X取每一個值對應(yīng)的隨機事件.進一步利用排列組合知識求出X取每個值的概率.例2. 一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗1遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是3。(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，

8、求 Y的分布列；(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.1解析：(1)將通過每個交通崗看做一次試驗，則遇到紅燈的概率為3 ,且每次試驗結(jié)果是相互獨立的，-5(6,-)故3 ,以此為基礎(chǔ)求X的分布列.由 3 ,所以X的分布列為己， k=0, 1, 2, 3, 4, 5,(2)由于Y表示這名學(xué)生在首次停車時經(jīng)過的路口數(shù)，顯然Y是隨機變量,/其取值為0, 1, 2, 3, 4, 5。其中： = ) *=1234表示前k個路口沒有遇上鄉(xiāng)T燈，但在第k+1個路口 遇上紅燈，故各概率應(yīng)按獨立事件同時發(fā)生計算.而丫0表示一路沒有遇上紅燈，/P(Y=6)=-故其概率為1-,百度文庫-讓每個人平等地提升自

9、我因此Y的分布列為:Y0123456P 31 3 |2L自丫1住丫 30(3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的事件為區(qū)之1)=6=1或又=減.一或又=嘰所以其概率為 TOC o 1-5 h z 4臼、&WV/729。點評：解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依靠概率的有關(guān)概念和運算，其關(guān)鍵是要識別題中的離散型隨機變量服從什么分布，像本例中隨機變量X表示遇到紅燈次數(shù)，而每次遇到紅燈是相互獨立的，因此這是一個獨立重復(fù)事件，符合二項分布，即。分布列能完整地刻畫隨機變量X等相應(yīng)概率的變化情況，在分布列中第一行表示X的所有可取值，第二行對應(yīng)的各個值(概率值)必須都是非負(fù)實數(shù)且滿足其和為1。例3英語考試有

10、100道選擇題，每題 4個選項，選對得1分，否則得0分，學(xué)生甲會其中 的20道，學(xué)生乙會其中的 80道，不會的均隨機選擇，求甲、乙在這次測驗中得分的期望.分析：甲、乙分別會20道和80道，故甲、乙分別從剩下的 80道和20道中隨機選擇， 因為有4個選項，只有一個答案正確并且每一個選項被選出的概率相等，故甲、乙剩下不會題的猜對個數(shù)(猜對分?jǐn)?shù))是隨機變量，分別設(shè)為X, Y,可知 尤,F耳儂。2解析：設(shè)甲、乙不會題得分分別為隨機變量X和Y.由題意知， ),故項=8伽Q.25 = 2(U=2似。,25 = 5 這樣甲、乙期望成績分別為 40分和85分.%例4.甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，

11、且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，這兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為甲K0121 3P0 3asa 20,乙士XD1P6155仇4試評定這兩個保護區(qū)的管理水平.分析：要比較兩個保護區(qū)的管理水平，可先比較甲、乙兩個保護區(qū)的平均管理水平，然 后再看它們管理水平的穩(wěn)定性.解析：甲保護區(qū)的違規(guī)次數(shù) Xi的數(shù)學(xué)期望和方差為：百度文庫-讓每個人平等地提升自我D（X1）-（Q-lJ）ax0.34（l-13）3x0 3 + 2-1.3）ax0 2+（3-L3）aK0.2-1.21 o乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)區(qū)口的數(shù)學(xué)期望和方差為：E區(qū)”口口十1他5十2犬口,41.3 ,D（X（0- 1.3） kO.U 1-1,3）2 xO 5 +（2-1 S）3 乂 0.4= 0.41 o/因為成苞）二/蒼,0（X）5匹）,所以兩個保護區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的違規(guī)平均次